带有禁止位置的排列

个数，也相当于： r1等于将棋盘上的一个车放
到禁止位置的方格的方案数。
进一步考虑 A1∩A2 ，这个数也表示将 n 个
非攻击型车放到棋盘上的方法数，其中在第一
行和第二行的车都在禁止位置上，即对应在序
列 X1 和 X2 内。同理在第一和第二行禁止位置
上的两个非攻击型车的放置方法有(n-2)! 种。14
法数，其中第一行上的车位于 X1 的一个序列中。
以(n-1)!种方法安置其余n-1个非攻击型车。故有：
因此:ΣAi= (X1+X2+………+Xn) (n-1)!
令 r1 = X1+X2+………+Xn , 代入上式得： 13
ΣAi= r1 (n-1)!
其中 r1 等于棋盘上所有禁止放车的方格的
25
那么确定对集合{1,2,3,…,8}的8-排列，使得每个 排列中不要出现：12, 23, …78的模式。
例如：31542876 就是允许出现的一贯排列，而
84312657则不是，其中的12还是前面的次序。
对于每个正整数n，令Qn表示集合{1,2,3,…, n}
中没有12, 23, … ,(n-1 )n 模式的排列的个数。 利用容斥原理求的Qn值。 当 n = 1 时，1 就是一个允许的排列。
所谓它们独立是 无同行同列的位置
17
两个车放置的情况可以都在F1、F2中也可以在 F1F2各一个中。如果在都F1中，不攻击的位
置只有一种，如果在都F2中；不攻击的位置有两
种；如果分别在F1、F2中,不攻击的位置有3×4种 F1 1 2
一 × 二 × ×
F2 3 4
三 × × 四 × ×
所以 r2 = 1 + 2 + 3 ×4 = 15
的所有排列 i1, i2, i3,….. in , 组成的集合。因此我
们断定：P(X1, X2 , ……, Xn )就是{1,2,….n}的错 位排列。 故有： P(X1, X2 , ……, Xn )=Dn
7
棋子排列 n个不同元素的一个全排列可看做n个相
同的棋子在n×n的棋盘上的一个布局。布局满
5
同时出现xxxx， zz的排列的集合为A1∩A3 ，
A 1 A 3
同时出现yyy ， zz的排列的集合为A2∩A3 ，
A2 A3 6! 30 4! 1 ! 1 ! 3 ! 6 1 ! 1 ! 1 !
同时出现xxxx, yyy, zz的排列的集合为:
A 1 A 2 A 3
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三个车放置的情况只能分别在F1、F2中，在F1、 F2同一个中必然会互相攻击；如果两个在F1
中，一个在F2中，有1 ×4个不攻击的位置；如
果一个在F1中，两个在F2中，有3 ×2个不攻击
的位置。
所以 r3 = 1 × 4 + 3 ×2 = 10 四个车只能各放两个，有1 ×2个不攻击的位置
所以 r4 = 1 ×2 = 2
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例：设对于排列P=P1 P2 P3 P4，规定P1≠３， P２≠１、４， P３≠2、４， P4≠2。
解：这样的排列对应于有禁区的放车。如下图
有影线的格子表示禁区。将棋盘按红线分成两份
P1 P2 P3 P4
占一个禁放位置时：r1 =6，
占两个禁放位置时可分为左
占2个，右占2个和各占1个
1
2 3 4
k n
A A .....A A A ..... A
i1 i2 ik i i
i
其中，第k个和是对S的所有k-组合求和。
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现在我们计算上述公式中的n个和式的值; A1 的数量是把 n 个非攻击型车放到棋盘上的方 我们能够以 X1 种方式选择该车的序列，然后 A1= X1(n-1)! ( i=1,2,…n )
用Aj表示具有性质 pj (j=1,2,…n) 的放置形式的 集合。那么集合P(X1, X2 , … , Xn )表示不具
有性质 p1, p2, p3,…. pn ,的放置方案。故：
P( X 1 , X 2 ,......X n ) A1 A2 ..... An S Ai Ai A j ....... (1) ....... (1)
