中考数学 圆的综合综合试题含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．

（1）求证：∠ABD=2∠BDC；

（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；

（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）

9

2 DE=.

【解析】

【分析】

（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到

∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到

AB=22

AD BD

+=26，由相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，

则∠CAB=∠BDC=α，

∵点C为弧ABD中点，∴AC=CD，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC；

（2）∵CH⊥AB，∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，

∵∠CAB =∠CDB ，∴∠ACE =∠ADC ， ∵∠CAE =∠ADC ，∴∠ACE =∠CAE ，∴AE =CE ； （3）如图2，连接OC ，∴∠COB =2∠CAB ， ∵∠ABD =2∠BDC ，∠BDC =∠CAB ，∴∠COB =∠ABD ， ∵∠OHC =∠ADB =90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴1

2

OH OC BD AB ==， ∵OH =5，∴BD =10，∴AB =22AD BD +=26，∴AO =13，∴AH =18，

∵△AHE ∽△ADB ，∴

AH AE AD AB =，即1824=26AE ，∴AE =392，∴DE =9

2

．

【点睛】

本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；

（2）若DB 平分∠ADC ，AB =52AD ，∶DE =4∶1，求DE 的长．

【答案】(1)见解析5 【解析】

分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF =CF =EF ，再求出∠FDO =∠FCO =90°，得出答案即可；

（2）首先得出AB =BC 即可得出它们的长，再利用△ADC ～△ACE ，得出AC 2=AD •AE ，进而得出答案． 详解：（1）连接OD ．

∵OD =CD ，∴∠ODC =∠OCD ．

∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =∠EDC =90°．

∵点F 为CE 的中点，∴DF =CF =EF ，∴∠FDC =∠FCD ，∴∠FDO =∠FCO ． 又∵AC ⊥CE ，∴∠FDO =∠FCO =90°，∴DF 是⊙O 的切线． （2）∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =∠ABC =90°．

∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠CDB ，∴AB =BC ，∴BC =AB =52． 在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2=100． 又∵AC ⊥CE ，∴∠ACE =90°，

∴△ADC ～△ACE ，∴

AC AD =AE

AC

，∴AC 2=AD •AE ． 设DE 为x ，由AD ：DE =4：1，∴AD =4x ，AE =5x ，

∴100=4x •5x ，∴x =5，∴DE =5．

点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC 2=AD •AE 是解题的关键．

3．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F . （1）求证：OE ∥BD ；

（2）当⊙O 的半径为5，2

sin 5

DBA ∠=

时，求EF 的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212

【解析】

试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.

试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD . （2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA=

25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =

2

5

BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒

∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .

∴

BD CD

BO EO

= ∴25

2

EO =.

∵OE ∥BD ，CO =OD ， ∴CF =FB . ∴1

22

OF BD =

=. ∴212

EF OE OF =-=

4．如图，在直角坐标系中，已知点A (－8，0)，B (0，6)，点M 在线段AB 上。 （1）如图1，如果点M 是线段AB 的中点，且⊙M 的半径等于4，试判断直线OB 与⊙M 的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，⊙M 与x 轴，y 轴都相切，切点分别为E ，F ，试求出点M 的坐标；

（3）如图3，⊙M 与x 轴，y 轴，线段AB 都相切，切点分别为E ，F ，G ，试求出点M 的坐标（直接写出答案）

【答案】（1）OB 与⊙M 相切；（2）M （－247，24

7

）；（3）M （－2，2） 【解析】

分析：（1）设线段OB 的中点为D ，连结MD ，根据三角形的中位线求出MD ，根据直线和圆的位置关系得出即可；

（2）求出过点A 、B 的一次函数关系式是y =

3

4

x +6，设M （a ，﹣a ），把x =a ，y =﹣a 代