全错位排列公式

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错位全排公式

错位全排公式错位全排公式什么是错位全排公式？错位全排公式是一种数学组合方法，也称为”错位排列”，用于计算某个集合的错位排列数量。

通常在排列问题中，我们考虑的是将n 个元素进行全排列的数量，而在错位全排中，我们要求每个元素都不在原来的位置上。

公式表达错位全排公式可以通过以下公式来表示：D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2})其中，D_n 表示n个元素的错位排列数量，D_{n-1} 表示n-1个元素的错位排列数量，D_{n-2} 表示n-2个元素的错位排列数量。

如何计算错位全排？要计算错位全排，我们可以按照以下步骤进行操作：1.首先，我们需要确定有多少个元素需要进行错位排列。

2.接着，我们需要计算出少于这个数量的元素的错位排列数量，即D_{n-1} 和 D_{n-2}。

3.最后，我们可以根据上述公式计算出错位全排的数量。

一个例子假设我们要计算3个元素的错位全排，即 n=3。

首先，我们需要计算 n-1 = 2 个元素的错位排列数量。

根据公式，我们可以猜测 D_2 = 1。

接着，我们需要计算 n-2 = 1 个元素的错位排列数量。

同样地，根据公式，我们可以猜测 D_1 = 0。

现在，我们可以使用公式 D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2}) 来计算三个元素的错位排列数量：D_3 = (3-1) * (D_2 + D_1) = (3-1) * (1 + 0) = 2 * 1 = 2因此，当元素数量为3时，错位全排的数量为2。

总结错位全排公式是一种用于计算某个集合的错位排列数量的数学方法。

通过公式 D_n = (n-1) * (D_{n-1} + D_{n-2})，我们可以轻松计算出任意数量元素的错位全排。

使用错位全排可以解决一些排列问题，特别是当我们需要确保每个元素都不在原来的位置上时。

此外，错位全排也可以用于一些密码学的应用中。

希望本文能够帮助读者理解错位全排公式的原理和应用。

全错位排列——精选推荐

全错位排列以前接触过这样的题⽬，但是现在稍微系统点⾸先看⼀下百度百科对全错位排列的解释：基本简介全错位排列：即被著名数学家(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的⼀个妙题的“装错信封问题”。

“装错信封问题”是由当时最有名的数学家(Johann Bernoulli，1667－1748)的⼉⼦(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，⼤意如下：⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？公式证明n个相异的元素排成⼀排a1，a2，...，an。

则ai(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数为：公式证明：设1，2，...，n的全排列t1，t2，...，tn的集合为I,⽽使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.注意到|Ai|=(n-1)!，|Ai∩Aj|=(n-2)!，...，|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。

由：Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)（可以举例试试，很好懂）应⽤：（1）简单排列1个元素没有全错位排列，2个元素的全错位排列有1种，3个元素的全错位排列有2种，4个元素的全错位排列有9种，5个元素的全错位排列有44种。

递推公式数学家欧拉按⼀般情况给出了⼀个递推公式：⽤A、B、C……表⽰写着n位友⼈名字的信封，a、b、c……表⽰n份相应的写好的信纸。

把错装的总数为记作f(n)。

假设把a错装进B⾥了，包含着这个错误的⼀切错装法分两类：（1）b装⼊A⾥，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b⽆关，应有f(n-2)种错装法。

全错位排列公式

全错位排列先看下面例子：例1． 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。

这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一种解法是用排除法：先考虑5个全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排在第一（有44A 种）与乙排第二（也有44A 种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：543543278A A A -+=种。

现在考虑：例2．5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。

仿上分析可得：543254323364A A A A -+-=种这与全错位排列很相似。

全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。

看下面的问题例3．5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有()m m n ≤不排在相应位置。

公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素()m n ≤不排在相应位置的排列种数共有：()1122121mn n n m n m n m n m n m n m A C A C A C A -------+++-种这个公式在n m =时亦成立，从而这个问题可能用上面的公式得出：514233241505545352515044A C A C A C A C A C A -+-+-=种（注意0000!1n C A ===）（1993年高考）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。

然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。

则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析：由上面公式得： 4132231404434241409A C A C A C A C A -+-+=种，∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为： ()1122121nn n n n n n n n n n n n n n A C A C A C A -------+++- 这实际上是公式一的特殊情况。

