全错位排列
错位全排公式
错位全排公式错位全排公式什么是错位全排公式？错位全排公式是一种数学组合方法，也称为”错位排列”，用于计算某个集合的错位排列数量。
通常在排列问题中，我们考虑的是将n 个元素进行全排列的数量，而在错位全排中，我们要求每个元素都不在原来的位置上。
公式表达错位全排公式可以通过以下公式来表示：D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2})其中，D_n 表示n个元素的错位排列数量，D_{n-1} 表示n-1个元素的错位排列数量，D_{n-2} 表示n-2个元素的错位排列数量。
如何计算错位全排？要计算错位全排，我们可以按照以下步骤进行操作：1.首先，我们需要确定有多少个元素需要进行错位排列。
2.接着，我们需要计算出少于这个数量的元素的错位排列数量，即D_{n-1} 和 D_{n-2}。
3.最后，我们可以根据上述公式计算出错位全排的数量。
一个例子假设我们要计算3个元素的错位全排，即 n=3。
首先，我们需要计算 n-1 = 2 个元素的错位排列数量。
根据公式，我们可以猜测 D_2 = 1。
接着，我们需要计算 n-2 = 1 个元素的错位排列数量。
同样地，根据公式，我们可以猜测 D_1 = 0。
现在，我们可以使用公式 D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2}) 来计算三个元素的错位排列数量：D_3 = (3-1) * (D_2 + D_1) = (3-1) * (1 + 0) = 2 * 1 = 2因此，当元素数量为3时，错位全排的数量为2。
总结错位全排公式是一种用于计算某个集合的错位排列数量的数学方法。
通过公式 D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2})，我们可以轻松计算出任意数量元素的错位全排。
使用错位全排可以解决一些排列问题，特别是当我们需要确保每个元素都不在原来的位置上时。
此外，错位全排也可以用于一些密码学的应用中。
希望本文能够帮助读者理解错位全排公式的原理和应用。
关于全错位问题的结论
关于“全错位问题”的一个重要结论一般地，我们把“1”不放在第一位，“2”不放在第二位，“3”不放在第三位……。
“n ”不放在第n 位，称为“全错位问题”。
在全错位问题中，如果一共有n 个元素，我们用f(n)表示全错位问题的排法种数。
则可得一个重要结论：f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n ≧2) * 例如：n=1时，显然f(1)=0 n=2时 共1种情况而f(2)=2f(1)+(-1)2=1 符合*式 n=3时 或共2种情况而f(3)=3f(2)+(-1)3 =3×1-1=2 符合*式n=4时，举例：用1、2、3、4这四个数字组成无重复数字的四位数，1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位，共有多少种排法？列举如下：共9种排法而f(4)=4f(3)+(-1)4=4×2+1=9符合*式同理可验证：F(5)=5f(4)+(-1)5=44成立……下面给予一般性证明f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n≧2)1.当n=2时，f(3)=1，f(3)=3f(2)-1=2，等式成立，当n=3时，f(3)=2，f(4)=4f(3)+1=9，等式成立；2.假设n≤k （k≧3）等式成立，即k个元素a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数的递推关系为f(k)=kf(k-1)+(-1)k，则当n=k+1时，设全错位排序的元素为a1、a2、a3……a k、a k+1。
在k个元素全错位排序的基础上，k+1个元素全错位排序后，它们全错位排序的方法分为两类，（1）a k+1与a i（i=1、2、……k）互调位置，其余元素全错位排列，方法数为kf(k-1)；（2）a k+1在a i的位置上，但a i（i=1、2、……k）不在a k+1的位置上，相当于a k+1将的每一个全错位排列的元素置换一遍，由假设知a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数为f(k)，得该类全错位排序的方法数为k f(k).故f(k+1)=k f(k)+kf(k-1),由假设f(k)=kf(k-1)+(-1)k，∴f(k+1)=k f(k)+kf(k-1)=k f(k)+f(k)-(-1)k=（k+1）f(k)+(-1)k+1.即当n=k+1时，等式也成立.所以，n个元素全错位排列的方法数的递推关系为f(n)=nf(n-1)+(-1)n (n≧2).下面举例说明*式的应用例1.同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡不同的分配方式有______种?[解]此题属于4个元素的全错位问题由f(n)=nf(n-1)+（-1）3得f(4)=9故分配方式有9种例2．设编号为1、2、3、4、5的五个球及编号为1、2、3、4、5的五个盒子，一盒内放一球，恰有两个球的编号与盒子编号相同，则投放总数有多少？[解]“恰有两个球的编号与盒子编号相同”，等价于“恰有三个球的编号与盒子编号不同”。
全错排列的公式
全错排列的公式全错排列，听起来是不是有点让人摸不着头脑？别担心，让我来给您好好讲讲。
咱先来说说啥叫全错排列。
比如说，有3 个东西，原本的顺序是1、2、3，现在要把它们重新排列，使得每个东西都不在原来的位置上，这就是全错排列。
那全错排列有没有公式呢？答案是有的。
咱们的全错排列公式是：$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$您看，这公式是不是有点复杂？别着急，我给您慢慢解释。
就拿生活中的一个小事儿来说吧。
比如说，学校组织运动会，老师安排了 5 个同学参加不同的项目，分别是跑步、跳远、跳高、铅球和标枪。
可是呢，比赛前，负责安排的老师把名单弄混了，这 5 个同学都被安排到了不是原本自己的项目上。
这其实就是一个 5 个元素的全错排列问题。
咱们用上面的公式来算算。
先算 5!，那就是 5×4×3×2×1 = 120。
然后再算后面的那些分数项。
1/1! 就是 1，1/2! 就是 1/2，1/3! 就是 1/6，1/4! 就是 1/24，1/5! 就是 1/120 。
把这些加起来就是：1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 = 44/120 。
最后，用 120 乘以 44/120 ，就得到了 44 。
这就说明，5 个同学的全错排列方式有 44 种。
您可能会想，这全错排列在生活中有啥用啊？其实用处还不少呢。
比如说，您在整理书架的时候，原本的书都有固定的位置，突然您想打乱顺序重新摆放，而且不想让任何一本书在原来的位置，这时候全错排列就能帮您算算有多少种不同的摆放方法。
