错位排列和禁位排列
第四节 有限制位置的排列及棋子多项式
定理1 n个元素有禁位的排列数为 N n! r1 (B)(n 1)! r2 (B)(n 2)! (1)n rn (B)0! 其中B表示由禁区组成的棋盘. 例2 由5个字母a，b，c，d, e 组成的全排列中,要 求a不在1,5位置上, b不在２,３位置上, c不在３,４位 置上, e不在５位置上，求这样的排列数. 解：根据题意，画出一个5×5的棋盘，如图所示， 行表示5个字母,列表示5个位置, （i，j）位置涂上阴影,表示第i个字 母不能出现在j位置上,于是满足要求 的排列数就是在没有阴影格组成的 棋盘中放入5个相同棋子且不同行不 同列的方法数.
所以
* R(C ) xR(CS ) R(CS )
1 6x 10x 2 4x3 .
二、有限制位置的排列
对n个元素 a1 , a2 , , an 的全排列 ，如果规定某些元素 不能排在某些位置上的排列问题称为有禁位的排列问题. 错排问题就是一个有禁位的排列问题. 例1 由4个字母a，b，c，d组成的全排列中,要求 a不在1位置上, b不在２,３位置上, c不在４位置上, d 不在3位置上，求这样的排列数. 解：根据题意，画出一个4×4的棋盘，如图所示， 行表示4个字母,列表示4个位置, （i，j）位置涂上阴影,表示第i个字 母不能出现在j位置上,于是满足要求 的排列数就是在没有阴影格组成的 棋盘中放入4个相同棋子且不同行不 同列的方法数.
例4 求棋盘C：
的棋子多项式. 中所标小方格.
解：取C中小方格S为C：
* 则CS ：
CS：
),
* 于是有 R(CS ) R( ) R(
(1 2x) (1 x) 1 3x 2x2 .
R(Cs ) R(
) R(
高中数学排列组合题型总结
排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。
因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一． 直接法1． 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。
四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ） 2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
全错位排列
一、问题导入【引例1】唐僧、孙悟空、猪八戒、沙和尚4人在某公司不同岗位任职，现在需要调换岗位，要求每个人都不能在自己原来的岗位，则共有种不同的安排方法。
【引例2】有4名同学各写了一张贺卡，先全部收集起来，然后每人从中拿出一张贺卡，要求每个人都不拿自己的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有种。
【引例3】将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同(即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，也就是说4个全部放错)，则共有种不同的放法。
不难发现，以上三个引例都是同一类问题，答案是多少呢下面用枚举法给大家答案：假设原来顺序：A、B、C、D枚举的时候注意按照一定规律进行，如果看成1、2、3、4号位置，那么第一步A可以放2、3、4号位置中的任意一个，第二步把B的位置确定，第三步确定C和D的位置：第1种错位排列：B、A、D、C(A在2位，B在1位，C、D位置就唯一确定了);第2种错位排列：D、A、B、C(A在2位，B在3位，C、D位置就唯一确定了);第3种错位排列：C、A、D、B(A在2位，B在4位，C、D位置就唯一确定了);第4种错位排列：B、D、A、C(A在3位，B在1位，C、D位置就唯一确定了);第5种错位排列：C、D、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置可以是1、2);第6种错位排列：D、C、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置也可以是2、1);第7种错位排列：B、C、D、A(A在4位，B在1位，C、D位置就唯一确定了);第8种错位排列：C、D、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置可以是1、2);第9种错位排列：D、C、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置也可以是2、1)。
可见，4个元素的错位排列一共有9种。
即以上三道引例的答案都是9种。
二、理论推导其实，上面引例涉及的三个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把带这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题。
错位排列——精选推荐
错位排列问题：⼗本不同的书放在书架上。
现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。
有⼏种摆法？这个问题推⼴⼀下，就是错排问题，是组合数学中的问题之⼀。
考虑⼀个有n个元素的排列，若⼀个排列中所有的元素都不在⾃⼰原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的⼀个错排。
n个元素的错排数记为D(n)。
研究⼀个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。
错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。
这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n 封信装到n个不同的信封⾥，有多少种全部装错信封的情况？⼜⽐如四⼈各写⼀张贺年卡互相赠送，有多少种赠送⽅法？⾃⼰写的贺年卡不能送给⾃⼰，所以也是典型的错排问题。