这两节中，我们对绝对禁止位置的排列进行 了计算，下面我们将考虑存在某些相对禁止 位置计数问题。
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6.5 另外的禁排位置问题
问题引入：某班8个男生每天跑步，他们排成 一竖行，除第一个领跑的男生外，每一个男生前 面都有另一个男生，为了不让他们总看见前面的 是同一个人，第二天要交换位置，使得前面的人 与前一天的不同。他们有多少交换位置的方法？ 我们对8个男生进行编号，第一天的序列是： 1 2 3…8，其中第一个是1号，最后一个是8号。
的公式，然而，这个公式不总是具有计算的价
值。为了方便起见，我们将用论证n行n列棋盘
上非攻击型车放置的方法来叙述公式。
令S为n行n列棋盘上非攻击型车的所有n!种
放置方法的集合。如果在第j行上的车是属于Xj
的序列上，那么我们就说n个非攻击型车的这种
放置具有性质pj (j=1,2,…n) 。像通常那样，
11
第六章 容斥原理及应用
6.4 带有禁止位置的排列
本小节中我们将计算{1,2,….n}集合的一般
有限制的排列计数问题。这些限制规定了再排 列的每个位置上都只能由哪些整数占据。 令：X1, X2, X3,…….. Xn是集合{1,2,….n}的子集 (允许有空集)，用 P(X1, X2, …….. Xn)表示集合
一一对应。 {1,2,….n} 的排列i1, i2, ….. in 以坐标
(1, i1), (2, i2), ….. (n, in )表示, 对应n个车的位置, 共有n!种。用P(X1, X2 …, Xn )表示棋子在n×n 棋盘上的一个布局。但有些位置是禁止摆放的。
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例： 令 X1={1, 4}, X2 ={3}, X3= , X4={1, 5}, X5={2, 5}则P(X1, X2 , X3 , X4 , X5 )中的排列
一一对应具有下图所示禁止位置。
也可以这样讲： i1 1 , 4； i2 3 ； i4 1 , 5； i5 2 , 5；
X1 X2 X3 X4 X5 1
坐 标
2
3
4
5
1
×
2
3 ×
4
×
5
1 2 3 4 5
× ×
× ×
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进一步推广错位排列数Dn的计算公式 利用容斥原理我们得到过P(X1, X2 , … , Xn )
对于任意的Ai∩Aj也成立，令： r2 = X1∩X2+X1∩X3+….Xi∩Xj+ …..
ΣAi∩Aj= r2 (n-2)!
直到推广到第k个和式赋值。我们这样定义rk: rk是把k个非攻击型车放到n行n列棋盘上的
这样一种方法数，其中这 k 个车种的每一个都
处在禁止放置的位置上（ k =1,2, ….n）于是:
A2 7! 105 1 !4!2!
4
设出现zz的排列的集合记为A3，同理有：
8! A3 280 4! 3 ! 1 ! 全排列的个数为： 9! 1260 4!3!2!
同时出现xxxx，yyy的排列的集合为A1∩A2 ，
A 1 A 2 4! 12 1 ! 1 !2! 5! 20 1 ! 3 ! 1 !
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当 n = 2 时，21 就是一个允许的排列。 当 n = 3 时，213 321 132 就是三个允许的 排列。 当 n = 4 时，1 允许的排列如下： 4132 3214 4321 3241 4213 3142
2431
1324
2413
1432
2143
因此
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Q1 = 1； Q2 = 1； Q3 = 3； Q4 = 11；
三个不能是3，4；第四个不能是1，4；
3
有些限制排列可以利用容斥原理直接求 例：4个x ，3个y，2个z的全排列中，求不
出现xxxx，yyy，zz子串的排列。
解：设出现xxxx的排列的集合记为A1，此时原
来集合中的9个元素可视为6个，那么
A 1 6! 60 1 ! 3 !2!