错位排列的计算公式

错位排列的计算公式错位排列，听起来是不是有点神秘？其实呀，在数学的世界里，它可是个有趣的存在。

先给您讲讲什么是错位排列。

比如说，有 n 个元素，原本都有自己对应的位置，现在要重新排列，使得每个元素都不在原来的位置上，这就是错位排列。

那错位排列的计算公式是什么呢？咱们一步一步来。

当 n=1 时，很简单，就 0 种排列方式。

因为只有一个元素，它也没法错位呀。

当 n=2 时，有 1 种错位排列方式。

比如说，原来 1 对应位置 A，2 对应位置 B，现在错位排列就只有 2 在 A，1 在 B 这一种情况。

当 n 更大的时候，计算公式就来了，错位排列数 D(n) = (n - 1) * (D(n - 1) + D(n - 2)) 。

这公式看起来有点复杂，咱们来举个例子感受一下。

比如说，有 3 个元素 1、2、3 。

原来 1 在位置 A，2 在位置 B，3 在位置 C。

现在要错位排列。

先看 1 ，它有两种选择，假设它去了 B 位置。

那 2 就不能在 A 位置了，它有两种选择，要么去 C 位置，要么去 1 原来的位置 A 。

如果 2 去了 C 位置，那 3 就只能去 A 位置，这就是一种错位排列。

如果 2 去了 A 位置，那 3 就只能去 C 位置，这又是一种错位排列。

所以，总的错位排列数就是 2 种。

再算大一点的，比如 4 个元素。

按照公式来算，D(4) = 3 * (D(3) +D(2)) 。

咱们已经知道 D(2) = 1 ，D(3) = 2 ，所以 D(4) = 3 * (2 + 1) = 9 。

还记得我之前说要给您讲个细致的事情吗？就说上次我们班组织数学兴趣小组活动，老师出了一道错位排列的题目，让大家分组讨论。

我们小组几个人一开始都被这题目绕晕了，大家你一言我一语，争得面红耳赤。

有的说这样算，有的说那样算，谁也说服不了谁。

后来呀，我们冷静下来，一步一步按照公式推导，终于算出了正确答案。

那种恍然大悟、豁然开朗的感觉，真的太棒了！这错位排列的计算公式虽然有点难，但只要咱们多琢磨，多练习，就一定能掌握。

全错排列的公式

全错排列的公式全错排列，听起来是不是有点让人摸不着头脑？别担心，让我来给您好好讲讲。

咱先来说说啥叫全错排列。

比如说，有3 个东西，原本的顺序是1、2、3，现在要把它们重新排列，使得每个东西都不在原来的位置上，这就是全错排列。

那全错排列有没有公式呢？答案是有的。

咱们的全错排列公式是：$D_n = n!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!}\right)$您看，这公式是不是有点复杂？别着急，我给您慢慢解释。

就拿生活中的一个小事儿来说吧。

比如说，学校组织运动会，老师安排了 5 个同学参加不同的项目，分别是跑步、跳远、跳高、铅球和标枪。

可是呢，比赛前，负责安排的老师把名单弄混了，这 5 个同学都被安排到了不是原本自己的项目上。

这其实就是一个 5 个元素的全错排列问题。

咱们用上面的公式来算算。

先算 5!，那就是 5×4×3×2×1 = 120。

然后再算后面的那些分数项。

1/1! 就是 1，1/2! 就是 1/2，1/3! 就是 1/6，1/4! 就是 1/24，1/5! 就是 1/120 。

把这些加起来就是：1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 = 44/120 。

最后，用 120 乘以 44/120 ，就得到了 44 。

这就说明，5 个同学的全错排列方式有 44 种。

您可能会想，这全错排列在生活中有啥用啊？其实用处还不少呢。

比如说，您在整理书架的时候，原本的书都有固定的位置，突然您想打乱顺序重新摆放，而且不想让任何一本书在原来的位置，这时候全错排列就能帮您算算有多少种不同的摆放方法。