递推公式当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的⽅法数⽤D(n)表⽰，那么D(n-1)就表⽰n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的⽅法数，其它类推.第⼀步，把第n个元素放在⼀个位置，⽐如位置k，⼀共有n-1种⽅法；第⼆步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种⽅法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种⽅法；综上得到D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.下⾯通过这个递推关系推导通项公式：为⽅便起见，设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n,则N(1) = 0, N(2) = 1/2.n ≥ 3时，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.因此N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!,N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!.相加，可得N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!因此D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].此即错排公式。
公务员行测考试错位重排指导
公务员行测考试错位重排指导谈起行测数量关系的排列组合问题，都令很多考生头疼不已，由于这类型的题目较为灵活，变化比较多，而且一些概念的判定相对来讲比较抽象，故正确率不高。
下面作者给大家带来关于，期望会对大家的工作与学习有所帮助。
公务员行测考试错位重排指导一、作甚错位重排错位重排就是指元素与本来的位置关系均没有一一对应。
这样的概念可能仍旧比较抽象，但是这样抽象的概念如果放到生活中，就会造成啼笑皆非的现象。
比如说：4个妈妈去幼儿园接孩子放学，但是每位妈妈接的都不是自己的孩子、6个游客拖了鞋在沙滩边玩耍，结束之后每位游客穿的都不是自己的鞋子等等，这样的其实就属于我们所描写的错位重排现象二、错位重排如何解错位重排简单的原因就在于，不同元素的个数所对应的错位重排情形数，是固定的，因此只要我们提早进行记忆，那么就可以很好的运用于题干了。
例1.四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。
现在要求每人去品味一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共有几种不同的尝法?A.6种B.9种C.12种D.15种【答案】B。
解析：根据题意可知，四位厨师均不能尝自己做的那道菜，即满足了每个元素与自己的位置均没有一一对应，而4个元素的毛病重排情形数为9种，故挑选B选项。
例2.五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情形共有多少种?A.6B.10C.12D.20【答案】D。
解析：根据题意可知，5个瓶子中有3个贴错了，即有3个元素满足了错位重排的条件。
而这3个瓶子的情形数也有种情形，而这3个瓶子错位重排包括2种情形，故共有20种情形，挑选D选项。
通过上面讲授，相信各位考生对错位重排已经有所了解，期望对大家有所帮助。
对于这块内容，大家一定要明确其中的规律，多加练习，只有在不断强化练习的进程中，做起题来才会得心应手。
最后祝大家在成功的道路上能够不畏艰巨，勇往直前!拓展：省考行测考试主旨观点(一)什么是计策建议句所谓计策建议句，是指在文段中显现的表达作者对某些问题提出的计策和建议的句子。
容斥原理
排列与布棋方案
一个棋盘由大小相同的正方形方格构 成，一个方格中允许放入一个棋子. 在向棋盘布棋时，要求任何两个棋子 既不能布在棋盘的同一行，也不能布 在同一列上.
排列 p1 p2 … pn 表示: 第一行的棋子放在第 p1 列 第二行的棋子放在第 p2 列 … 第 n 行的棋子放在第 pn 列
布棋方案
i 1
1i jm
| Ai Aj Ak | ... (1)m1 | A1 A2 ... Am |
1i jk m
定理： 设S为有穷集，P1,P2, …, Pm是m种性质，Ai是S中 具有性质Pi 的元素构成的子集， 是Ai 相对于S 的补集， i=1, 2, …, m. 则 S 中不具有性质P1, P2, …, Pm的元 素数为
i 1
1i jm
| Ai Aj Ak | ... (1)m | A1 A2 ... Am |
1i jk m
证明方法：数学归纳法、组合分析 证 组合分析. 若 x 不具有任何性质，则对等式右边贡献为：
1 0 + 0 0 + … +(1)m0 = 1 若 x 具有n 条性质，1nm, 则对等式右边的贡献为：
|A|=16， |B|=21， |E |=50， |～(A∪B)|=17 |A∩B| =|A|+|B|-|（A∪B）|
=|A|+|B|-（|E|-|～(A∪B)|）
=16+21-（50-17）=4 所以有4个人两项均得优。
例2
Pascal, Visual Basic, C
三门课程的上机。 三门课程的学生分别有110人，
| A1 A2 A3 A4 | 120 (60 40 24 17) (20 12 8 8 5 3) (4 2 1 1) 0
7-错排问题
n!C
1 n 1
n 1!C n 2! 1
2 n 1
i
n 1
C
n 1 n 1
1!
n 1 i 1 n 1! 1 n! 1 i! i! i 0 i 0
n 1
Dn1 Dn
*
) = xR(
)+R(
)
= x(1+ x)2 +(1+2x)2 =1+ 5x +6x2 + x3 R(
* ) = xR(
) + R(
)
= 1+6x +10 x2 +4x3
6.2 有限制排列和棋盘多项式
３．有禁区的排列
例 设对于排列P=P1 P2 P3 P4，规定P1≠３，P２≠１、 ４， P３≠2、４， P4≠2。
8! 设出现zz的排列的集合记为A3,| A3|= 4!· =280； 3!
6.2 有限制排列和棋盘多项式
|A1∩A2|=
4! =12； |A1∩A3|= 2! 5! =20； 3!
