渡轮航行路线的设计by王自伟_何庆明_张兴强

渡轮航行路线的设计

摘 要

我国是世界上的一个多河流国家，为了方便河流两岸人民的出行，渡轮成了交通的一个重要组成部分。本文以我国东部地区某市为例，采用数学分析方法建立了一系列数学模型来规划和设计渡轮的航行路线。

对于问题一，考虑河水流速以及渡轮在静水中的速度在整个航行过程中保持不变，本文以北岸码头为原点、以南北岸码头连线为X 轴、以河流的水流方向为Y 轴建立恰当的直角坐标系，对渡轮航行的路线关于时间建立多元微分方程组，再运用三角函数的几何意义对方程组进行化简，得出了初步的微分方程组模型，并由此建立了模型一。使用MATLAB 编程求解，在得不出解析解的情况下采用4阶Runge-Kutta 算法求解微分方程组的数值解。得出了渡轮的航行路线图（下见图4），以及在X 轴方向、

Y 轴方向上的分位移关于时间的响应曲线（下见图5）。并分析数据后求得在该航行路线下所花费的时间666.7 t s ≈，合11分钟6.7秒。

对于问题二，本文在问题一的基础上适当地改变坐标轴，以及各个码头的坐标；以北岸码头2为原点，以北岸码头2与南岸码头2的连线为X 轴，以沿北岸码头1向北岸码头2方向的射线为Y 轴，建立平面直角坐标系，实则是在模型一的基础上修改微分方程组的初值，化简后得到新的微分方程组模型，并由此建立了模型二。相同地，使用MATLAB 编程，在得不出解析解的情况下采用4阶Runge-Kutta 算法求其的数值解。得出了渡轮的航行路线图（下见图6），以及在X 轴方向、Y 轴方向上的分位移关于时间的响应曲线（下见图7）。分析数据后可知在该路线下所花时间为578.6s ，合10分钟38.6秒。

对于问题三，本文在问题一和问题二的分析基础上，根据实际生活中河水流速不均匀分布的条件限制，先使用MATLAB 拟合出河水流速关于距北岸距离的曲线方程：

()210.0000030.0030210.733095v x x x =-++。并由此修正模型一和模型二的微分方程组，

得出模型三。同时修改微分方程组，并用MATLAB 求数值解。根据求解结果，本文设计渡轮在该情形下的航行路线图（下见图10，图12）。并得出时间分别为735.5s 和608s 。

关键词： MATLAB 微分方程组 Runge-Kutta 算法 数据拟合 小船过河

一、问题重述

某市有一条东西向的河流穿越市区，为方便两岸市民出行，设置了渡轮往返于南北岸间。如图1所示，南岸码头正对着北岸码头，河床宽度大约为1000d =米。请你们通过建立数学模型，解决以下问题：

1、假定河水流速1v ，渡轮在静水中的速度2v ，在整个航行过程中它们保持不变，试设计一条渡轮航行路线，使得按照这条路线行驶从南岸码头出发正好能够到达北岸码头（或者从北岸码头出发正好能够到达南岸码头）。当11/v m s =，22/v m s =，时，画出航行路线图，并计算出按照这条路线行驶所需的渡河时间。

2、为缩短乘客航行时间，决定增设南岸码头和北岸码头各一个，如图2所示。从北岸到南岸的乘客在北岸码头1登船，到南岸码头2下船；而从南岸到北岸的乘客在南岸码头1登船，到北岸码头2下船。如果同一岸的两个码头间距设计为500米，当11/v m s =，22/v m s =，时，画出航行路线图，并计算出按照这条路线行驶所需的渡河时间，与问题1进行比较。

3、下表1中是测出的水流速沿离北岸边距离的分布，在22/v m s =的情况下，重新解决问题1和问题2。

图1 图2

1000m

水流方向 北岸码头 南岸码头

北岸码头2

南岸码头2

1000m

水流方向 北岸码头1 南岸码头1

二、问题分析

根据问题重述，可知这实质上是求曲线轨迹的微分方程问题。

问题一

对于问题一，为了方便我们更加清晰的剖析问题以及解决问题，我们对问题重述的图一做了适当旋转，以北岸码头为原点、以南北岸码头连线为X轴、以河流的水流方向为Y轴建立恰当的直角坐标系。由于船速与水速都是固定值，决定渡轮运动轨迹的只有船头指向。根据生活实际，我们做出合理假设：渡轮在任意时刻的船头始终指向北岸码头。由此得出渡轮运动时任一点的坐标，与其行驶方向同X轴的夹角的三角函数关系。然后通过对渡轮行驶途中的任意一时刻做运动分析，我们很容易就能得到一组任一点的分速度对时间的微分方程组。运用MATLAB编程，便可得到渡轮运行的轨迹方程，并求出行驶时间。

问题二

对于问题二，我们在问题一的基础上做适当的修改，以北岸码头2为原点，以北岸码头2与南岸码头2的连线为X轴，以沿北岸码头1向北岸码头2方向的射线为Y 轴，重新建立平面直角坐标系。然后做和问题一相同的处理：即根据渡轮运动时任一点的坐标，与其行驶方向同X轴的夹角的三角函数关系，以及任意一点分速度关于时间的微分，得出新的微分方程组。相同地，使用MATLAB编程，便可得出渡轮的部分航行路线图，并得出航行时间。

问题三

对于问题三，考虑到实际生活中河水的流速并不是均匀分布的，我们可以先通过问题重述中给出的水流速度的测量数据做二次拟合，得到水速分布的曲线方程。再将得到的曲线方程看做一个整体分别替代问题一，问题二中的水速。然后用前面所述方法列出微分方程。并运用MATLAB编程，并求解分析。便可得出渡轮行驶的路线以及所花费的时间。

三、模型假设

（1）假设不计渡轮本身长度；

（2）假设渡轮速度恒为

v；

2

（3）假设不计算渡轮启动终止时间；

（4）假设渡轮航行过程中畅通无阻；

（5）假设河水流速数据符合某拟合函数；

（6）假设渡轮、河水流速不受风等天气因素影响；

四、符号说明

符号含义

A南岸码头（1）

B北岸码头（1）

C南岸码头2

D北岸码头2

d南北岸的河床宽度

S同一侧的两个码头的距离

x X轴方向

()

x t渡轮在x方向上的位移

()

x t'渡轮在x方向上的速度

y Y轴方向

()

y t渡轮在y方向上的位移

()

y t'渡轮在y方向上的速度