再比如，在公司安排座位的时候，如果想让每个员工都不坐在原来的位置上，也可以用全错排列来计算可能性。
总之，全错排列虽然看起来有点复杂，但是只要您理解了，就能发现它在很多地方都能派上用场。
全错位排列公式
全错位排列先看下面例子：例1． 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一种解法是用排除法：先考虑5个全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排在第一（有44A 种）与乙排第二（也有44A 种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：543543278A A A -+=种。
现在考虑：例2．5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。
仿上分析可得：543254323364A A A A -+-=种这与全错位排列很相似。
全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。
看下面的问题例3．5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。
解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有()m m n ≤不排在相应位置。
公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素()m n ≤不排在相应位置的排列种数共有：()1122121mn n n m n m n m n m n m n m A C A C A C A -------+++-种 这个公式在n m =时亦成立，从而这个问题可能用上面的公式得出：514233241505545352515044A C A C A C A C A C A -+-+-=种（注意0000!1n C A ===）（1993年高考）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。
然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。
则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析：由上面公式得： 4132231404434241409A C A C A C A C A -+-+=种，∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为： ()1122121nn n n n n n n n n n n n n n A C A C A C A -------+++- 这实际上是公式一的特殊情况。
全错位排列
全错位排列先看下面例子：例1 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：先考虑5个有的全排列，有A55种不同的排法，然后除去甲排第一（有A44种）与乙排第二（也有A44种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55－2A44＋A33＝78种。
现在考虑：例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。
仿上分析可得：A55－3A44＋3A33－A22＝64种这与全错位排列很相似。
全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。
看下面的问题例3 5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。
解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有m （m≤n ）不排在相应位置。
公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素（m≤n ）不排在相应位置的排列种数共有：从而这个问题可能用上面的公式得出：()A C A C A C A m n m n m m m n n m n n m nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这个公式在n ＝m 时亦成立A55－C(5,1)?A44＋C(5,2)?A33－C(5,3)?A22＋C(5,4)?A11－C(5,5)?A00＝44种（注意A00＝0!＝1）再看1993年高考题：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。
然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。
则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析：由上面公式得：A44－C(4,1)?A33＋C(4,2)?A22－C(4,3)?A11＋C(4,4)?A00＝9种，∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为：()A C A C A C A n n n n n n n n n n n n n nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这实际上是公式一的特殊情况。
全错位排列
全错位排列n个相异的元素排成一排，，...，。
则(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数N为公式证明：设Ai表示元素ai在第i个位置。
不难得出N=n!-(A1∪A2∪A3……∪An)根据容斥原理（文章最后有简单说明）展开得=证毕.全错位排列的递推公式（真的有递推公式，当时只是感觉应该会出现递推的。
不过这个递推公式貌似推导不出结果的）第一个位置有n-1种可能。
设a2在第一个位置，那么如果a1在第二个位置，就是剩下的n-2个元素的全错位排列记为N（n-2）。
所以N=（n-1）*（N（n-2））+X那么a1不在第二个位置呢？此时我们把a1看成a2，既然a1不在第二个位置，我们有理由相信这相当于a2（由a1充当），a3，a4，……an，的全排列数。
即N（n-1）也就是X=（n-1）*N（n-1）所以N(n)=(n-1) （N(n-1)+N(n-2)）当然这并不难的出，关键是要从这个递推关系中推出通项公式。
比较复杂了。
（瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707－1783)按一般情况给出了这个递推公式）此问题也被称为Install the wrong envelope problem（装错信封问题）N(n)=(n-1) （N(n-1)+N(n-2)）公式可重新写成N(n)-nNf(n-1)=-[N(n-1)-N(n-1)f(n-2)] (n>2)于是可以得到N(n)-nN(n-1)=-[N(n-1)-(n-1)N(n-2)]=((-1)^2)[N(n-2)-(n-2)N(n-3)]=((-1)^3)[N(n-3)-(n-3)N(n-4)]=……=[(-1)^(n-1)][N(3)-3N(2)]=[(-1)^(n-2)][N(2)-2N()]通过列举可知N(1)=0 N（2）=1 N(3)=2 N(4)=9最终可以得到一个更简单的递推式N(n)=nN(n-1)+(-1)^(n-2)等价于N(n)=n*N(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……（前几项验证成立）这个递推公式按现在的知识还不够推导出结果。
整理：全错位排列
作为排列组合试题的一种特殊类型，全错位排列在公考中也偶有出现。
因为较之其他题型来说，全错位排列的原理需要结合举例子递推出来，故考生朋友们理解起来有一定的困难。
在此京佳崔熙琳老师将考试中出现过的该类题型进行汇总，希望给各位考生提供一些帮助。
公考行测：数量关系之“全错位排列”经典真题剖析一、全错位排列递推公式的推导把编号从1到n的n个小球放到编号为从1到n的n个盒子里，假定每个盒子中的小球编号与盒子的编号不得一样(即：1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推)，请问共有几种放法？用列举法进行公式的推导：图1通过图1可以发现，An与n存在如下的递推关系：An＝(An－2＋A n－1)×(n－1)(其中，n≥3，且A 1＝0，A 2＝1)此递推公式可以产生一个全错位排列的结果数列：A1＝0；A2＝1；A3＝(A1＋A2)×(3－1)＝2；A4＝(A2＋A3)×(4－1)＝9；A5＝(A3＋A4)×(5－1)＝44；A6＝(A4＋A5)×(6－1)＝265..................。
.考生在遇到全错位排列试题时候只需要按照上述递推公式进行简单推导即可求出结果。
二、真题解析例1：(2011年浙江省考真题55题)四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。
现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。
问共有几种不同的尝法？A.6种B.9种C.12种D.15种【答案与解析】B。
此题为全错位排列试题。
根据全错位排列公式“An＝(An－2＋A n－1)×(n－1)(其中，n≥3，且A 1＝0，A 2＝1)”，可知，当n＝4时，共有9种尝法。
例2：(2010年某省考试真题)五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？A.5B. 10C. 15D. 20【答案与解析】D。
做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有C(3，5)＝10种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有2种贴法。
全错位排列
全错位排列 先看下面例子：例15个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：先考虑5个有的全排列，有 A55种不同的排法，然后除去甲排第一(有 A44种)与乙排第 二(也有A44种)，但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55 — 2A44 + A33 = 78 种。
现在考虑：例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同 的站法。
仿上分析可得： A55 — 3A44 + 3A33 — A22 = 64种这与全错位排列很相似。
全错位排列一一即n 个元素全部都不在相应位置的排列。
看下面的问题例3 5个人站成一排，其中 A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位, E 不站第五位，共有多少种不同的站法。
解析：上面例1,例2实际上可以看成n 个不同元素中有 m ( men)不排在相应位置。
公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素(m en)不排在相应位置的排列种数共有：从 而这个问题可能用上面的公式得出：n 1n 2 n _2 A n -C m 入」C m 入之这个公式在n = m 时亦成立A55 — C(5,1)?A44 + C(5,2)?A33 — C(5,3)?A22 + C(5,4)?A11 — C(5,5)?A00 = 44 种(注意 A00 = 0! = 1)再看1993年高考题：同室四人各写一张贺年卡， 先集中起来。
然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。
则四张贺 年卡不同的分配方式有(A)6 种(B)9 种 (C)11 种 (D)23 种解析：由上面公式得：A44 — C(4,1)?A33 + C(4,2)?A22 — C(4,3)?A11 + C(4,4)?A00 = 9 种，.••选择 B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元 素不在第n 位的排列数为： n 1 n 4 2 A n -C^A n. C n *A 这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题, 可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助将n 个编号为1、2、3...n 的小球投入到编号为1、2、3...n 的n 个盒子中，其中第i 号球不 投到第i 号盒子中(i = 1,2,3,...n )的投法数为全错排列问题.这个问题是由瑞士的数学家欧拉解决的，公式为：其中n >2on•C^A 这实际上是公式一的特殊情况。
错位重排的规律
错位重排的规律
错位重排规律是指在一个排列中，如果某些元素的位置发生变化，导致整个排列的顺序发生改变，则这种排列的变化就被称为错位重排。
具体来说，错位重排规律包括以下几种情况：
1.完全错位重排：在一个排列中，所有元素的位置都发生了变化，即每个元
素都移到了其他位置上。
例如，在排列"abc"中，如果每个元素的位置都互换，就变成了"bca"，这就是一个完全错位重排。
2.部分错位重排：在一个排列中，只有部分元素的位置发生了变化，其他元
素的位置保持不变。
例如，在排列"abc"中，如果只有前两个元素的位置互换，就变成了"bac"，这就是一个部分错位重排。
3.循环错位重排：在一个排列中，某些元素的位置发生了循环变化。
例如，
在排列"abc"中，如果第一个元素移到第二个位置，第二个元素移到第三个位置，第三个元素移到第一个位置，就变成了"bac"，这就是一个循环错位重排。