|A2∩A3|= 6! =30； |A1∩A2∩A3|=3!=6； 4! 9! 全排列的个数为： 2!· 4! =1260； 3!· 所以： |A1∩A2∩A3|=1260－(60+105+280) +(12+20+30)－6 =871
6.1 错排问题
例 在8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中,求 使A,C,E,G四个字母不在原来上的错排数目。 解: 8个字母的全排列中,令 A1 , A2 , A3 , A4分别表 A,C,E,G在原来位置上的排列，则错排数为：
全错位排列
全错位排列 先看下面例子：例15个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：先考虑5个有的全排列，有 A55种不同的排法，然后除去甲排第一(有 A44种)与乙排第 二(也有A44种)，但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55 — 2A44 + A33 = 78 种。
现在考虑：例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同 的站法。
仿上分析可得： A55 — 3A44 + 3A33 — A22 = 64种这与全错位排列很相似。
全错位排列一一即n 个元素全部都不在相应位置的排列。
看下面的问题例3 5个人站成一排，其中 A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位, E 不站第五位，共有多少种不同的站法。
解析：上面例1,例2实际上可以看成n 个不同元素中有 m ( men)不排在相应位置。
公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素(m en)不排在相应位置的排列种数共有：从 而这个问题可能用上面的公式得出：n 1n 2 n _2 A n -C m 入」C m 入之这个公式在n = m 时亦成立A55 — C(5,1)?A44 + C(5,2)?A33 — C(5,3)?A22 + C(5,4)?A11 — C(5,5)?A00 = 44 种(注意 A00 = 0! = 1)再看1993年高考题：同室四人各写一张贺年卡， 先集中起来。
然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。
则四张贺 年卡不同的分配方式有(A)6 种(B)9 种 (C)11 种 (D)23 种解析：由上面公式得：A44 — C(4,1)?A33 + C(4,2)?A22 — C(4,3)?A11 + C(4,4)?A00 = 9 种，.••选择 B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元 素不在第n 位的排列数为： n 1 n 4 2 A n -C^A n. C n *A 这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题, 可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助将n 个编号为1、2、3...n 的小球投入到编号为1、2、3...n 的n 个盒子中，其中第i 号球不 投到第i 号盒子中(i = 1,2,3,...n )的投法数为全错排列问题.这个问题是由瑞士的数学家欧拉解决的，公式为：其中n >2on•C^A 这实际上是公式一的特殊情况。
错排问题的模型解释及求解
－
＋＋
Ｄ ｎ ＝ ｎ! １ －
ꎬ但本文从不
１! ２! ３!
ｎ!
[
]
同角度解释此数学模型ꎬ得到不同的递推关系并解出其
通项公式ꎬ加深对错排问题认识.
容斥原理:设 Ａ１ ꎬＡ２ ꎬꎬＡ ｎ 为有限集合ꎬ用 Ａ ｉ 表示
集合 Ａ ｉ 中的元素个数ꎬ则有:
ｎ
∑
｜ Ａ１ ∪Ａ２ ∪Ａ ｎ ｜ ＝ ∑ Ａ ｉ － ∑ ｜ Ａ ｉ ∩Ａ ｊ ｜ ＋
( － １) ｎ
.
ｎ!
∴ Ｄ ｎ ＝ ｎ! １ －
[
１
１
１
( － １) ｎ
＋
－
＋＋
.
１! ２! ３!
ｎ!
]
收稿日期:２０１８ － １０ － ２５
作者简介:吴如光(１９８３. １２ － ) ꎬ男ꎬ安徽省滁州市全椒县人ꎬ研究生ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
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四、按分类计数原理解释
将 ｎ 封信全排列共有 ｎ! 种ꎬ按照装错信封的个数进
ｎ
ｉ ＝０
ｎ
证明:若 ｎ∈Ｎ ꎬａ ｎ ＝ ∑Ｃ ｂ ｉ ꎬ则有:
ｉ ＝０
ｎ
＝ ｎ! １ －
[
ｉ
ｎ
Ｃ
ｎ
ｉ
ｉ
ｉ ＝０
ｊ ＝０
ｎ
ｉ
ｉ ＝０ ｊ ＝０
ｎ
ｎ
ｂ ｊ ＝ ∑∑( － １)
ｎ
ｊ ＝０ ｉ ＝ ｊ
ｎ
ｎ－ｉ
Ｃ Ｃ
ｊ
ｎ
ｉ ＝０ ｊ ＝０
ｎ－ｉ
ｎ－ｊ
ｂ ｊ
ｉ＝ｊ
ｎ
这里∑( － １)
ｉ＝ｊ
ｎ－ｉ
解决排列组合问题的常用方法
（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；
（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；
（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；
（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）
⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为 ；（非等分，有序）
⑶是指定人应得数量的均匀问题：方法数为 ；（等分有序）
⑷是分堆的非均匀问题（与⑴等价）：方法数为 ；（非等分无序）
⑸是分堆的均匀问题：方法数为 ；（等分无序）
⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为 ；（局部等分有序）
⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为 （局部等分无序）
（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5=25个；③三位数共有5×5×4=100个．因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个．
（5）分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3=120个；
②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；
③千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；
2、从 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．
解：形如 的数共有 个，当这些数相加时，由“ ”产生的和是 ；形如 的数也有 个，当这些数相加时，由“ ”产生的和是 ；形如 的数也有 个，当这些数相加时，由“ ”产生的和应是 ．这样在所有三位数的和中，由“ ”产生的和是 ．同理由 产生的和分别是 ， ， ， ，因此所有三位数的和是 ．
高中数学排列组合：全错位排列问题详解
利用此递推关系可以分别算出 T4=9，T5=44，所以题三的答案为 44+5×9+10×2=109.
3．关于全错位排列数的一个通项公式：Tn= n![ 1 1 (1) n 1 ] （n≥2）.
2! 3!
n!