再比如，在公司安排座位的时候，如果想让每个员工都不坐在原来的位置上，也可以用全错排列来计算可能性。

总之，全错排列虽然看起来有点复杂，但是只要您理解了，就能发现它在很多地方都能派上用场。

5个元素错位排列的解题方法

对于给定的5个元素，错位排列（permutation）是一种排列方式，其中元素的顺序与原始顺序不同。

对于5个元素的错位排列，可以使用以下方法来计算并生成所有可能的排列：1. **数学公式法**：你可以使用错位排列的数学公式来计算所有可能的排列数。

错位排列的公式如下：$$D_n = n!(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} +\ldots + \frac{(-1)^n}{n!})$$对于5个元素的错位排列，$n$ 等于5，所以$D_5 = 5!(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}) = 44$。

2. **递归法**：你可以使用递归方法来生成所有可能的错位排列。

首先选择一个元素作为第一个元素，然后对剩余的元素进行递归排列。

这样可以生成所有可能的错位排列。

在每一步中，需要交换元素的位置以创建新的排列。

3. **编程语言库**：许多编程语言都提供了用于生成排列的函数或库。

例如，Python中的`itertools`库中有一个`permutations`函数，可以用来生成错位排列。

以下是一个Python示例代码：```pythonfrom itertools import permutationselements = [1, 2, 3, 4, 5]permutations_list = list(permutations(elements))```这将生成所有可能的错位排列并将它们存储在`permutations_list`中。

4. **手动列举法**：对于较小的元素集合，你也可以手动列举所有可能的错位排列。

列出所有排列时，确保元素的顺序与原始顺序不同。

5. **数学计算法**：可以使用数学计算的方法来计算特定错位排列的索引，并根据索引生成错位排列。

全错位排列dn的公式

全错位排列（也称为Derangement）是一个组合学中的概念，表示所有元素都不在原来位置上的排列数。

对于n个元素的全错位排列数，通常记作D(n)或!n（用感叹号表示n的阶乘，但在这里表示全错位排列）。

全错位排列的公式是递推公式，不是简单的封闭形式公式。

以下是全错位排列的递推公式：
D(n) = (n - 1) * (D(n - 1) + D(n - 2))
其中，D(0) = 1, D(1) = 0。

这个递推公式的含义是，对于n个元素的全错位排列数，可以分成两类：
1. 第一个元素放在第n个位置，剩下的n-1个元素进行全错位排列，这样的排列数为D(n-1)。

2. 第一个元素不放在第n个位置，而是放在其他n-1个位置中的任意一个，这样第一个元素就错位了。

然后剩下的n-1个元素中，至少有一个元素会放在它原来的位置上，我们把这样的元素找出来，把它和第一个元素交换位置，这样就得到了一个n-2个元素的全错位排列，这样的排列数为(n-1)*D(n-2)。

因此，n个元素的全错位排列数就是这两类排列数的和，即D(n) = (n - 1) * (D(n - 1) + D(n - 2))。

需要注意的是，全错位排列的计算比较复杂，通常需要使用递推或者递归的方法来计算。

在实际应用中，可以使用一些数学软件或者编程语言来实现全错位排列的计算。

全错位排列

全错位排列先看下面例子：例1 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。

这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：先考虑5个有的全排列，有A55种不同的排法，然后除去甲排第一（有A44种）与乙排第二（也有A44种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55－2A44＋A33＝78种。

现在考虑：例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。

仿上分析可得：A55－3A44＋3A33－A22＝64种这与全错位排列很相似。

全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。

看下面的问题例3 5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有m （m≤n ）不排在相应位置。

公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素（m≤n ）不排在相应位置的排列种数共有：从而这个问题可能用上面的公式得出：()A C A C A C A m n m n m m m n n m n n m nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这个公式在n ＝m 时亦成立A55－C(5,1)?A44＋C(5,2)?A33－C(5,3)?A22＋C(5,4)?A11－C(5,5)?A00＝44种（注意A00＝0!＝1）再看1993年高考题：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。

然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。

则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析：由上面公式得：A44－C(4,1)?A33＋C(4,2)?A22－C(4,3)?A11＋C(4,4)?A00＝9种，∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为：()A C A C A C A n n n n n n n n n n n n n nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这实际上是公式一的特殊情况。

全错位排列

全错位排列n个相异的元素排成一排，，...，。

则(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数N为公式证明：设Ai表示元素ai在第i个位置。

不难得出N=n!-(A1∪A2∪A3……∪An)根据容斥原理（文章最后有简单说明）展开得=证毕.全错位排列的递推公式（真的有递推公式，当时只是感觉应该会出现递推的。