在实际应用中，错位重排规律可以用于解决一些涉及排列的问题，例如密码学、计算机科学、统计学等领域。
例如，在密码学中，错位重排可以用于加密和解密；在计算机科学中，错位重排可以用于数据压缩和信息编码；在统计学中，错位重排可以用于样本分析和概率计算等。
总结来说，错位重排规律是指在一个排列中，某些元素的位置发生变化导致整个排列的顺序发生改变的规律。
它可以分为完全错位重排、部分错位重排和循环错位重排等几种情况。
在实际应用中，错位重排规律可以用于解决一些涉及排列的问题。
全错位排列dn的公式
全错位排列dn的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全错位排列是排列组合中的一种特殊情况，它是指将一组元素进行重新排列，使得每个元素都位于原始位置以外。
全错位排列也称为dn排列，其中n表示元素的个数。
在全错位排列中，没有任何元素位于原始位置上，这使得全错位排列在排列组合中具有独特的特性。
在数学中，全错位排列的计算方法可以用一个公式来表示，这个公式可以帮助我们计算任意元素个数的全错位排列数量。
下面我们就来详细介绍全错位排列的公式及其推导过程。
假设有n个元素需要进行全错位排列，首先我们可以计算出n个元素的所有排列数量，这个数量可以用n!来表示，表示的是n的阶乘。
然后我们来计算n个元素的全错位排列数量。
假设第一个元素A有n-1种错误排列方法(把n-1个数安均在一起得到n个数的错位排列数)，那么就有n-1种排法。
假设元素A固定在第一个位置，那么剩下的元素就剩下n-1个元素。
这n-1个元素就要错位排列(错位排列其实就是将元素A与其他元素进行交换得到不同的排列)。
由于有n种情况可以选择元素A在第一个位置，所以总共就有n*(n-1)种情况。
现在我们来考虑其他的元素B，如何计算B在排列中的错位情况呢？实际上第一个元素A和其他元素B、C……之间的错位情况是相互独立的。
即当A的错位情况确定时，B的错位情况是无法受到A的影响的。
B在错位情况上有(n-1)*(n-2)种可能。
同样的道理，对于C，C有(n-2)*(n-3)种可能，以此类推，最后一个元素有1*0种可能。
根据乘法原理，n个元素的全错位排列总数为：(n-1)! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^(n-1)/n!)这个公式表示了n个元素的全错位排列数量，其中n!表示n的阶乘，(n-1)!表示n-1的阶乘，以此类推。
而其中的每一项都是错位排列的一部分，通过不断累加可以得到n个元素的全错位排列数量。
通过这个公式，我们可以计算出任意元素个数的全错位排列数量，这对于解决一些排列组合问题具有重要的意义。
全错排列
全错位排列与部分错位排列说起全错位排列问题，很多人都不陌生。
例如2011年浙江公务员考试的这道题：四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。
现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。
问共有几种不同的尝法？A．6种 B．9种 C．12种 D．15种若将n个元素重新排列，使每个元素都不在自己的位置上，可能的方法数记做T n，则有这样几个公式来求解T n：（1）T n=（n-1）（T n-1+T n-）（2）2T n=n·T n-1+（-1）n（3）公式看起来比较复杂难记，你可以选择直接记住下面几个数值T1=0，T2=1，T3=2，T4=9，T5=44，T6=265接下来我要说的是部分错位排列问题，何为部分错位排列问题？举个例子：5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法？这样的问题该怎么考虑呢？我们可以用容斥原理的思想来做。
例1：5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法？解析：5个人全排列，有A（5，5）种站法，然后减去甲排第一（有A（4，4）种）与乙排第二（也有A（4，4）种）的排法，但两种又有重复部分——甲排第一且乙排第二（有A（3，3）种），因此必须加上多减的部分。
故共有A（5，5）-C（2，1）•A（4，4）+C（2，2）•A（3，3）=78种。
例2：甲、乙、丙、丁、戊5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法？解析：5个人全排列，有A（5，5）种站法，然后减去甲站第一位（有A（4，4）种）、乙站第二位（有A（4，4）种）和丙站第三位（有A（4，4）种）的站法；以上三种情况又有重复部分——甲站第一位且乙站第二位（有A（3，3）种）、乙站第二位且丙站第三位（有A（3，3）种）和甲站第一位且丙站第三位（有A（3，3）种）的站法，需要加上多减的部分；以上三种情况又有重复的部分——甲站第一位、乙站第二位且丙站第三位（有A（2，2）种）的站法，需要减去多加的部分。
全错位排列数公式的推导与化简
全错位排列数公式的推导与化简一、提出问题装错信封问题：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，若他把这n封信都装错了信封，那么装错信封的装法共有多少种？这是被著名数学家欧拉称为“组合数论的一个妙题”.把n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的排列方法称为错位排列法.将编号分别为1，2，3，…，n的n个不同元素a1，a2，a3，…，an，安排在这n个位置作全排列，若某个排列中每个元素都错位，则把这个全排列称为这n个不同元素的一个全错位排列.n个不同元素所有的全错位排列的个数称为全错位排列数，记为Dn，易得D1=0，D2=1，D3=2.二、递推关系式对于n=4，D4推导如下：按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C13=3种排法.1234a3a1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是a3，此时应考虑a1的位置，包括两种情况.若a1安排在第三个位置，则a2和a4排法是D2=1；若a1不安排在第三个位置，而a2不排在第二个位置，a4不排在第4个位置，对应的排法是D3=2.因此，当第一个位置安排的是a3时，对应的排法共有D2+D3=3，而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以D4=C13（D2+D3）=9.对于Dn，推导如下：按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C1n-1=n-1种排法.12…m…nama1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是am，此时应考虑a1所放的位置，包括两种情况.