(1).探索
规定 An0 =1（n∈N*），试计算以下各式的值： （1） A42 A41 A40 ； （2） A53 A52 A51 A50 ； （3） A64 A63 A62 A61 A60 .
2! 3!
k! 2! 3!
(k 1)!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +k· (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
=k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
k!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k k 1 ]
全错位排列问题
每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位 排列问题.
1．错位排列问题
例 1. 4 名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则
四张贺卡的不同分配方式共有
Hale Waihona Puke 种.例 2. 将编号为 1，2，3，4 的四个小球分别放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，
(k 1)!
k!
(k 1)!
∴n=k+1 时（*）式也成立.
由以上过程可知 n 个元素全错位排列的排列数为：
Tn=
aj 不排 i 位
带有禁止位置的排列
个数，也相当于： r1等于将棋盘上的一个车放
到禁止位置的方格的方案数。
进一步考虑 A1∩A2 ，这个数也表示将 n 个
非攻击型车放到棋盘上的方法数，其中在第一
行和第二行的车都在禁止位置上，即对应在序
列 X1 和 X2 内。同理在第一和第二行禁止位置
上的两个非攻击型车的放置方法有(n-2)! 种。14
法数，其中第一行上的车位于 X1 的一个序列中。
以(n-1)!种方法安置其余n-1个非攻击型车。故有：
因此:ΣAi= (X1+X2+………+Xn) (n-1)!
令 r1 = X1+X2+………+Xn , 代入上式得： 13
ΣAi= r1 (n-1)!
其中 r1 等于棋盘上所有禁止放车的方格的
25
那么确定对集合{1,2,3,…,8}的8-排列，使得每个 排列中不要出现：12, 23, …78的模式。
例如：31542876 就是允许出现的一贯排列，而
84312657则不是，其中的12还是前面的次序。
对于每个正整数n，令Qn表示集合{1,2,3,…, n}
中没有12, 23, … ,(n-1 )n 模式的排列的个数。 利用容斥原理求的Qn值。 当 n = 1 时，1 就是一个允许的排列。
所谓它们独立是 无同行同列的位置
17
两个车放置的情况可以都在F1、F2中也可以在 F1F2各一个中。如果在都F1中，不攻击的位
置只有一种，如果在都F2中；不攻击的位置有两
种；如果分别在F1、F2中,不攻击的位置有3×4种 F1 1 2
一 × 二 × ×
F2 3 4
三 × × 四 × ×
所以 r2 = 1 + 2 + 3 ×4 = 15
组合数学_第6章6.4-6.5_
{1,2,…, n}的排列 i1 i2… in对应于棋盘上以方格 (1, i1), (2, i2),…, (n, in)
为坐标的n个车的位置
1 2 3 4 5 设n=5, X1={1, 4}, X2={3},
1X
X
X3=Φ, X4={1, 5}, X5={2, 5},
2
X
则P(X1,X2,…,X5)中的排列
p(X1 , X2 , X3 , X4 ) = 2
（方法2：容斥原理）
带禁止位置的“非攻击型车”
{1,2,…, n}的排列 i1 i2… in对应于棋盘上以方格 (1, i1), (2, i2),…, (n, in)
为坐标的n个车的位置
1 1
2 3 4 5 位置
23 45
24135
带禁止位置的“非攻击型车”
满足第 j 行的车不在 Xj 中的列，i=1,2,…,n，共 有多少种放置方法？
令属性Pj表示 j行上的车放置在Xj所给出的禁止位置中， 且Aj则为具有属性Pj的车的放置方法集合，
(1) |Aj |= |Xj | (n - 1)! (j=1,2,…,n) S |Aj | = (|X1|+|X2|+…+|Xn|) (n - 1)! 令r1 = (|X1|+|X2|+…+|Xn|) 则S |Aj | = r1 (n - 1)!
