大学高等数学15方向导数与梯度极值与最值-二元泰勒公式最小二乘法和习题讲解PPT课件

l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
15
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f ,f ,f x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
r
2
r
0)
证: 利用例4的结果 grad f (r) f (r) r 0
grad u
q
4
r
r
0
q
4
r2
r
0
E
这说明场强: 垂直于等位面,
且指向电位减少的方向.
14
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为, , ) 的方向导数为
f f cos f cos f cos
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
11
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f
(r) x r
f (r) f (r) y ,
y
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
f (r) 1 r f (r) r0
x
r
12
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、物理意义
函数
场
(物理量的分布)
数量场 (数性函数) 如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数)
如: 力场,速度场等
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f cos f cos f cos
2. 梯度的几何意义
9
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对函数
z
f
(x,
y) ,曲线
z
f (x, zC
y) 在
xoy 面上的投
影L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线 .
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
( f x , f y ) P grad f P
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0, 时, 有 f f
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、方向导数
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
l
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
同样, 对应函数 有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
y
f c3
f c2
P f c1
o
x
(设c1 c2 c3)
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 梯度的基本运算公式
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 f f
2
l x
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u 2xyz 2
l P
14
x2y
3 14
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n P 14
7
7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos ຫໍສະໝຸດ Baidu f cos
l x
y
z
令向量 G
f, x
f, y
f z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
max f G
l
l x
y
z
l
P
证明: 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得
P(x, y, z)
f f x f y f z o( )
x
y
z
o( )
故 f lim f f cos f cos f cos
l 0 x
y
z
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
8
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作grad f , 即
f, x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
可微函数 f (P)
(势)
梯度场 grad f (P)
(向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
处所产生的电位为 u q ( r x2 y2 z2 ), 试证
4 r
gradu E
(场强
E
4π
q ε
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为
x x y x2 1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
6
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 设 n 是曲面