若a1安排在第m个位置，则对应的排法是Dn-2；若a1不安排在第m个位置，由于a2不排在第二个位置，…，an不排在第n个位置，对应的排法是Dn-1.因此，当第一个位置安排的是an时，对应的排法共有Dn-1+Dn-2.而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2）. （1）整理Dn-nDn-1=-[Dn-1-（n-1）Dn-2].这表明，{Dn-nDn-1}是以D2-2D1=1为首项，公比为-1的等比数列，于是Dn-nDn-1=（-1）n-2，故Dn=nDn-1+（-1）n，其中n≥2，n ∈N+. （2）对于（1）式还有一种方法：设满足题意的放法有Dn种，当加入第n+1个元素和编号时，对于Dn的每一种放法，都可以把第i（i=1，2，3，…，n）个元素与第n+1个元素互换，把第i个元素放入第n+1个位置，有nDn种放法；也可先把第n+1个元素放入第i个位置，还余下n个位置，而把第i 个元素不放入第n+1个位置，其它元素也不放在对应的位置，则此时有nDn-1种放法，所以Dn+1=nDn+nDn-1，n≥2.三、全错位排列数公式利用递推关系式Dn-nDn-1=（-1）n，各项同除以n！，得Dnn！-Dn-1（n-1）！=（-1）nn！，构造数列bn=Dnn！，并利用数列恒等式bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）有Dnn！=01！+（-1）22！+（-1）33！+…+（-1）nn！，所以Dn=n！[12！-13！+…+（-1）n1n！].下面根据Dn=nDn-1+（-1）n利用分步迭代法推导Dn.D2=2D1+（-1）2，D3=3D2+（-1）3=3×2D1+3（-1）2+（-1）3.由于D1=0，则D4=4D3+（-1）4=4×3（-1）2+4（-1）3+（-1）4，D5=5D4+（-1）5=5×4×3（-1）2+5×4（-1）3+5（-1）4+（-1）5=5！2！（-1）2+5！3！（-1）3+5！4！（-1）4+5！5！（-1）5，…，所以Dn=n！[12！-13！+…+（-1）n1n！].还有一种方法：利用递推关系式Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2），设Dk=k！pk，k=1、2、3、…、n，则p1=0，p2=12.当n≥3时，由Dn=（n-1）（Dn-1+Dn-2）得n！pn=（n-1）（n-1）！pn-1+（n-1）（n-2）！pn-2，即n（n-1）！pn=（n-1）（n-1）！pn-1+（n-1）！pn-2，可知npn=（n-1）pn-1+pn-2，即npn=npn-1-pn-1+pn-2，则pn-pn-1=-pn-1-pn-2n，pn-1-pn-2=-pn-2-pn-3n-1，……，因此有pn-pn-1=（-1n）（-1n-1）（-1n-2）…（p2-p1）=（-1）n1n！，pn-1-pn-2=（-）n-11（n-1）！，…，p2-p1=（-1）212！.各式两边相加得pn=12！-13！+…+（-1）n1n！.所以Dn=n！pn=n！[1-11！+12！-13！+…+（-1）n1n！].四、化简公式由于e-1=1-11！+12！-13！+…+（-1）n1n！+…，e=2.71828.即e-1=pn+（-1）n+11（n+1）！+（-1）n+21（n+2）！+…余项为Rn=（-1）n+11（n+1）！+（-1）n+21（n+2）！+…=（-1）n+11（n+1）！（1-1n+2）+…那么该余项取值范围如何呢？由泰勒中值定理可知，在含有x0的某个开区间（a，b）内，函数f（x）可表示为（x-x0）的一个n次多项式pn（x）与一个余项Rn（x）之和，此和是关于（x-x0）的幂级数即泰勒级数，其中pn（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2！（x-x0）2+…+f （n）（x0）n！（x-x0）n，余项为Rn（x）=f （n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1.ξ在x与x0之间.若将函数f（x）=ex展开成x的幂级数即麦克劳林级数，由于x0=0，f （n+1）（x）=ex，则ex=1+x+x22！+x33！+…+xnn！+….对于任何有限的x、ξ（ξ在0与x之间），余项为Rn （x）=eξ（n+1）！xn+1.而函数f（x）=ex展开成x的幂级数中含有xn+1的项为f （n+1）（ξ）（n+1）！xn+1=ex（n+1）！xn+1，可见二者形式相似.由于x=-1，因此e-1的幂级数的余项为Rn（-1）=（-1）n+1eξ（n+1）！，且ξ∈（-1，0）.因此Dn=n！e-1-（-1）n+1eξn+1.设λ=|n！Rn|=|（-1）n+1eξn+1|=eξn+1，由于eξ∈（1e，1），当n=1时，λ。
高中数学排列组合：全错位排列问题详解
利用此递推关系可以分别算出 T4=9，T5=44，所以题三的答案为 44+5×9+10×2=109.
3．关于全错位排列数的一个通项公式：Tn= n![ 1 1 (1) n 1 ] （n≥2）.
2! 3!
n!
(1).探索
规定 An0 =1（n∈N*），试计算以下各式的值： （1） A42 A41 A40 ； （2） A53 A52 A51 A50 ； （3） A64 A63 A62 A61 A60 .
2! 3!
k! 2! 3!
(k 1)!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +k· (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
=k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
k!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k k 1 ]
全错位排列问题
每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位 排列问题.
1．错位排列问题
例 1. 4 名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则
四张贺卡的不同分配方式共有
Hale Waihona Puke 种.例 2. 将编号为 1，2，3，4 的四个小球分别放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，
(k 1)!
k!
(k 1)!
∴n=k+1 时（*）式也成立.
由以上过程可知 n 个元素全错位排列的排列数为：
Tn=
aj 不排 i 位
完全错位排列公式
完全错位排列公式
完全错位排列是一种有趣的排列方式，它可以让字母、数字等元素
按照一定的规则排列组合，形成新的组合方式。
完全错位排列的公式
如下：
n! * (1/2! - 1/3! + 1/4! - … + (-1)^n-1 / n!)