上，使得每一个男孩都面对到另一个男孩。他们能够
有多少种方法改变座位使得每人面对的男孩都不同？
（所有的座位都是一样）
1
8
2
解：应用容斥原理 假设8个男孩分成了四对： (1,5), (2,6),
7
3
6
4
5
行测数学运算：排列组合问题
行测数学运算：排列组合问题基本知识点：加法原理：分类用加法乘法原理：分步用乘法排列：与顺序有关组合：与顺序无关排列公式：Pmn=Amn=n!（n-m）!=n×（n-1）×（n-2）×…×（n-m+1）组合公式：Cmn=Cn-mn=Amnm！=n!m!（n-m）!=n×（n-1）×（n-2）×…×（n-m+1）m×（m-1）×（m-2）×…×1一、基础公式型【例1】（吉林2009乙-9）甲、乙、丙三个人到旅店住店，旅店里只有三个房间，恰好每个房间住一个人，问一共有（）种住法。
A. 5B. 6C. 7D. 8［答案］B［解析］本题等价于从3个人里挑出3个来排一个顺序：A33=6。
【例2】（陕西2008-12）在一条线段中间另有6个点，则这8个点可以构成多少条线段？（）A. 15B. 21C. 28D. 36［答案］C［解析］本题等价于从8个点中挑出2个构成一条线段，即：C28=28。
【例3】（国家2004B类-44）把4个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法？（）A. 24B. 4C. 12D. 10［答案］A［解析］本题等价于从4个球里挑出4个来排一个顺序：A44=24。
【例4】（上海2004-18）参加会议的人两两都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有多少人？（）A. 9B. 10C. 11D. 12［答案］A［解析］本题等价于从N个人中挑出2个成为一个组合，即：C2N=N×（N-1）2×1=36，解得N=9。
【例5】（国家2004A类-47）林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的两种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。
若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同的选择方法?（）A. 4B. 24C. 72D. 144［答案］C［解析］根据乘法原理：共有C13×C24×C14=72种不同的选择方法。
计数问题
计数问题（一）一．方法：枚举法，分步、分类计数原理；类型：圆排列：从n 个元素中任取r 个不同元素仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个圆圈，这种排列称为n 个不同元素的r -圆排列，r -圆排列数记为rA Krn r n=．重复排列：从n 个不同元素中允许重复地任意取r 个元素排成一列，称为n 个不同元素的r -可重排列；r -可重排列数公式：n r ．重复组合：从n 个不同元素中任取r 个允许重复出现的组合称为n 个不同元素的r -可重组合；r -可重组合数公式：rr n C 1-+．个个r r n r n r m r n n m a a a a a a a a a a a a a a a a 1236642133211-+-+-+⇔ 元素不尽相异的排列数：n 个元素中分别有m r r r ,,,21 个相同的元素的全排列数公式!!!!21m r r r n ．二．例题选讲1．由数字1，2，3组成n 位数，且在n 位数中，1，2，3的每一个至少出现一次，问这样的n 位数有多少个？3233+⨯-n n2．把3×3棋盘上的方格编号为9,,2,1 ，每个方格一个号码，用3种颜色去染棋盘上的方格，每个方格染且只染一种颜色，每种颜色染3格方格，每行每列都有3种颜色的方格，有多少种染法？3×2×2=123．有多少种方法将一百万表示成三个因数的乘积（因数的不同排列顺序，也视作不同的表示方法）？78466)52()52()52(1028283213216332211=⇒⎩⎨⎧=++=++⋅⋅⋅⋅⋅=C C y y y x x x y x y x y x 解的组数为4．平面上有5个点，任意两点之间用线段连接，这些线段互不平行，互不垂直，也不重合．过其中每个点，都向其它4点间的线段作垂线，所有这些垂线的交点至多有多少个？310)1(5,3033523223252302524=----=C C C C C C C C5．平面上有n(n>4)个点，其中任意三点不共线，以它们为顶点作四边形，证明：这些四边形中至少有23-n C 个凸四边形。
二、有限多重集的r-组合数设多重集S={n1·a1,n2·a2,…,nk
利用下面的组合模型来模拟多重集的r-组合数
设有n个标志为1,2,…,n的网袋，第i个 (i=1,2,…n)网袋里放有ni个球 (不同网袋里的球是不同的，同一网袋里的球 则是没有差别的，认为是相同的)。
因此多重集S的一个6-组合{a1a1a3a3a3a4}就相应 于从第1个网袋里取2个球，第3个网袋里取3个 球，第4个网袋里取1个球。
把容斥原理应用到多重集 D={·a,·b,·c}的所有4-组合的集合Y上， 则S的4-组合全体即为Y的子集。
令P1表示D的4-组合中多于2个a这一性质， P2表示D的4-组合中多于2个b这一性质， P3表示D的4-组合中多于4个c这一性质， 令Ai(i=1,2,3)表示D的具有性质 Pi(i=1,2,3) 的 4-组合全体。则4-组合数等于
定理：对任意的正整数n，有
Qn=n!-C(n-1,1)(n-1)!+C(n-1,2)(n-2)!…+(-1)n-1C(n-1,n-1)0! 证明：设S={1,2,…,n}，用X表示S的所有 排列集合，则|X|=n!。 对于j=1,2,…,n，规定在一个排列中，有 j(j+1)出现，则该排列具有性质pj。 令Aj表示具有性质pj的所有排列集合。 则S的相邻禁位排列全体是：
定理：对于n1，有
Dn
n!(1 1 1!
1 2!
1 3!
(1)n
1) n!
证明：设S={1,2,…,n}，用X表示S的所有排列集 合，则|X|=n!。 对于j=1,2,…,n，规定在一个排列中，如果j在第 j个位置上，则该排列具有性质pj。 令Aj表示具有性质pj的所有排列集合。 则S的错位排列全体是：
A1 A2 An1
例：8人一列行走一天,现要变换位置,使 得第2天行走时,没有一个人的前面是第一 天在他前面的人,求变换位置方式数.