不过这个递推公式貌似推导不出结果的）第一个位置有n-1种可能。

设a2在第一个位置，那么如果a1在第二个位置，就是剩下的n-2个元素的全错位排列记为N（n-2）。

所以N=（n-1）*（N（n-2））+X那么a1不在第二个位置呢？此时我们把a1看成a2，既然a1不在第二个位置，我们有理由相信这相当于a2（由a1充当），a3，a4，……an，的全排列数。

即N（n-1）也就是X=（n-1）*N（n-1）所以N(n)=(n-1) （N(n-1)+N(n-2)）当然这并不难的出，关键是要从这个递推关系中推出通项公式。

比较复杂了。

（瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707－1783)按一般情况给出了这个递推公式）此问题也被称为Install the wrong envelope problem（装错信封问题）N(n)=(n-1) （N(n-1)+N(n-2)）公式可重新写成N(n)-nNf(n-1)=-[N(n-1)-N(n-1)f(n-2)] (n>2)于是可以得到N(n)-nN(n-1)=-[N(n-1)-(n-1)N(n-2)]=((-1)^2)[N(n-2)-(n-2)N(n-3)]=((-1)^3)[N(n-3)-(n-3)N(n-4)]=……=[(-1)^(n-1)][N(3)-3N(2)]=[(-1)^(n-2)][N(2)-2N()]通过列举可知N(1)=0 N（2）=1 N(3)=2 N(4)=9最终可以得到一个更简单的递推式N(n)=nN(n-1)+(-1)^(n-2)等价于N(n)=n*N(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……（前几项验证成立）这个递推公式按现在的知识还不够推导出结果。

全错排列组合公式

全错排列组合公式
错排列组合是组合中比较特殊的一种形式，他指的是在一组数据中，相比较其他的组合，某些元素必须排列在一起，而且不允许有重复。

错排列组合的数量不像普通的组合那么容易求出来，需要用到全错排
列组合公式。

全错排列组合公式如下：
D（n）= n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+....+(-1)n/n!]
其中D（n）表示n个元素的错排列组合的数量，n！表示n的阶乘，（-1）n表示-1的n次方。

在上述公式中，有一个重要的概念——错排，它是指n个元素的错排
是指n个元素中，有m个不能处于第m个位置上，而其他n-m个元素
则可以随意排列。

错排数量的计算，需要整除和阶乘，所以错误排列
考虑的是组合数学。

下面是我为大家整理的全错排列组合公式的列表，希望对你有所帮助：
1. D（1）= 0
2. D（2）= 1
3. D（3）= 2
4. D（4）= 9
5. D（5）= 44
6. D（6）= 265
7. D（7）= 1854
8. D（8）= 14833
9. D（9）= 133496
10. D（10）= 1334961
我们可以发现，全错排列组合公式的计算量随着元素数量的增加而增加，因此，在实际应用中，需要根据具体情况灵活使用。

总之，全错排列组合公式是组合数学中的重要内容，可以用于计算错排数量，也可以用于统计样本空间的大小。

相信通过阅读本文，大家已经对全错排列组合公式有了更加深入的了解，希望有助于您的学习和应用。

整理：全错位排列

作为排列组合试题的一种特殊类型，全错位排列在公考中也偶有出现。

因为较之其他题型来说，全错位排列的原理需要结合举例子递推出来，故考生朋友们理解起来有一定的困难。

在此京佳崔熙琳老师将考试中出现过的该类题型进行汇总，希望给各位考生提供一些帮助。

公考行测：数量关系之“全错位排列”经典真题剖析一、全错位排列递推公式的推导把编号从1到n的n个小球放到编号为从1到n的n个盒子里，假定每个盒子中的小球编号与盒子的编号不得一样(即：1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推)，请问共有几种放法？用列举法进行公式的推导：图1通过图1可以发现，An与n存在如下的递推关系：An＝(An－2＋A n－1)×(n－1)(其中，n≥3，且A 1＝0，A 2＝1)此递推公式可以产生一个全错位排列的结果数列：A1＝0；A2＝1；A3＝(A1＋A2)×(3－1)＝2；A4＝(A2＋A3)×(4－1)＝9；A5＝(A3＋A4)×(5－1)＝44；A6＝(A4＋A5)×(6－1)＝265..................。