其中，n为元素的总数。
完全错位排列的应用很广泛，可以用于密码学、数学、计算机科学等
领域。
在生活中，我们也可以利用完全错位排列来创建有趣的游戏和
谜题。
比如，我们可以创建一个谜题，让玩家猜测某个单词的完全错
位排列。
除了完全错位排列，还有很多其他的排列方式，比如全排列、部分排列、循环排列等等。
每种排列方式都有自己的特点和应用场景，我们
可以根据具体需求选择合适的排列方式。
在中文写作中，我们也可以利用排列方式来增强文章的表现力和趣味性。
比如，我们可以使用倒叙、押韵、交叉等等手法，将文字组合成
不同的形式，创造出独特的效果。
这些手法需要灵活运用，并结合具
体语境来使用，才能发挥最佳的效果。
总之，完全错位排列是一种有趣的排列方式，不仅可以用于理论研究，
也可以用于实际应用。
在中文写作中，我们也可以借鉴其思想，创造出更有趣和富有表现力的文章。
全错位排列递推公式
全错位排列递推公式全错位排列是指一个序列中的每个元素都不在其原始位置上的排列方式。
在数学中，我们可以使用递推公式来计算全错位排列的数量。
本文将介绍全错位排列的概念，并给出相应的递推公式。
一、全错位排列的定义全错位排列是指一个序列中的每个元素都不在其原始位置上的排列方式。
换句话说，对于一个长度为n的序列，全错位排列的每个元素i必须满足pi ≠ i，其中pi表示元素i的位置。
例如，对于长度为3的序列{1, 2, 3}，其全错位排列可以是{2, 3, 1}或者{3, 1, 2}等，但不能是{1, 2, 3}，因为其中元素1在其原始位置上。
二、全错位排列的数量为了计算全错位排列的数量，可以使用递推公式。
假设Dn表示长度为n的序列的全错位排列数量，则有以下递推公式：Dn = (n-1)(Dn-1 + Dn-2)其中D1 = 0，D2 = 1。
根据递推公式，我们可以通过计算Dn来得到长度为n的序列的全错位排列数量。
下面是具体的计算过程：D1 = 0D2 = 1D3 = (3-1)(D2 + D1) = 2(1 + 0) = 2D4 = (4-1)(D3 + D2) = 3(2 + 1) = 9D5 = (5-1)(D4 + D3) = 4(9 + 2) = 44依此类推，我们可以得到长度为n的序列的全错位排列数量。
三、应用举例全错位排列的概念和递推公式在实际问题中有着广泛的应用。
下面举例说明两个应用情景。
1. 座位安排问题：假设有n个人参加一个会议，会议的座位是按照1到n的顺序排列的。
为了增加交流和合作，组织者希望每个人坐在与其原始位置不同的位置上。
那么，可以使用全错位排列的递推公式来计算有多少种座位安排方式。
2. 文件排序问题：假设有一组文件需要根据一定的顺序进行排序，但不能按照文件原始顺序进行排序。
可以使用全错位排列的递推公式来计算有多少种文件排序的可能性。
通过以上两个应用举例，我们可以看到全错位排列的概念和递推公式在实际问题中起到了重要的作用，帮助我们解决座位安排和文件排序等问题。
错位排列
例1．五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是说5个全部放错）一共有多少种放法？解析：直接求5个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。
小球数/小盒数全错位排列1 02 1（即2、1）3 2（即3、1、2和2、3、1）4 95 446 265当小球数/小盒数为1~3时，比较简单，而当为4~6时，略显复杂，考友只需要记下这几个数字即可（其实0，1，2，9，44，265是一个有规律的数字推理题，请各位想想是什么？）由上述分析可得，5个小球的全错位排列为44种。
上述是最原始的全错位排列，但在实际公务员考题中，会有一些“变异”。
例2．五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？解析：做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有2种贴法。
则恰好贴错三个瓶子的情况有种。
拓展：想这样一个问题：五个瓶子中，恰好贴错三个是不是就是恰好贴对两个呢？答案是肯定的，是。
那么能不能这样考虑呢？第一步，从五个瓶子中选出二个瓶子，共有种选法；第二步，将两个瓶子全部贴对，只有1种方法，那么恰好贴对两个瓶子的方法有种。
问题出来了，为什么从贴错的角度考虑是20种贴法，而从贴对的角度考虑是10种贴法呢。
在此明确告知，后者的解题过程是错误的，请考友想想为什么？【提示】：在处理错位排列问题时，无论问恰好贴错还是问恰好贴对，都要从贴错的角度去考虑，这样处理问题简单且不易出错。
数字推理题的难度在不断加大，命题者在通过各种复杂的变形希望能增大这部分题型的难度，建议考生在做题时，不要拘泥于数列规律本身，而应该着眼于观察数字本身的“组合”问题，从而轻松破解新题型。
例题：2008年广州市公务员考试行政真题(26) 1.03 ,3.04，3.05，9.06，5.07，27.08,( )A.7.09B.9.09C.34.00D.44.0l ，解析这是一道隔项数列题，我们先把奇数项列出来，组成新数列：1.03，3.05，5.07，( )这样，我们可以观察到，整数部分和分数部分各自形成一个新数列，所以我们应该将数列“拆分”开来，形成两个独立的数列。
全错位排列——精选推荐
全错位排列
【例1】有编号为1到10的10个球，放到编号为1到10的10个盒⼦⾥，球不能放到相当编号的盒⼦⾥，⼀共有多少种不同的放法？
【例2】1-5共5个数字组成⽆重复数字的五位数，要求数字不能在对应的位数上（⽐如2不能放在第2位），⼀共可以组成多少个不同的五位数？
【例3】10个⼈每⼈写⼀封信寄到这10个⼈中的任意⼀⼈，问每个⼈都没有收到⾃⼰的信的情况⼀共有多少种？
【解析】以上是典型的“全错位”排列问题。
所谓全排列，就是每个元素都不在⾃⼰对应编号的位置上。
假设对于n个元素的全错位排列共有f(n)种，现在有n+1个元素，对于第n+1个元素，假设它放在第k(1<=k<=n)位，对于第k位上的元素k，有两种情况：
1、k排在第n+1位，那么对于剩下的除k和n+1两个元素，共有n-1个元素，对应的位置也是n-1，所以共有f(n-1)种排列⽅式。
2、k不排在第n+1位，那么这个时候完全可以把第n+1个位置看成第k个位置（因为元素k不放在此位置，所以相当于这个位置是第k位），这时除了已经放好的第n+1个元素，剩下n个元素，对应的位置也是n，共有f(n)种排列⽅式。
上述中，对于第k个元素，共有n种选择⽅式，所以
f(n+1)=n*f(n-1)+n*f(n)，
也就是f(n)=(n-1)*[f(n-1)+f(n-2)]
显然，f(1)=0，f(2)=1，由此可以依此计算出f(n)。
全错位排列——精选推荐
全错位排列以前接触过这样的题⽬，但是现在稍微系统点⾸先看⼀下百度百科对全错位排列的解释：基本简介全错位排列：即被著名数学家(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的⼀个妙题的“装错信封问题”。
