2019-2020学年高中数学 第二章数列复习小结教案 新人教A版必修5.doc

2019-2020学年高中数学 第二章数列复习小结教案 新人教A 版必修5 教学目的：

1．系统掌握数列的有关概念和公式。

2．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系。

3．能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a 。

授课类型：复习课

课时安排：2课时

教学过程：

一、本章知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．

(2)等差、等比数列的定义．

(3)等差、等比数列的通项公式．

(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．

4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、知识精要：

1、数列

[数列的通项公式] ⎩

⎨

⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n n [数列的前n 项和] n n a a a a S ++++= 321 2、等差数列

[等差数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

[等差数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

[等差数列的通项公式]

如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。

[等差数列的前n 项和] 1．2)(1n n a a n S += 2. d n n na S n 2)1(1-+= [说明]对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

[等差中项]

如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2

b a A +=或b a A +=2 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=

2． 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是： =+=+=+--2

3121n n n a a a a a a ，如图所示：

n n a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,12321

3．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*

N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下图所示：

k k

k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++

3、等比数列

[等比数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。

[等比中项]

如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。 也就是，如果是的等比中项，那么

G b a G =，即ab G =2。 [等比数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a n n ，则数列{}n a 是等比数列。

2．等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{

}n a 是等比数列。 [等比数列的通项公式]

如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。

[等比数列的前n 项和]

○1)1(1)1(1≠--=q q

q a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n ○3当1=q 时，1na S n = [等比数列的性质]

1．等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=

3． 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅

也就是： =⋅=⋅=⋅--2

3121n n n a a a a a a 。如图所示：

n n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321 4．若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。如下图所示：