(完整)北师大版九年级下册数学期末试卷

北师大版九年级下册数学期末试卷

一．选择题（共10小题）

1．下列式子错误的是（）

A．cos40°=sin50°B．tan15°?tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°

2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）

A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°

B．C．AC=1.2tan10°米D．AB=米

3．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）

A．B．2 C．D．

4．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）

A． B．C．D．

5．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）

A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4

6．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1

7．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）

A．5 B．7 C．9 D．11

8．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）

A．40°，80°B．50°，100° C．50°，80°D．40°，100°

9．已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）

A．12 B．15 C．16 D．18

10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c ＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题（共10小题）

11．在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是．

12．在将Rt△ABC中，∠A=90°，∠C：∠B=1：2，则sinB=．

13．已知cosα=，则的值等于．

14．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=．

15．若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+

的值为．

16．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，

设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．

17．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O．

18．如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为cm．

19．已知AB、BC是⊙O的两条弦，AB=AC，∠AOB=120°，则∠CAB的度数是．

20．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．

三．解答题（共10小题）

21．计算：．

22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的

垂线，垂足为点E．

（1）求线段CD的长；

（2）求cos∠ABE的值．

23．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；

（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．

24．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于

D，连接AC、BC．

（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

25．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．

（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．

26．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y （千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？

（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？

27．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED是正方形，∠DCE=45°，AB=100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？（结果保留整数，≈1.41）

28．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）

（1）求B，C的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

29．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

30．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

北师大版九年级下册数学期末试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016?永州）下列式子错误的是（）

A．cos40°=sin50°B．tan15°?tan75°=1

C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°

【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．

【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；

B、tan15°?tan75°=tan15°?cot15°=1，式子正确；

C、sin225°+cos225°=1正确；

D、sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．

故选D．

【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．

2．（2016?巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）

A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°

C．AC=1.2tan10°米D．AB=米

【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．

【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；

故选：B．

【点评】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键．

3．（2016?钦州校级自主招生）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）

A．B．2 C．D．

【分析】根据勾股定理求出BC，根据正切的定义计算即可．

【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=1，

∴BC==2，

则tanA==2，

故选：B．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A

的正切是解题的关键．

4．（2016?赤峰）函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）

A． B．C．D．

【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论．

【解答】解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k2，

∵k≠0，

∴﹣k2＜0，

∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．

A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；

B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；

C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；

D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．

故选C．

【点评】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是分析一次函数图象与y轴的交点．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，由一次函数与y轴的交点即可排除了A、B、D三个选项，因此只需分析一次函数图象即可得出结论．

5．（2016?眉山）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4

【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，

∵y=（x﹣1）2+2，

∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，

故答案为C．

【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．

6．（2016?宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）

A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1

【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．

【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），

∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，

∵抛物线的对称轴为：直线x=1，

∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），

∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．

故选：C．

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确应用二次函数对称性是解题关键．

7．（2016?黄石）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）

A．5 B．7 C．9 D．11

【分析】根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．

【解答】解：由题意可得，

OA=13，∠ONA=90°，AB=24，

∴AN=12，

∴ON=，

故选A．

【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．

8．（2016?巴彦淖尔）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD 与∠AOD分别等于（）

A．40°，80°B．50°，100° C．50°，80°D．40°，100°

【分析】求出∠AEC=90°，根据三角形内角和定理求出∠C=50°，根据圆周角定理即可求出∠ABD，根据OB=OD得出∠ABD=∠ODB=50°，根据三角形外角性质求出即可．

【解答】解：∵CD⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∵∠CAB=40°，

∴∠C=50°，

∴∠ABD=∠C=50°，

∵OB=OD，

∴∠ABD=∠ODB=50°，

∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°，

故选B．

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键．

9．（2016?丹阳市校级一模）已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）

A．12 B．15 C．16 D．18

【分析】设OC=x，根据垂径定理可得出AC=4，利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，进而得出OC的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．