.考生在遇到全错位排列试题时候只需要按照上述递推公式进行简单推导即可求出结果。

二、真题解析例1：(2011年浙江省考真题55题)四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。

现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。

问共有几种不同的尝法？A.6种B.9种C.12种D.15种【答案与解析】B。

此题为全错位排列试题。

根据全错位排列公式“An＝(An－2＋A n－1)×(n－1)(其中，n≥3，且A 1＝0，A 2＝1)”，可知，当n＝4时，共有9种尝法。

例2：(2010年某省考试真题)五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？A.5B. 10C. 15D. 20【答案与解析】D。

做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有C(3，5)＝10种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有2种贴法。

全错位排列dn的公式

全错位排列dn的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全错位排列是排列组合中的一种特殊情况，它是指将一组元素进行重新排列，使得每个元素都位于原始位置以外。

全错位排列也称为dn排列，其中n表示元素的个数。

在全错位排列中，没有任何元素位于原始位置上，这使得全错位排列在排列组合中具有独特的特性。

在数学中，全错位排列的计算方法可以用一个公式来表示，这个公式可以帮助我们计算任意元素个数的全错位排列数量。

下面我们就来详细介绍全错位排列的公式及其推导过程。

假设有n个元素需要进行全错位排列，首先我们可以计算出n个元素的所有排列数量，这个数量可以用n!来表示，表示的是n的阶乘。

然后我们来计算n个元素的全错位排列数量。

假设第一个元素A有n-1种错误排列方法(把n-1个数安均在一起得到n个数的错位排列数)，那么就有n-1种排法。

假设元素A固定在第一个位置，那么剩下的元素就剩下n-1个元素。

这n-1个元素就要错位排列(错位排列其实就是将元素A与其他元素进行交换得到不同的排列)。

由于有n种情况可以选择元素A在第一个位置，所以总共就有n*(n-1)种情况。

现在我们来考虑其他的元素B，如何计算B在排列中的错位情况呢？实际上第一个元素A和其他元素B、C……之间的错位情况是相互独立的。

即当A的错位情况确定时，B的错位情况是无法受到A的影响的。

B在错位情况上有(n-1)*(n-2)种可能。

同样的道理，对于C，C有(n-2)*(n-3)种可能，以此类推，最后一个元素有1*0种可能。

根据乘法原理，n个元素的全错位排列总数为：(n-1)! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^(n-1)/n!)这个公式表示了n个元素的全错位排列数量，其中n!表示n的阶乘，(n-1)!表示n-1的阶乘，以此类推。