全错位排列问题
全错位排列问题每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题.1．错位排列问题例1.4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有种.例2.将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有种不同的放法.这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题.例3.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有种.解析：可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置；第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题.设n个元素全错位排列的排列数为T n，则对于例3，第一类排列数为T5，第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为5T4，第三类先确定两个排原位的同学，有25C=10种，所以第三类的排列数为10T3，因此例3的答案为：T5+5T4+10T3=109.由于生活中很多这样的问题，所以我们有必要探索一下关于全错位排列问题的解决方法.2．关于全错位排列数的一个递推关系式：T n=(n-1)(T n-1+T n-2)，（n≥3）(1).一般地，设n个编号为1、2、3、…、i、…、j、…、n的不同元素a1、a2、a3、…、a i、…、a j、…、a n，排在一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的全错位排列数为T n，则T2=1，T3=2，T n=(n-1)(T n-1+T n-2)，（n≥3）.(2).递推关系的确立显然对于n=1，2时有T1=0，T2=1.当n≥3时，在n个不同元素中任取一个元素a i不排在与其编号相对应的i位，必排在剩下n-1个位置之一，所以a i有n-1种排法.对a i每一种排法，如a i排在j位，对应j位的元素a j的排位总有两种情况：第一种情况：a j恰好排在i位上，如表（1）123…i…j…na j a i表（1）此时，a i排在j位，a j排在i位，元素a i，a j排位已定，还剩n-2个元素，每个元素均有一个不能排的位置，它们的排位问题就转化为n -2个元素全错位排列数，应有T n -2种；第二种情况：a j 不排在i 位上，如表（2）表（2）此时，a i 仍排在j 位，a j 不排在i 位，则a j 有n -1个位置可排，除a i 外，还有n -1个元素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为n -1个元素全错位排列，排列数为T n -1，由乘法原理和加法原理可得：T n =(n -1)(T n -1+T n -2)，（n ≥3）.利用此递推关系可以分别算出T 4=9，T 5=44，所以题三的答案为44+5×9+10×2=109.3．关于全错位排列数的一个通项公式：T n =111![(1)]2!3!!n n n ⋅-+⋅⋅⋅+-⋅（n ≥2）.(1).探索规定0n A =1（n ∈N *），试计算以下各式的值：（1）21444A A A -+；（2）3215555A A A A -+-；（3）432166666A A A A A -+-+.很容易计算三式的值依次为9，44，265.而这与利用上面的递推关系式得到的T 4，T 5，T 6刚好吻合，即T 4=21444A A A -+；T 5=3215555A A A A -+-；T 6=432166666A A A A A -+-+.(2).猜想根据上面的探索，我们可以猜想n 个元素全错位排列的排列数为T n =230(1)n n n n n n A A A ---+⋅⋅⋅+-（n ≥2）（*）为了更容易看清其本质，我们对这个式子进行变形，得到：T n =230(1)n n n nn n A A A ---+⋅⋅⋅+-=!!!(1)2!3!!n n n n n -+⋅⋅⋅+-⋅=111![(1)]2!3!!n n n ⋅-+⋅⋅⋅+-⋅(3).证明（数学归纳法）n =2，3时（*）式显然成立；假设n =k ，k -1时（*）式成立，则当n =k +1时，有上面的递推关系式可得：T k +1=k (T k +T k -1)=k {111![(1)]2!3!!k k k ⋅-+⋅⋅⋅+-⋅+1111(1)![(1)]2!3!(1)!k k k --⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-}=k ·(k -1)!·{111[(1)]2!3!!k k k ⋅-+⋅⋅⋅+-⋅+1111[(1)]2!3!(1)!k k --+⋅⋅⋅+-⋅-}=k !·[1111(1)2!3!(1)!k k k k k -+++-+⋅⋅⋅+-⋅-+k ·1(1)!k k -⋅]=k !·[1111(1)2!3!(1)!k k k k k -+++-+⋅⋅⋅+-⋅-+（k +1）·1(1)!k k -⋅1(1)!k k --⋅]=k !·[1111(1)2!3!(1)!k k k k k -+++-+⋅⋅⋅+-⋅-+（k +1）·1(1)!k k -⋅1(1)(1)!k k k +--⋅+]=k !·[1111(1)2!3!(1)!k k k k k -+++-+⋅⋅⋅+-⋅-+（k +1）·1(1)!k k -⋅11(1)(1)!k k k +++-⋅+]=(k +1)!·[1111(1)2!3!(1)!k k --+⋅⋅⋅+-⋅-+1(1)!k k -⋅11(1)(1)!k k ++-⋅+].∴n =k +1时（*）式也成立.由以上过程可知n 个元素全错位排列的排列数为：T n =230(1)n n n nn n A A A ---+⋅⋅⋅+-=!!!(1)2!3!!n n n n n -+⋅⋅⋅+-⋅=111![(1)]2!3!!n n n ⋅-+⋅⋅⋅+-⋅（n ≥2）.4.关于全错位排列数的另一个递推关系式：T n =nT n -1+(1)n-由T 2=1，T 3=2，T 4=9，T 5=44，T 6=265可得：T 3=3T 2－1；T 4=4T 3+1；T 5=5T 4－1；T 6=6T 5+1.于是猜想T n =nT n -1+(1)n-.