光纤光栅特性.docx

光纤光栅的特性
1．光纤布喇格光栅的理论模型：
假设光纤为理想的纤芯掺锗阶跃型光纤，并且折射率沿轴向均匀分布，包层为纯石英，此种光纤在紫外光的照射下，纤芯的折射率会发生永久性变化，对包层的折射率没有影响。

利用目前的光纤光栅制作技术： 如全息相干法， 分波面相干法及相位模板复制法等。

生产的
光纤光栅大多数为均匀周期正弦型光栅。

纤芯中的折射率分布（如图
1）所示。

n 1 (Z) 为纤芯的折射率，
n m ax
为光
致折射率微扰的最大值，
n 1 (0) 为纤芯原折射率，
为折射率变化的周期（即栅距） ，
L 为光栅的区长度。

若忽略光栅横截面上折射率分布的不均匀性，光栅区的折射率分布可表示为：
n 1 (z) n 1 (0) n max cos(
2
Z )
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1.1 ）
显而易见， 其折射率沿纵向分布， 属于非正规光波导中的迅变光波导，
在考虑模式耦合
的时候， 只能使用矢量模耦合方程， 其耦合主要发生在基模的正向传输导模与反向传输导模
之间。

2．单模光纤的耦合方程
由于纤芯折射率非均匀分布
,引起了纤芯中传输的本征模式间发生耦合。

在弱导时
, 忽
略偏振效应 ,吸收损耗和折射率非均匀分布引起了模式泄漏
,则非均匀波导中的场Φ ( x , y ,
2 2 2 2
z ) 满足标量波动方程
( x, y, z)
} (x, y, z) 0 （
2.1）
: { t sk 0 n
2
z
其中：
k 0
2 / ，
是自由空间的光波长。

2
t
1
1 2
{ r
}
(2.2)
r r r 22
r
由于折射率非均匀分布引起波导中模式耦合只发生在纤芯中
,因此非均匀波导中的场
可以表示为均匀波导束缚模式
( x, y) 之和 :
( x, y, z)
A l ( z) l ( x, y)
{ a l ( z) exp( i l z) a l exp(i l z)} l ( x, y)
(2.3)
l
l
A 1 (z) 表示与
1 (x, y) 相 系的全部随 z 化的关系。

本 省去了所有 无
影响的 exp( j t ) 的因子。

其中 1 ( x, y) 足方程： {
2
2
2 ( x, y)
2
} l
0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2.4)
t
k 0
n
aver
t
将
A l l 代入 2.1中，并利用 2.4消去含有
2
t l 的 ， 并按模式耦合理 的一般方法
l
行 理 ,化 略去高次 , 可以得到一个正向 模与同一反向 模 的模式耦合方
程 :
da 1 D exp(i 2 z)
dz
2 a 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
2.5）
da 1
D
a 1 exp( i 2 z)
dz
2
D
ik 02
2
dA
ik 0 (n
2
n aver 2
)
2
2
A
(2.6)
(n n aver )
co
2
dA ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
2
2n
aver
A
2 d A
其中
A co
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
2 .7）
2
dA
A
是芯 中的功率百分比。

在 折射率剖面光 中
,基模可以用高斯函数近似代替 ,代入 2.7式
中得：
1
1
V 2 ，其中 V 光 的 构常数。

其中 1
1
播常数。

根据射 理 ，光 中模 的 播常数
2 n /。

在 模光 中
n 近似等于原 芯折射率 n 1 (0) 。

n 2 n aver 2 n 2
n aver 2
nn
aver
cos( ) ⋯⋯（ 2.8
由于
）
n aver
n aver
nn aver n
z
2n
aver
n
aver
2n aver 2
2
其中：
D n cos( z)
i 2
cos( z) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(2.9)
所以
ik 0 n
2
令耦合系数 C
n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(2.10)
将 2.8,2.9代入 2.5和 2.6得：
da1
i 2C a1 cos( z) exp(i 2z)
dz
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2.11）da 1
i 2C a1 cos( z) exp(i 2z)
dz
又 cos(z)cos(2z)1
i
2
e
i
2
) 代入2.6，并省略高次 exp[i 2()z] (e
2
da1
iC a 1 exp[ i2z]
dz
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2.12）da 1
iC a1 exp[i 2z]
dz
其中
折射率区(Z1, Z 2 ) ,度L，不得到界条件：在Z1L＝0， a1 (0) 1 ，
在
Z 2， a 1 ( L)0。