而其中的每一项都是错位排列的一部分，通过不断累加可以得到n个元素的全错位排列数量。

通过这个公式，我们可以计算出任意元素个数的全错位排列数量，这对于解决一些排列组合问题具有重要的意义。

全错位排列数公式的推导与化简

全错位排列数公式的推导与化简一、提出问题装错信封问题：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，若他把这n封信都装错了信封，那么装错信封的装法共有多少种？这是被著名数学家欧拉称为“组合数论的一个妙题”.把n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的排列方法称为错位排列法.将编号分别为1，2，3，…，n的n个不同元素a1，a2，a3，…，an，安排在这n个位置作全排列，若某个排列中每个元素都错位，则把这个全排列称为这n个不同元素的一个全错位排列.n个不同元素所有的全错位排列的个数称为全错位排列数，记为Dn，易得D1=0，D2=1，D3=2.二、递推关系式对于n=4，D4推导如下：按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C13=3种排法.1234a3a1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是a3，此时应考虑a1的位置，包括两种情况.若a1安排在第三个位置，则a2和a4排法是D2=1；若a1不安排在第三个位置，而a2不排在第二个位置，a4不排在第4个位置，对应的排法是D3=2.因此，当第一个位置安排的是a3时，对应的排法共有D2+D3=3，而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以D4=C13（D2+D3）=9.对于Dn，推导如下：按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C1n-1=n-1种排法.12…m…nama1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是am，此时应考虑a1所放的位置，包括两种情况.若a1安排在第m个位置，则对应的排法是Dn-2；若a1不安排在第m个位置，由于a2不排在第二个位置，…，an不排在第n个位置，对应的排法是Dn-1.因此，当第一个位置安排的是an时，对应的排法共有Dn-1+Dn-2.而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2）. （1）整理Dn-nDn-1=-[Dn-1-（n-1）Dn-2].这表明，{Dn-nDn-1}是以D2-2D1=1为首项，公比为-1的等比数列，于是Dn-nDn-1=（-1）n-2，故Dn=nDn-1+（-1）n，其中n≥2，n ∈N+. （2）对于（1）式还有一种方法：设满足题意的放法有Dn种，当加入第n+1个元素和编号时，对于Dn的每一种放法，都可以把第i（i=1，2，3，…，n）个元素与第n+1个元素互换，把第i个元素放入第n+1个位置，有nDn种放法；也可先把第n+1个元素放入第i个位置，还余下n个位置，而把第i 个元素不放入第n+1个位置，其它元素也不放在对应的位置，则此时有nDn-1种放法，所以Dn+1=nDn+nDn-1，n≥2.三、全错位排列数公式利用递推关系式Dn-nDn-1=（-1）n，各项同除以n！，得Dnn！-Dn-1（n-1）！=（-1）nn！，构造数列bn=Dnn！，并利用数列恒等式bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）有Dnn！=01！+（-1）22！+（-1）33！+…+（-1）nn！，所以Dn=n！[12！-13！+…+（-1）n1n！].下面根据Dn=nDn-1+（-1）n利用分步迭代法推导Dn.D2=2D1+（-1）2，D3=3D2+（-1）3=3×2D1+3（-1）2+（-1）3.由于D1=0，则D4=4D3+（-1）4=4×3（-1）2+4（-1）3+（-1）4，D5=5D4+（-1）5=5×4×3（-1）2+5×4（-1）3+5（-1）4+（-1）5=5！2！（-1）2+5！3！（-1）3+5！4！（-1）4+5！5！（-1）5，…，所以Dn=n！[12！-13！+…+（-1）n1n！].还有一种方法：利用递推关系式Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2），设Dk=k！pk，k=1、2、3、…、n，则p1=0，p2=12.当n≥3时，由Dn=（n-1）（Dn-1+Dn-2）得n！pn=（n-1）（n-1）！pn-1+（n-1）（n-2）！pn-2，即n（n-1）！pn=（n-1）（n-1）！pn-1+（n-1）！pn-2，可知npn=（n-1）pn-1+pn-2，即npn=npn-1-pn-1+pn-2，则pn-pn-1=-pn-1-pn-2n，pn-1-pn-2=-pn-2-pn-3n-1，……，因此有pn-pn-1=（-1n）（-1n-1）（-1n-2）…（p2-p1）=（-1）n1n！，pn-1-pn-2=（-）n-11（n-1）！，…，p2-p1=（-1）212！.各式两边相加得pn=12！-13！+…+（-1）n1n！.所以Dn=n！pn=n！[1-11！+12！-13！+…+（-1）n1n！].四、化简公式由于e-1=1-11！+12！-13！+…+（-1）n1n！+…，e=2.71828.即e-1=pn+（-1）n+11（n+1）！+（-1）n+21（n+2）！+…余项为Rn=（-1）n+11（n+1）！+（-1）n+21（n+2）！+…=（-1）n+11（n+1）！（1-1n+2）+…那么该余项取值范围如何呢？由泰勒中值定理可知，在含有x0的某个开区间（a，b）内，函数f（x）可表示为（x-x0）的一个n次多项式pn（x）与一个余项Rn（x）之和，此和是关于（x-x0）的幂级数即泰勒级数，其中pn（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2！（x-x0）2+…+f （n）（x0）n！（x-x0）n，余项为Rn（x）=f （n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1.ξ在x与x0之间.若将函数f（x）=ex展开成x的幂级数即麦克劳林级数，由于x0=0，f （n+1）（x）=ex，则ex=1+x+x22！+x33！+…+xnn！+….对于任何有限的x、ξ（ξ在0与x之间），余项为Rn （x）=eξ（n+1）！xn+1.而函数f（x）=ex展开成x的幂级数中含有xn+1的项为f （n+1）（ξ）（n+1）！xn+1=ex（n+1）！xn+1，可见二者形式相似.由于x=-1，因此e-1的幂级数的余项为Rn（-1）=（-1）n+1eξ（n+1）！，且ξ∈（-1，0）.因此Dn=n！e-1-（-1）n+1eξn+1.设λ=|n！Rn|=|（-1）n+1eξn+1|=eξn+1，由于eξ∈（1e，1），当n=1时，λ。