设OC=x，则OA=OD=x+2，

∵OD⊥AB于C，

∴

在Rt△OAC中，OC2+AC2=OA2，即x2+42=（x+2）2，

解得x=3，即OC=3，

∵OC为△ABE的中位线，

∴BE=2OC=6．

∵AE是⊙O的直径，

∴∠B=90°，

∴．

故选A．

【点评】本题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积，解题的关键是求出BE 的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出方程是关键．

10．（2016?常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c ＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．

【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，

∴a＜0，c＞0，故②正确；

∵0＜﹣＜1，

∴b＞0，故①错误；

当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，

∴a+c＜b，故③正确；

∵二次函数与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确

正确的有3个，

故选：C．

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a

与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

二．填空题（共10小题）

11．（2016?永春县模拟）在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是．

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比斜边，求出即可．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，

∴sinA==．

故答案为．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

12．（2016?株洲模拟）在将Rt△ABC中，∠A=90°，∠C：∠B=1：2，则sinB=．

【分析】根据题意和三角形内角和定理求出∠B的度数，根据正弦的定义解答即可．

【解答】解：∵∠A=90°，

∴∠C+∠B=90°，又∠C：∠B=1：2，

∴∠B=60°，

∴sinB=，

故答案为：．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

13．（2016?雅安校级模拟）已知cosα=，则的值等于0．

【分析】先利用tanα=得到原式==，然后把cosα=代

入计算即可．

【解答】解：∵tanα=，

∴==，

∵cosα=，

∴==0．

故答案为0．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA?cosA．

14．（2016?牡丹江）已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=﹣3．【分析】将点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c ﹣1的值．

【解答】解：把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得

4a+6+c=4，

∴4a+c=﹣2，

∴4a+c﹣1=﹣3，

故答案为﹣3．

【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，点在函数上，将点代入解析式即可．

15．（2016?泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为﹣4．

【分析】设y=0，则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，利用根与系数的关系即可求出+的值．

【解答】解：

设y=0，则2x2﹣4x﹣1=0，

∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，

∴x1+x2=﹣=2，x1，?x2=﹣，

∴+==﹣4，

故答案为：﹣4．

【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键．

16．（2016?邯郸校级自主招生）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为（±，）．

【分析】根据反比例函数和一次函数的性质解题．

【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，

∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b②，

∴ab=，（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=11，a+b=±，

∴y=﹣x2±x，

∴顶点坐标为（=±，=），即（±，）．

故答案为：（±，）．

【点评】主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．解题关键是先求出ab，a+b的值，整体代入求出函数的解析式．

17．（2016秋?南京期中）若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O外．

【分析】由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离大于半径，可判定点P 在圆外．

【解答】解：

∵⊙O的直径为2，

∴⊙O的半径为1，

∵OP=2＞1，

∴点P在⊙O外，

故答案为：外．

【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键．

18．（2016?绥化）如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为16cm．

【分析】连接OA，根据垂径定理求出AB=2AM，已知OA、OM，根据勾股定理求出AM 即可．

【解答】解：连接OA，

∵⊙O的直径CD=20cm，

∴OA=10cm，

在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM==8cm，

∴由垂径定理得：AB=2AM=16cm．

故答案为：16．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．

19．（2016?香坊区模拟）已知AB、BC是⊙O的两条弦，AB=AC，∠AOB=120°，则∠CAB的度数是15°或75°．

【分析】①若点C在优弧AB上，根据AB=AC设AC=2x、AB=x，作OD⊥AB、作OE⊥AC，由∠AOB=120°、OA=OB得∠OAD=30°，在Rt△OAD中可得OA=x，在Rt △OAE中由cos∠OAE=可得∠OAE度数，继而根据∠CAB=∠OAB+∠OAE可得∠CAB