“装错信封问题”是由当时最有名的数学家(Johann Bernoulli，1667－1748)的⼉⼦(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，⼤意如下：⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？公式证明n个相异的元素排成⼀排a1，a2，...，an。
则ai(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数为：公式证明：设1，2，...，n的全排列t1，t2，...，tn的集合为I,⽽使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.注意到|Ai|=(n-1)!，|Ai∩Aj|=(n-2)!，...，|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。
由：Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)（可以举例试试，很好懂）应⽤：（1）简单排列1个元素没有全错位排列，2个元素的全错位排列有1种，3个元素的全错位排列有2种，4个元素的全错位排列有9种，5个元素的全错位排列有44种。
递推公式数学家欧拉按⼀般情况给出了⼀个递推公式：⽤A、B、C……表⽰写着n位友⼈名字的信封，a、b、c……表⽰n份相应的写好的信纸。
把错装的总数为记作f(n)。
假设把a错装进B⾥了，包含着这个错误的⼀切错装法分两类：（1）b装⼊A⾥，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b⽆关，应有f(n-2)种错装法。
全错位排列——精选推荐
全错位排列全错位排列是由著名数学家欧拉提出的。
最典型的问题是装错信封问题⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？⽤a、b、c，d……表⽰n份相应的写好的信纸，A、B、C，D……表⽰写着n位友⼈名字的信封，错装的总数为记作f(n)。
假设把a错装进B中，然后接下来我们可以分为两种情况，第⼀种是b错装进了A中，那么问题就变为c,d,e…..n-2个信纸放⼊C，D,E……n-2个信封时完全放错时完全装错有多少种，有f(n-2)种第⼆种是b错装进了除A之外的⼀个信封内，这个时候问题就相当于已知a错装进B中，将b,c,d,e…..n-2个信纸放⼊A,C，D,E……n-2个信封时,b不能放⼊A中，这⾥如果我们把A想象成B0的话，就相当于将b,c,d,e…..n-2个信纸放⼊B0,C，D,E……n-2个信封时完全放错，有f(n-1)种a错装进B中，有f(n-1)+f(n-2)种，同样a错装进C中也有f(n-1)+f(n-2)种…..a错装进B中，有f(n-1)+f(n-2)种a错装进C中，有f(n-1)+f(n-2)种a错装进D中，有f(n-1)+f(n-2)种a错装进E中，有f(n-1)+f(n-2)种a错装进F中，有f(n-1)+f(n-2)种…所以⼀共有f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2));//C++⽰例代码#include <iostream>using namespace std;long long getvalue(int num){if (num == 1){return0;}else if (num == 2){return1;}else if (num == 3){return2;}else{long long f1 = 1;long long f2 = 2;for (int i = 4; i <= num; i++){long long t = f2;f2 = (i - 1)*(f1 + f2);f1 = t;}return f2;}}int main(){int num;cout << "input the number of envelop with -1 to end" << endl;while (cin>>num){if (num == -1)break;long long r = getvalue(num);cout<<"Result:" << r << endl;}return0;}相关的题⽬有假设⼀共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发⽣这种情况⼀共有多少种可能.神，上帝和⽼天爷。
全错位排列计算
全错位排列计算错位全排列问题什么是错位全排列问题？其实很简单，在生活中可能都会遇到：“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：一个人写了n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这n 封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？为了解决这个看似简单的问题，我们从数学的角度出发，尝试几个常用的方法。
记装错n 封信的种类为D_n ，并且有n 封信a_1,a_2,...,a_n（1）枚举法（Enumeration method）计算种数当n 的值较小时，可以利用枚举法：n=1 时，不可能装错信，则D_1=0 ；n=2 时，显然装错信时，只可能为两者调换位置，则D_2=1 ；n=3 时，有(a_2,a_3,a_1) ，(a_3,a_1,a_2) 两种装法，则D_3=2 ；n=4 时，装法如下：(a_2,a_1,a_4,a_3) ，(a_2,a_3,a_4,a_1) ，(a_2,a_4,a_1,a_3) ，(a_3,a_1,a_4,a_2) ，(a_3,a_4,a_1,a_2) ，(a_3,a_4,a_2,a_1) ，(a_4,a_1,a_2,a_3) ，(a_4,a_3,a_2,a_1) ，(a_4,a_3,a_1,a_2) ，则D_4=9 。
当n 的值越来越大时，枚举会变得异常复杂。
可以考虑用排列数（Permutation）和组合数（Combination），来得到错位全排列的计算公式。
（2）排列组合计算种数显然，n 封信的组合方式共有A_n^n=n! 种装法，接下来我们要做的就是扣掉其中重复的种类，保证计数“不重不漏”。
假设第一封信装对，即为剩下的n-1 个元素的一个全排列（All permutation），则有A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! 种装法；并且当第二封信装对时，也有A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! ，以此类推，每一封信装对时，都有(n-1)! 种装法。
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全错位排列与多个特殊元素特殊位置
（C ．T ）
T 2=1，T 3=2，T n = (n -1) ( T n -1+T n -2) ，（n ≥3）( T n 为全错位排列数)
错位排列问题
题一 4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种.