利用此界条件，可解出方程 2.7
a1 (Z )exp(i z){sinh[ S(z L )]iS cosh[S(z L )]}
[sinh(SL)iS cosh(SL)]
(2.13)
C exp(i z) a 1 ( Z )
[sinh( SL)sinh[ S( z L )]
iS cosh(SL)]
其中： S2 C 22
因此得到端口 ( z = 0)当 C 22入射光的反射率：
a1 (0)2
C 2 sinh2 (SL)
R( , L)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2.14) a1 (0)2 sinh2 (SL)S2 cosh2(SL)
当0 ，即2n，足相位匹配条件， 2.9可以化：
R
max tanh 2 (CL )
当 C 22,入射光的反射率
a1 (0)22 sin2 (QL ) R( , L)
C
a1 ( 0)2k 2cos2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2.15）
QL 其中 Q 22 C 2
由R 的表达式可以求得反射谱的半高全宽度
(FWHM) 为：
n ) 2
1
FWHM B
[(
( ) 2 ] 2 （2.16）
2n
L
对弱反射 (峰值反射率较低 ) 光栅一般还须在上式右端乘以系数
0. 5 加以修正。

3光线光栅的特性分析
a ）：反射率与光栅长度的关系 反射率是光纤光栅的一个重要参数
2.14和 2.15直接描述了反射率 R 和光栅长度 L 的关系。

下面图 3.1,3.2,.3.3分别描述了不同耦合系数（即不同 n ）时候， R 和 L 的关系。

光栅中心波
长
827.5nm ， V ＝ 2.405， C
n
n * (1
1 ) 折射率扰动
V 2
n 分别为
1* 10 4 ,2 * 10 4 ,3* 10 4 ,4 * 10 4 。

图 3.1 反射率与光栅长度的关系
可见对折射率扰动大的光栅，长度较短也可以达到高的反射率。

图 3.2描述n 分别为6 * 104,8 * 104,1* 103,2 * 103时，反射率与光栅长度的关系。

图 3.2反射率与光栅长度的关系
图 3.3描述n 分别为1* 105,2 * 105,3 * 105,4 * 105时，反射率与光栅长度的关系。

图 3.3反射率与光栅长度的关系
b）：有效长度L c与折射率扰动的关系
取反射率 R＝0.9时，光栅长度为有效长度L c，可得有效长度L c与n 的关系。

n 从0变化到5 * 104，其他参数仍照上面选取，可以得到如下曲线：
图 3.4 光栅有效长度和折射率扰动的关系
可见在反射率一定的情况下，折射率扰动越大，光栅的长度可以做的越短。

图 3.5,3.6描述了n 从0变化到5 * 103，0变化到5 * 105时候L c与n 的关系。

图 3.5 光栅有效长度和折射率扰动的关系
图 3.6 光栅有效长度和折射率扰动的关系
c）：谱线宽度
光栅的另一个重要特性是谱线宽度，我们取半峰谱线宽度为光栅线宽。

图 .3.7描述了n 变化对的影响。

折射率扰动大会加宽谱线带宽，光栅的谱线宽度还与光栅长
度L 有关。

图 3.8描述了n1* 10 4时，线宽和光栅长度 L 的关系。

n 1
根据公式
[(2
( L )2]
2 ，我们取中心波长 1.5497 * 10 6 m ，
FWHM B
2n)b n＝ 1.462， 5.3* 107，L 6 * 104 m ，n 0 ~ 5 * 10 5
图 3.7 线宽与折射率的关系
3.8 与光度的关系
d：）光光反射光特性
根据公式：
2
C 2 sinh2 (SL)
R( , L) a 1 (0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2.14) a1 (0)2 sinh2 (SL) S2 cosh2(SL)
当0 ，即2n ，足相位匹配条件， 2.9可以化：
R
max tanh 2 (CL )
当 C 22,入射光的反射率
a1 (0)2
2 sin2 (QL )
R( , L)
C
a1 ( 0)2k 2cos2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2.15）QL
其中 Q 22 C 2
我假光各参数：
b 1.5497 * 106 m ，＝
1.462
，
5.3 * 10
7，
n
L 6* 10 4 m ， n 4 * 103， V ＝ 2.405得到 3.9光反射光特性曲
3． 9光栅反射光谱特性曲线从上图我门可以得出2个结论：
（1）：存在峰值反射率。

当δβ=0 时，有峰值反射率;当δβ≠ 0 时 ,反射谱有边带存在带的反射率大大降低。

δβ= 0 时有λ = 2nΛ = B ,这称为光纤光栅的Bragg 条件 ,其中,边B 为
Bragg波长。

即在一阶Bragg波长 2 nΛ =B处 ,有最大反射率R max tanh 2 (CL ) 。

（2）：λ= B时,由上式可以看出 :耦合系数愈高 ,峰值反射率愈高 ,愈接近于 1 ,反射谱边带的峰值反射率也相应增大。