全错位排列公式

全错位排列公式什么是错位全排列问题？其实很简单，在生活中可能都会遇到：“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：一个人写了 n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这 n 封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？为了解决这个看似简单的问题，我们从数学的角度出发，尝试几个常用的方法。

记装错 n 封信的种类为 D_n ，并且有 n 封信a_1,a_2,...,a_n（1）枚举法（Enumeration method）计算种数当 n 的值较小时，可以利用枚举法：n=1 时，不可能装错信，则 D_1=0 ；n=2 时，显然装错信时，只可能为两者调换位置，则D_2=1 ；n=3 时，有 (a_2,a_3,a_1) ， (a_3,a_1,a_2) 两种装法，则D_3=2 ；n=4 时，装法如下：(a_2,a_1,a_4,a_3) ， (a_2,a_3,a_4,a_1) ，(a_2,a_4,a_1,a_3) ，(a_3,a_1,a_4,a_2) ，(a_3,a_4,a_1,a_2) ， (a_3,a_4,a_2,a_1) ，(a_4,a_1,a_2,a_3) ， (a_4,a_3,a_2,a_1) ，(a_4,a_3,a_1,a_2) ，则 D_4=9 。

当 n 的值越来越大时，枚举会变得异常复杂。

可以考虑用排列数（Permutation）和组合数（Combination），来得到错位全排列的计算公式。

（2）排列组合计算种数显然， n 封信的组合方式共有 A_n^n=n! 种装法，接下来我们要做的就是扣掉其中重复的种类，保证计数“不重不漏”。

假设第一封信装对，即为剩下的 n-1 个元素的一个全排列（All permutation），则有 A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! 种装法；并且当第二封信装对时，也有 A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! ，以此类推，每一封信装对时，都有 (n-1)! 种装法。

排列组合错位排列公式

排列组合错位排列公式排列组合这玩意儿，在数学里可有点意思，特别是错位排列公式，那更是藏着不少门道。

咱先来说说啥是错位排列。

打个比方，就像一群小朋友，每个人都有自己固定的座位，但是突然老师说要打乱重新坐，而且还不能坐回自己原来的座位，这就是错位排列。

那错位排列公式到底是啥呢？它可以表示为：Dn = n! (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! +... + (-1)^n / n!) 。