题二 将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有 种不同的放法.
这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题（所有元素均为特殊元素）.
题三 五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不
同的坐法有 种.
题三可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；
第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.
对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；
对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题， 我们称这种排列问题为部分错位排列问题. (多个特殊元素，多个特殊位置) 部分错位排列(多个特殊元素，多个特殊位置)
例1：5个人站成一排，其中甲不站第一位，共有多少种不同的站法。
解一：（特殊元素特殊位置优先处理）第一步：安排甲这特殊元素，有14C 种；
第二步：安排其他人，其余的四个人（元素），不受限制，故有44A 种站法。
由分步乘法原理
得14C 44A =96种站法。
解二：（排除法）先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）
这样得到共有：55A －44A ＝96种。
例2：5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
解一：（特殊元素特殊位置优先处理） 分析：有两个特殊元素，分类讨论，减少限制条件。
第一类：甲站在第二位，则其他的四人（含乙），不受限制，有44A 种站法。
第二类：第一步安排特殊元素甲，甲不站在第二位，则甲也不能站在第一位，故甲的站法有
13C 种；第二步安排乙，乙不站第二位，也不能选择甲以经站的一个位置，故乙的站法有13C 种；
第三步安排其他人，其余的三个人（元素），不受限制，故有33A 种站法。
由分步乘法原理得
13C 13C 33A 种站法。
由分类加法原理得44A +13C 13C 33A =78种。
解二：（排除法）先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）与乙排第二（也有44A 种）
，但两种情况又有重复部分，因此多减了一部分，必须加上多减部分，这样得到共有：55A －244A ＋33A ＝78种。
例3：5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第三位，丙不站第五位，共有多少种不同的站法。
【分析】三个特殊元素，三个特殊位置，还是可以选择分类讨论，减少限制条件，但分类的次数比较多，一不小心，很容易会有遗漏，和重复。
当特殊元素多于两个的时候，建议用排除法。
先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一位（有44A 种）
，乙排第三为（也有44A 种），丙排第五位（也有44A 种），故55A －344A
但三种情况又有重复部分，重复部分有23
3
3C A ，重复部分为多减了一部分，必须加上多减部分，所以55A －344A +23
33C A ；
又加上多减的部分还有可能是甲排第一位，乙排第三位，丙排第五位这种可能，故还得减去
3232C A ，这样得到共有：55A －344A +2333C A —3232C A =64种。
2.全错位排列（所有元素都是特殊元素）
例4：5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。
【分析】仿照以上解法，我们有51423324150555453525150D A C A C A C A C A C A 44=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=
故5人的全错位排列方式共有44种。
归纳：n 个元素中有k 个特殊元素，排列数为n T ,有容斥原理的k
m m n m n k n m m 0T (1)C A --==-∑
研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
m 123m i
i j i j k 123m 1i m
1i j m 1i j k m
|A A A A ||A ||A A ||A A A |(1)|A A A A |≤≤≤<≤≤<<≤=
-+
++-∑∑
∑
证明：？
如果 n 个元素中有n 个特殊元素，全错位排列数为n T ,由容斥原理的n
n m n m
n n n m
m 0
T (1)C A --==-∑ 全错位排列数的一个递推关系式:
T 2=1，T 3=2，T n = (n -1) ( T n -1+T n -2) ，（n ≥3）( T n 为全错位排列数)
解析如下：
一般地，设n 个编号为1、2、3、… 、i 、…、j 、…、n 的不同元素a 1、a 2、a 3、…、a i 、…、a j 、…、a n ，排在一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位置.
显然对于n =1，2时有T 1=0，T 2=1.
当n ≥3时，在n 个不同元素中任取一个元素a i 不排在与其编号相对应的i 位，必排在剩下n -1 个位置之一，所以a i 有n -1 种排法.
对a i 每一种排法，如a i 排在 j 位，对应j 位的元素a j 的排位总有两种情况： 第一种情况：a j 恰好排在i 位上，如表（1）
表（1）
此时，a i 排在j 位，a j 排在i 位，元素a i ，a j 排位已定，还剩 n -2个元素，每个元素均有一个不能排的位置，它们的排位问题就转化为n -2 个元素全错位排列数，应有 T n -2种；
第二种情况：a j 不排在i 位上，如表（2）
表（2）
此时，a i 仍排在j 位，a j 不排在i 位，则a j 有n -1个位置可排，除a i 外，还有n -1个元素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为n -1个元素全错位排列，排列数为T n -1，由乘法原理和加法原理可得：T n =(n -1)(T n -1+T n -2) ，（n ≥3）.
题三：五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种.
题三可以分类解决：
第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.
对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题.
设n 个元素全错位排列的排列数为T n ，则对于题三，第一类排列数为T 5，第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为
5T 4，第三类先确定两个排原位的同学，有2
5C =10种，所以第三类的排列数为10T 3，因此题
三的答案为：T 5+5T 4+10T 3.。