设出现yyy的排列的集合记为A2，同理有：
禁区。 r1 =6，
r2=1+1+3×2+1×2=10
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r3=(1×2)+(2×1)=4 ； r4= 0 故方案数为：
n!－r1(n－1)!+r2!－6(4－1)!+10(4－2)!－4(4－3)! +0(4－4)!=4
“错位排列”和“带有禁止位置的排列”
A
i1
Ai2 ...... Aik rk (n k )! (k 1,2,...n)
15
定理6.4.1 将n个非攻击型不可区分的车放到带有 禁止放置的n行n列的棋盘是的放置方法数为:
P(X1, X2,………,Xn)=n!－r1(n－1)!+r2(n－2)!－…
..(-1)krk(n－k)!+…..+(-1)nrn 例：确定将6个非攻击型 车放到下面6行6列棋盘 的方法数,其中禁止放车
利用容斥原理： A1 A2 A3 126 (60 105 280) (12 20 30) 6 871
6
例：令X1={1}, X2 ={2},….. Xn={n}。则集合： P(X1, X2 , ……, Xn )等于集合{1,2,….n}中的
满足：
i1 1； i2 2； i3 3；….. in n ；
足同一行（列）中有且仅有一个棋子。
x
如图所示的布局对应于排列
41352。如果棋子都是能够
x
x
x
x
相互攻击的车，怎样摆放使 得它们互相 不能攻击？
8
正如我们前面我们讨论过的：非攻击型车 在棋盘上的摆放问题(P41), {1,2,….n} 集合的n
个不同元素的一个排列和n行 n列棋盘上非攻击
型不可区分的车在棋盘上的摆放位置之间存在
r2=2+2+3+4=11
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占三个禁放位置时必须分为左2个右1个或者右1 个左2个；2个在同一侧时还要避开互相攻击
（同行或者同列的情况）
r3=(1+2)+(2+2)=7 ；
占四个禁放位置时必须分为左2个右2个，r4=1
这样上例题的排列方案数为：
n!－r1(n－1)!+r2(n－2)!－… . +…..+(-1)nrn
× × × × × × ×
位置在图中标出。
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解: 由图中红色禁放位置可知， r1 = X1+X2+………+X6
=1+2+2+2+0+0=7
在求r2到r6之前，我们对禁止位置进行分析如下： 禁止位置可以分为独立的两个部分F1,F2如下： F1 1 2
一 ×
二 × ×
F2 3 4
三 × × 四 × ×
2
例：令 n = 4 , X1={1, 2}, X2 ={2, 3}, X3={3, 4}, X4 ={1, 4};此时P(X1, X2 , X3, X4 )是由集合
{1, 2, 3, 4 }的所有满足条件：
i1 1，2； i2 2，3； i3 3，4； i4 1，4； 的排列i1 , i2 , i3 , i4 组成。即是：排列 i1 , i2 , i3 , i4 中，第一个不能是1，2；第二个不能是2，3；第
=4!－6(4－1)!＋11(4－2)!－7(4－3)! ＋1(4－４)! ＝4
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例:１,２,３,４四位工人, 还有A,B, C,D四项任务。 条件如下：
１不干B; ２不干B、C; ３不干C、D; ４不干D。
问有多少种可行方案？ 由题意，可得如左棋盘： 解 A B C D
1 2 3 4
其中有影线的格子表示
{1,2,….n}的所有排列i1 i2 i3……. in , 的集合，
1
要求： i1 不在X1内 i2不在X2内 ……. in不在Xn内 如果{1,2,….n}的一个排列使得：
X1的元素不占据该排列的第一个位置， X2的元
素不占据该排列的第二个位置 ,…… Xn的元 素不占据该排列的第n个位置，则：该排列属 于： P(X1, X2, …….. Xn),本排列中都是禁止 位置排列组成；
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显然 r5 = r6 = 0 故将6个非攻击型车放到 6行6列棋盘中使得
没有车占据禁止摆放位置的方法数等于：
6! － 7 ×5! + 15×4! － 10 ×3! + 2 ×2! =226
通过例题我们看出，运用定理6.4.1仅仅计算
ri , 比直接将n个非攻击型车放到禁放位置的n行 n列棋盘上的方法数更容易，但ri的求法与禁止 位置数量有关，禁止位置数太多时求ri就困难。