度数；

②当点C在劣弧AB上时，与（1）同理可得∠OAB=30°，∠OAE=45°，根据∠CAB=∠OAE ﹣∠OAD可得此时∠CAB的度数，即可得答案．

【解答】解：①如图1，若点C在优弧AB上，

∵AB=AC，

∴设AC=2x，则AB=x，

过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，

∴AD=AB=x，AE=AC=x，

∵∠AOB=120°，OA=OB，

∴∠OAD=30°，

在Rt△OAD中，OA===x，

在Rt△OAE中，cos∠OAE===，

∴∠OAE=45°，

∴∠CAB=∠OAB+∠OAE=75°；

②如图2，当点C在劣弧AB上时，

由①知，∠OAB=30°，∠OAE=45°，

∴∠CAB=∠OAE﹣∠OAD=15°，

故答案为：15°或75°．

【点评】本题主要考查垂径定理及三角函数的应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键．

20．（2016?内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a ﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是P＞Q．

【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a ﹣b+c＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．

【解答】解：∵抛物线的开口向下，

∴a＜0，

∵﹣＞0，

∴b＞0，

∴2a﹣b＜0，

∵﹣=1，

∴b+2a=0，

x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．

∴﹣b﹣b+c＜0，

∴3b﹣2c＞0，

∵抛物线与y轴的正半轴相交，

∴c＞0，

∴3b+2c＞0，

∴p=3b﹣2c，

Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，

∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0

∴P＞Q，

故答案为：P＞Q．

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．

三．解答题（共10小题）

21．（2016?金华校级模拟）计算：．

【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：原式=2+2﹣4×﹣1，

=2+2﹣2﹣1，

=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．

22．（2016?江西模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过

点B作直线CD的垂线，垂足为点E．

（1）求线段CD的长；

（2）求cos∠ABE的值．

【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；

（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD?BE=?AC?BC，于是可计算出BE=，然后在Rt

△BDE中利用余弦的定义求解．

【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，

∴sinA==，

而BC=8，

∴AB=10，

∵D是AB中点，

∴CD=AB=5；

（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，

∴AC==6，

∵D是AB中点，

∴BD=5，S△BDC=S△ADC，

∴S△BDC=S△ABC，即CD?BE=?AC?BC，

∴BE==，

在Rt△BDE中，cos∠DBE===，

即cos∠ABE的值为．

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．

23．（2016?宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；

（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，证明△CDE∽△CBA 后即可求得CD的长．

【解答】（1）证明：∵ED=EC，

∴∠EDC=∠C，

∵∠EDC=∠B，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）方法一：

解：连接AE，

∵AB为直径，

∴AE⊥BC，

由（1）知AB=AC，

∴BE=CE=BC=，

∵△CDE∽△CBA，

∴，

∴CE?CB=CD?CA，AC=AB=4，

∴?2=4CD，

∴CD=．

方法二：

解：连接BD，

∵AB为直径，

∴BD⊥AC，

设CD=a，

由（1）知AC=AB=4，

则AD=4﹣a，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得：

BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2

在Rt△CBD中，由勾股定理可得：

BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2

∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2

整理得：a=，

即：CD=．

【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

24．（2016?漳州）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直

线CD⊥AE于D，连接AC、BC．

（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

【分析】（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；

（2）连接CE，由勾股定理得到CD==，根据切割线定理得到CD2=AD?DE，根据勾股定理得到CE==，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．【解答】解：（1）相切，连接OC，

∵C为的中点，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠1=∠ACO，

∴∠2=∠ACO，

∴AD∥OC，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∴直线CD与⊙O相切；

（2）方法1：连接CE，

∵AD=2，AC=，

∵∠ADC=90°，

∴CD==，

∵CD是⊙O的切线，

∴CD2=AD?DE，

∴DE=1，

∴CE==，

∵C为的中点，

∴BC=CE=，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AB==3．

方法2：∵∠DCA=∠B，

易得△ADC∽△ACB，

∴=，

∴AB=3．