第六章方差分析(3)
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(xij x )2
xi2j C
i1 j1
i1 j1
A因素平方和
a
SSA b (xi
i 1
x
)2 1 b
a
xi2 C
i 1
B因素平方和
SSB
b
a (x
j 1
j x
)2
1 a
b
x
2 j
C
j 1
误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB
总自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 误差自由度 dfe= dfT - dfA – dfB
dfT ab 1 63 1 17 dfA a 1 6 1 5 dfB b 1 3 1 2 dfe dfT dfA dfe 17 5 2 10
2、列出方差分析表,进行F 检验
表5-19 表5-18资料的方差分析表
变异来源
SS
df
MS
A因素(地块) 1435.1111
26.67** 21.00** 17.00** 11.67*
6.34
20.33** 14.66** 10.66*
5.33
15.00** 9.33*
5.33
9.33*
4.00
5.67
在两因素单个观测值试验情况下,A因素 每一水平的重复数恰为B因素的水平数b,故 A因素的标准误为:
Sxi
MSe b
xa x
b
x i xij j 1
n
x j xij i 1
ab
x xij i1 j1
xi
1 b
b
xij
j 1
x
j
1 a
a i 1
xij
x
1 ab
a i 1
b
xij
j 1
两因素单个观测值试验的数学模型为:
xij i j ij
(i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b)
对于A、B 两个试验因素的全部ab个水平 组合,每个水平组合只有一个观测值,全试验 共有 ab 个观测值,其数据模式如 表5-17 所 示。
A因素
A1 A2
……
Ai
……
Aa
合计x j 平均x j
表5-17两因素单个观测值试验数据模式。
B1
B2
B因素
…… Bj
……
Bb
合计xi
x11
x12
……
x1j
……
3、 多重比较
(1) 不同地块的草莓平均产量比较 ,采用q法(见表5-20)。
表5-20 各地块草莓平均产量多重比较(q法)
地块 A2 A6 A4 A1 A3
平均数 xi
90.67 84.33 79.00 73.67 69.67
xi -64.00 xi -69.67 xi -73.67 xi -79.00 xi -84.33
76.89
这是个两因素单个观测值试验结果。A
因素有 6 个水平,即 a = 6;B 因素有3个水 平, 即b=3;共有a×b=6×3=18个观测值。
1、计算各项平方和与自由度
C x2 13842 106414.2222 ab 6 3
SST
xi2j C
(712 732
1737.7778
=(a-1)(b-1)
【例5-5】 为了研究不同的田间管理 方法对草莓产量的影响, 选择了 6个不同 的地块,每个地块分成 3 个小区,随机安 排3种田间管理方法,所得结果见表5-18, 试作方差分析。
表5-18 各品系草莓不同管理措施的产量(kg/区)
x 地块
田间管理方法(B)
合计
(A) B1(化学控制) B2(集成虫害管理) B3(改良集成虫害管理)
两因素及随机误差的作用 。
因此全部ab 个观测值的总变异可以分解 为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异及试
验误差三部分。
平方和与自由度的分解式如下:
SST SSA SSB SSe dfT dfA dfB dfe
各项平方和与自由度的计算公式为
矫正数
C x2 ab
总平方和
ab
ab
SST
862 852 ) 106414.2222
SSA
1 b
xi2 C
1 (2212 2722 3
1435.1111
2532 ) 106414.2222
SSB
1 a
x2j C
1 (4422 4592 4832 ) 106414.2222 6
141.4444
SSe SST SSA SSB 1737.7778 1435.1111141.4444 161.2223
x1b
x1
x21
x22
……
x2j
……
x2b
x2
…… …… …… …… …… ……
……
xi1
xi2
……
xij
……
xib
xi
…… …… …… …… …… ……
……
xa1
xa2
……
xaj
……
xab
xa
x1
x 2 …… x j …… x b
x
x1
x 2 …… x j …… x b
平均xi
x1 x2
……
xi
……
式中
μ为总平均数;
αi,βj分别为Ai、Bj的效应:
αi=μi-μ,βj=μj-μ
μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数,
且Σαi=0,Σβj=0; εij 为随机误差 ,相互独立 ,且服从
N (0,σ2)。
两因素交叉分组单个观测值的试验资料,
A因素的每个水平有b次重复,B 因素的每个 水平有a次重复,每个观测值同时受到A、B
5 287.0222
B因素(田间管理方法) 141.4444
2
70.7222
误差
161.2223 10
16.1222
总变异 13075.0000 17
F值
17.80** 4.39*
F捡验结果表明: 不同地块和不同田间管理方法对草莓的产量 均有显著或极显著影响,有必要进一步对 A、B 两因素不同水平的平均产量进行多重比较。
16.1222 2.3182 3
i
A1 A2 A3 A4 A5 A6 合计 x j
平均 x j
71 90 59 75 65 82 442 73.67
73 90 70 80 60 86 459 76.50
77 92 80 82 67 85 483 80.50
221 272 209 237 192 253
x =1384
平均 xi
73.67 90.67 69.67 79.00 64.00 84.33
第三节 两因素完全随机设计 试验资料的方差分析
一、两因素交叉分组试验资料的方差分析
设试验考察A、B两个因素 ,A因素分a 个水平,B因素分b个水平。
所谓交叉分组是指A因素每个水平与 B 因素的每个水平都要碰到,两者交叉搭配形 成ab个水平组合即处理,试验因素 A、B在 试验中处于平等地位 。
(一) 两因பைடு நூலகம்单个观测值试验资料的 方差分析