证明：由上面已证明的全错位排列数公式可知右边=n ·1111(1)![(1)]2!3!(1)!n n n --⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+(1)n -=n !1111[(1)]2!3!(1)!n n -⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+(1)n -·!!n n =111![(1)]2!3!!n n n ⋅-+⋅⋅⋅+-⋅=左边.所以T n =nT n -1+(1)n-.5.点评在解决排列组合问题时，经常涉及到全错位或部分错位的排列问题，在元素不是很多时，我们可以通过分类讨论的方案，对问题进行讨论，但当元素较多时讨论起来非常麻烦，所以掌握了全错位排列数的一个通项公式和两个递推关系式，对我们解决这一类问题将带来很大的方便.（三）利用隔板法巧解排列、组合题隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。
错位排列的一个计算公式
错位排列的一个计算公式
何亚雄
【期刊名称】《黄冈师范学院学报》
【年(卷),期】1992(000)001
【摘要】本文借助于矩阵的积和式得出了错位排列的一个新的计算公式,即【总页数】4页(P30-32,37)
【作者】何亚雄
【作者单位】英山县教师进修学校
【正文语种】中文
【中图分类】G658.3
【相关文献】
1.错位排列和禁位排列及其排列数公式 [J], 姜学杰
2.一个附带排列奇偶性的排列生成算法 [J], 赵天玉
3.焦炉斜道口调节砖排列计算公式探讨 [J], 左树行;高兴锁;唐自厚;戴占良
4.组合学中一类排列问题的历史研究--从错位排列到限位排列 [J], 刘建军
5.错位排列和禁位排列的又一种法算方法 [J], 蔡锡弟
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错位排列和禁位排列错位排列和禁位排列1.问题提出（1）某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务，问共有多少种不同的干部调配方案？（2）有5个客人参加宴会，他们把衣帽寄放在室内，宴会后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现，他们戴了别人的帽子，问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？上述两个问题，实质上是同一种类型的问题，被著名数学家欧拉 （Leonard Euler ，1707 —1783）称为“组合数论”的一个妙题的“装错信封问题”的两个特例。
“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰•伯努利（John Bernoulli ，1667—1748） 的儿子丹尼尔•伯努利 （Danid Bernoulli ，1700—1782）提出来的，大意如下：一个人写了 n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这n 封信都装错了信封。
问全部装错了信封的装法有几种？2.错位排列和禁位排列1）错位排列：n 个相异元素中()m m n ≤个元素12,,,mi i i a aa ⋅⋅⋅，其中()1,2,,k i a k m =⋅⋅⋅不在第()1,2,,ki k m =⋅⋅⋅个位置（一下简称其为ki a 的本位），而其他n m -个元素中的任何一个都在原来的位置（本位）的排列。
如果n 个元素都不在本位，称为全错位排列。
2）禁位排列（一个元素禁止排在一个位置）：n 个相异元素中()m m n ≤个元素12,,,mi i i a aa ⋅⋅⋅，其中()1,2,,ki a k m =⋅⋅⋅不能排在第()1,2,,k j k m =⋅⋅⋅个位置的排列。
3）两者的区别在于：错位排列中除这m 个元素之外的其他n m -个元素都在本位，即这m 个元素只能在m 个位置12,,,mi i i ⋅⋅⋅中排列，且不出现()1,2,,ki a k m =⋅⋅⋅在ki 位的情况；而禁位排列中只限制m 个元素不在本位，因此()1,2,,ki a k m =⋅⋅⋅可以排在1,2,,n ⋅⋅⋅中除ki 之外的任何位置。
3.禁位排列与全错位排列的种数1）禁位排列数：求禁位排列数，只需从n 个元素的全排列中除去指定元素占本位的排列即可，其中有1个元素占本位的排列数是111n m n CP--，有两个元素占本位的排列数是211n m n CP--，……，n个元素占本位的排列数是m n m m n mCP--.记错位排列和禁位排列的排列数分别为,m m n nD E ，用nD 表示n个元素全错位排列。
则由容斥原理有： 【禁位排列公式】()()()()012121mm m nm m m m E C n C n C n C n m =--+--⋅⋅⋅+--！！！！【证明】①当0m =时，等式左边为0nE ，表示n 个元素没有限制，所以有n nP n =！，等式右边本应该有1m +项，当0m =时，只有1项，就是00C n n =！！.等式成立； ②假设()01kik i n i nk n ii E C P --==-∑；③那么当1m k =+时，设第1k +个元素为a ，则前k 个元素不占本位而a 占本位的排列数为：11k k k nn n EE E+-=-()()11011kkiii n i i n i kn ik n i i i C PC P ------===---∑∑，()()()()()1011220112112121111kk kn n n k n k n n k n k k n k k n k n k n k n k k n k n k n k k n k C P C P C P C P C P C P C P C P -----------------=-+-⋅⋅⋅+---+⋅⋅⋅+-+-()()()10111111kik ni i n i k n k k nk k n i k n k i C P C C P C P +-------==+-++-∑()()10111111111ki k ni n i k n k k nk n i k n k i C P C P C P +-+--++-+--==+-+-∑()1101k ii n ik n ii C P +-+-==-∑因此对于0m n ≤≤时，公式1均成立。
【例1】 5个人站成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种不同的站法。