看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋。

比如说，假设有 3 个元素要进行错位排列。

那第一个元素就有 2 种选择，因为不能选自己原来的位置嘛。

假设第一个元素选了第二个位置，那第二个元素就有两种情况。

如果第二个元素选了第一个位置，那第三个元素就只能选第三个位置；如果第二个元素没选第一个位置，而是选了第三个位置，那第三个元素就只能选第一个位置。

所以 3 个元素的错位排列数就是 2 种。

再比如说，有 4 个元素要错位排列。

那第一个元素还是有 3 种选择。

假设第一个元素选了第二个位置，那第二个元素也有 3 种选择。

如果第二个元素选了第一个位置，那后面两个元素就又成了一个新的 2 个元素的错位排列问题。

如果第二个元素没选第一个位置，假设选了第三个位置，那第三个元素又有两种选择，选第一个或者第四个位置。

如果第三个元素选了第一个位置，那第四个元素就只能选第四个位置；如果第三个元素选了第四个位置，那第四个元素就只能选第一个位置。

所以 4 个元素的错位排列数就是 9 种。

咱们在实际生活中，错位排列的情况也不少见。

就说我有次去参加一个朋友的聚会，大家玩一个交换礼物的游戏。

每个人都准备了一份礼物，然后打乱顺序随机抽取。

结果还真就出现了错位排列的情况，本来想着能抽到跟自己关系好的人的礼物，结果完全错位，那种意外和惊喜的感觉，还真挺特别。

再回到数学里，错位排列公式在解决很多问题的时候都能派上用场。

比如在安排工作任务的时候，如果每个人都不能负责自己原本熟悉的那部分，要计算有多少种不同的安排方式，这时候错位排列公式就能大显身手啦。

完全错位排列公式

完全错位排列公式
完全错位排列是一种有趣的排列方式，它可以让字母、数字等元素
按照一定的规则排列组合，形成新的组合方式。

完全错位排列的公式
如下：
n! * (1/2! - 1/3! + 1/4! - … + (-1)^n-1 / n!)
其中，n为元素的总数。

完全错位排列的应用很广泛，可以用于密码学、数学、计算机科学等
领域。

在生活中，我们也可以利用完全错位排列来创建有趣的游戏和
谜题。

比如，我们可以创建一个谜题，让玩家猜测某个单词的完全错
位排列。

除了完全错位排列，还有很多其他的排列方式，比如全排列、部分排列、循环排列等等。

每种排列方式都有自己的特点和应用场景，我们
可以根据具体需求选择合适的排列方式。

在中文写作中，我们也可以利用排列方式来增强文章的表现力和趣味性。

比如，我们可以使用倒叙、押韵、交叉等等手法，将文字组合成
不同的形式，创造出独特的效果。

这些手法需要灵活运用，并结合具
体语境来使用，才能发挥最佳的效果。

总之，完全错位排列是一种有趣的排列方式，不仅可以用于理论研究，
也可以用于实际应用。

在中文写作中，我们也可以借鉴其思想，创造出更有趣和富有表现力的文章。

数学错位排列公式(一)

数学错位排列公式(一)数学错位排列公式什么是错位排列？错位排列指的是从一个集合中，取出n个元素进行排列，使得每个元素都不在其原来的位置上的排列方式。

具体来说，给定n个元素的集合S，错位排列是指将集合S中的元素重新排列，使得对于任意1 ≤ i ≤ n，都有第i个元素不在原来的位置上。

公式表达错位排列的个数n！乘上错位因子：!Dn其中，错位因子!Dn的计算公式如下：!Dn = (n-1) * (!(n-1) + !(n-2))公式解释!Dn = (n-1) * (!(n-1) + !(n-2))中的!表示阶乘。

•(n-1)表示从n个元素中选取一个元素，将其放置在排列的最后一个位置上。

•!(n-1)表示从剩下的(n-1)个元素中得到错位排列的可能数。

•!(n-2)表示从剩下的(n-2)个元素中得到错位排列的可能数，其中(n-1)个元素已经放置在最后一个位置上。

因此，错位因子的计算是在选定了最后一个元素的情况下，对剩下的元素进行错位排列的个数的计算。

实际例子例子1：n=3给定一个集合S={A, B, C}，计算错位排列的个数。

根据公式，我们有： !D3 = (3-1) * (!(3-1) + !(3-2)) = 2 * (!(2) + !(1)) = 2 * (2 + 1) = 2 * 3 = 6因此，集合S={A, B, C}的错位排列个数为6。

例子2：n=4给定一个集合S={A, B, C, D}，计算错位排列的个数。

根据公式，我们有： !D4 = (4-1) * (!(4-1) + !(4-2)) = 3 * (!(3) + !(2)) = 3 * (2 + 1) = 3 * 3 = 9因此，集合S={A, B, C, D}的错位排列个数为9。

总结错位排列是一种特殊的排列方式，其中每个元素都不在原来的位置上。

错位排列的个数可以通过错位因子来计算，公式为!Dn = (n-1) * (!(n-1) + !(n-2))。

高中数学排列组合：全错位排列问题详解

第二步：将剩余的
4
个名额分到这
6
个班里，由隔板法知，此时，有
C
5 9
种不同分法。由分
步计数原理知，共有
C
5 9
种不同分法。
C
5 9
=C
4 9
=
98 43
7 2
6 1
=126（种）。
答：某校召开学生会议，要将 10 个学生代表名额，分配到某年级的 6 个班中，若
每班至少 1 个名额，有 126 种不同分法.
(1).一般地，设 n 个编号为 1、2、3、… 、i、…、j、…、n 的不同元素 a1、a2、a3、…、 ai、…、aj、…、an，排在一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的全错位排列数为 Tn ，则 T2=1，T3=2，Tn= (n-1) ( Tn-1+Tn-2) ，（n≥3）.
(2).递推关系的确立
aj 不排 i 位
表（2）
此时，ai 仍排在 j 位，aj 不排在 i 位，则 aj 有 n-1 个位置可排，除 ai 外，还有 n-1 个元
素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为 n-1 个元素全错位排列，排列数为 Tn-1，
由乘法原理和加法原理可得：Tn=(n-1)(Tn-1+Tn-2) ，（n≥3）.
要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有
种不同的放
法.
这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限
制条件的排列问题叫做全错位排列问题.
例 3.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，
则不同的坐法有
种.
解析：可以分类解决：