【解】由公式得：2051423525242378EC P C P C P =-+=【例2】6个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。
【解】由公式得：306152433636353433426EC P C P C P C P =-+-=【变式1】用0,1,2,3,4这5个数字，组成没有重复数字的5位数，百位上不排3，一共有多少种排法？【变式2】在由1,2,3,5,9组成的没有重复数字的五位数中，共有多少个小于60000的奇数？2）全错为排列数：全错为排列就是n 个元素，全不排在本位，实际上就是禁位排列中，当m n =的情况，因此： 【全错位排列公式】()()()0121210nn nnn n n n n D E C n C n C n C ==--+--⋅⋅⋅+-！！！！.另一种写法：()()01111111123innn i D n n n i =-⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⋅=⋅⎢⎥⎣⎦∑！！！！！！！.【例3】寝室四个人每人写一张贺卡，然后互相交换，每个人不拿到自己的卡片，一共有多少种可能？ 【解】由公式得：0413*******44434241409DC P C P C P C P C P =-+-+=；用另外一个公式得：411114191234D⎡⎤=-+-+=⎢⎥⎣⎦！！！！！.【例4】有来自,,,,A B C D E 五国的乒乓球裁判员各两名，执行某国际大赛的1,2,3,4,5号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由2个来自不同国家的裁判组成，不同的安排方案共有多少种？ 【解】相当于把10个人分成两组，每组5人，但是这5个人必须是分别来自,,,,A B C D E 五国，由于是平均分组，因此有()51222C P 种（两组之间没有顺序）；然后这把一组先排列，有55P 种排法；再把另外一组排列，要求同一个国家不能在一起，因此，是5个元素全错为排列的问题，有5D 种排列。
因此一共有()5125552284480C P D P⋅⋅=种。
【变式】有5个客人参加宴会，他们把衣帽寄放在室内，宴会后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现，他们戴了别人的帽子，问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？3）部分错位排列：将n 个元素12,,,na a a ⋅⋅⋅排在n 个位置上，记其中有且仅有m个元素的编号都在与其位置编号不一致的排法种数为：m nD ，则：【部分错位排列公式】m m nn mD C D =⋅.【注】部分错位的意思就是剩余部分就正常排列，剩余位置就只有一种排法。
【分析】有且仅有m 个元素的编号都与其位置编号不一致的可能性共有m nC 种，所以：m m n n mDC D =⋅.【例5】五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？ 【解】由公式，35320C D=，一共有20种可能。
【变式1】编号为1,2,3,4,5的五个小球，放入编号为1,2,3,4,5的5个盒子中，并且每盒至少一个小球，其中只有一个小球的编号与盒子编号一致，问：有多少种不同的方法？【变式2】客运公司调整6辆客车的发车班次，要求变动其中的4辆客车的发车班次，其余2辆的不变，共有多少种不同的调整方案？4）至少有其中的某m 个元素错位排列：将n 个元素12,,,na a a ⋅⋅⋅排在n 个位置上，记至少有其中的某m个元素，12,,,mr r r a aa ⋅⋅⋅的编号都与其位置编号不一致的排法种数为mnH ，则：01111m n m m n n m m n m m n m n m nH C D C D C D C D ----+--=++⋅⋅⋅++.【证明】问题中对另外n m -个元素的编号是否与其位置编号一致没有任何特别要求，当这n m -个元素中有且只有0,1,2,,1,n m n m⋅⋅⋅---个元素的编号与其位置编号不一致时，分别有：01111,,,,n m mn m m n m m n m n m nC D C D C D C D ----+--⋅⋅⋅种排法，所以：01111mn m mnn m m n m m n m n m nHC D C D C D C D ----+--=++⋅⋅⋅++.【注】至少有其中的某m 个元素错位排列，就是禁位排列。
5）至少有m 个元素错位排列：将n 个元素12,,,na a a ⋅⋅⋅排在n 个位置上，记至少有其中有m个元素的编号都与其位置编号不一致的排法种数为mnK ，则：【至少有m 个元素错位排列】1111mm m n n nn m n m n n n nK C D C D C D C D +-+-=++⋅⋅⋅++.【证明】有且只有,1,2,,m m m n ++⋅⋅⋅个元素的编号与其位置编号都不一致时，分别有：1111,,,,m m n n n m n m n n n nC D C D C D C D +-+-⋅⋅⋅种排法，所以：1111m m m n nn n m n m n n n nK C D C D C D C D +-+-=++⋅⋅⋅++.【例6】编号为1,2,3,4,5的五个人，分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上，则至多两个号码一致的坐法有多少种？ 【解】“至多两个号码一致”的意思就是“至少三个号码不一致”，由公式：33455535455109K C D C D C D =++=.【例7】高二年级共有6个班，配备有6名数学教师，每班1名，学校准备适当调整这6名教师在该年级组内的任课班级，在以下情况下，各有多少种调整方案？ （1）至少变动3名教师任课班级；（2）一定变动甲、乙、丙3名教师的任课班级； （3）变动甲、乙、丙3名教师的任课班级，其余3名教师的任课班级不变；（4）甲、乙、丙3名教师中至多变动1人的任课班级。
【解】（1）由题意，知求36K ，因为34562,9,44,265DD D D ====，所以：33456663646566704K C D C D C D C D =+++=，（2）属于禁位排列问题，306152433636353433426E C P C P C P C P =-+-=种。
（3）属于部分错位排列问题，可以看成是3个元素的全错为排列问题，有32D=种。