比例系数k的几何意义及应用
直线参数方程t的几何意义44095
1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P 同时改变符号 P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α α sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； x y ,) x
反比例函数比例系数k的几何意义探究教学设计
通过师生互动的形式再次呈现本节课的主要知识。概括是课堂教学的核心，适时的总结利于学生对知识学习的升华。 反比例函数系数k 的几何意义探究 教学任务分析 流程、思路与理念 流程思路 通过简单题目复习回顾反比 例函数的图像和性质，为本 节课的学习做准备。并以最 后一题面积问题，有特殊到 一般引入新课。 分两点位于反比例函数图像 同一支和不同支，及函数在 一、三象限和二、四象限等 不同情况进行分类探究反比 例函数系数的几何意义。 通过两个不同类型的例题 让学生灵活运用反比例函 数的几何意义。 理念 从旧知识到新知识，充分运用已学过 的反比例函数的图像和性质，为本节 课的探究做好准备，并以最后一题面 积的求解引入新课。让学生感受从特 殊到一般的数学思考方法。 让学生通过讨论和探究过程体会反比 例函数系数的几何意义，进一步体 会分类讨论和数形结合的数学思 使学生正确理解反比例函数系数的几 何意义及函数交点的意义，规范学生 的解题步骤，让学生进一步体会数形 结合和转化的思想。 通过技能的训练，巩固反比 例 函数系数的几何意义。 通过分层递进练习，让每个学生都有可 以做的题目，使不同程度的学生通过练 习得到不同程度的发展和提高。体现人 人学不同数学的新课程理念。
教学过程设计
k 探究二.如图,若A,C 为y＝x k（k为常数，k≠ 0）上的 任两点 过A,C 分别作x轴（或y 轴） 的垂线, 垂足分别为B, D , 则AOB 和 COD 的面积相等吗?为什么? k 小结:从反比例函数y＝x（k 为常数，k≠ 0）的图象上任选 x 点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成 的 三角形的面积S＝1 2 xy 三、典型例 题 例一: 已知反比例函数y＝ m－7 m－7的图象的一支位于第一 x 象限．（1）判断该函数 图象的另一支所在的象限，并 求m 的取值范围； （2）如图，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B 与点A 关于x 轴对称，若△ OAB 的面积为6，求m 的值． 例二:如图，反比例函数k y 的图象与一次函数x y mx b 的图象交于两点A(1,3),B(a, 1)． 1）求反比例函数与一次函数的函数关系 式； 2）根据图象，直接回答：当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的 值； （3）连接AO、BO， 求△ ABO 的面积； 教师提问，学生独 立思考，教师引导学生 正确运用反比例函数系 数的几何意义解决问 题。 教师应关注： （1）学生是否直接应 用反比例函数系数的几 何意义解决解答题； （2）学生是否理解函 数交点要同时满足一次 函数和反比例函数的解 析式，并将几何问题转 化为代数问题，从而求 函数解析式；（2）学 生是否灵活运用数形结 合的思想解决问题。 使学生正 确理解反比 例函数系数 的几何意义 及函数交点 的意义，规范 学生的解题 步骤，让学生 进一步体会 数形结合和 转化的思想。
反比例函数k的几何意义
反比例函数k 的几何意义 一、教学目标 1.理解反比例函数y=k/x(k ≠0)中比例系数k 的几何意义； 2.通过由特殊到一般,再由一般到特殊的探究方法,感受知识的形成过程,能够根据反比例函数表达式求出相关图形的面积,会根据图形的面积确定反比例函数中k 的值; 3.通过反比例函数与矩形的对应关系渗透数形结合的思想,使学生感受到代数与几何的内在联系,矩形的两条邻边的长度变化而面积不变,渗透了整体思考的数学思想方法。 二、教学过程 （一）、情境引入 1、平面直角坐标系内一点P （x ，y ）到x 轴的距离为______，到y 轴的距离为______. 2、反比例函数的定义是什么？如何确定系数k 的值？ 3、反比例函数的系数k 能决定函数图像的什么？ 反比例函数的比例系数k 有一个很重要的几何意义，这节课我们来共同研究一下： （二）、探究新知 1、已知反比例函数 x y 2 -=图象上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AB 、AC ，垂足为 B 、 C （如下图所示）， （1）则矩形ABOC 的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由。 （2）则△AOB 的面积呢？ （3）当k=5时呢？ 学生自己先完成，在合作讨论展示，最后老师补充； 2、归纳总结： 过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所 围成的矩形面积为常数 。
过双曲线上任意一点作x 轴（或y 轴）的垂线，连接这点和原点 的线段，它们与x 轴（或y 轴）所围成的三角形的面积为常数21。 在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k 的几何意义，会给解题带来很多方便。现举例说明。 （三）、应用 1、基础练习 （1）若P 点为反比例函数（k ＜0）上任意一点，过P 点向x 轴作垂线交于A 点，已知S△AOP=4，则反比例函数的解析式为__________ （变式）如下图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，菱形面积为8，函数的图象经过点A ，则k 的值是_____． （2）.如下图所示，设A 为反比例函数图象上一点，且长方形ABOC 的面积为3，则这个反比例函数解析式为______． （变式）.如上图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为________. 2、提升练习 （1）、如下图，函数的图象与矩形?OABC 的边AB 、BC 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，B （4，2），那么四边形OMBN 的面积为_________
高中数学-导数的几何意义及应用
高中数学 导数及其应用复习学案 类型一：利用导数研究函数的图像 例2、若函数()y f x =的导函数．．． 在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象 可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是 （ ） B ． C ． 类型二：导数几何意义的应用 例3、（1）求曲线21x y x = -在点()1,1处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 y x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x y O 1 2 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o x o x y o x y o x y
32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________． 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； 例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。 练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间；
高中数学全参数方程知识点大全
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆： 椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。 椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。 椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。 椭圆的参数方程中参数的几何意义： 红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ) 所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。 周长 椭圆周长计算公式：L=T（r+R） T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。 几何关系 点与椭圆 点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1； 点在圆内：x02/a2+y02/b2<1； 点在圆上：x02/a2+y02/b2=1； 点在圆外：x02/a2+y02/b2>1； 跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。
直线与椭圆 y=kx+m① x2/a2+y2/b2=1② 由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切△=0 相离△<0无交点 相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2） 求中点坐标 根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。 |AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2] 手绘法 1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。 2、：连接AC。 3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。 4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。 5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。 6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。
知识点反比例函数意义,比例系数k的几何意义
一、选择题 1.如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个函数的解析式是y=- ． 考点：待定系数法求反比例函数解析式． 专题：待定系数法． 分析：根据图象过（-1，2）可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等． 解答：解：把（-1，2）代入反比例函数关系式得：k=-2， ∴y=- ， 故答案为：y=- ， 点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 2.（2011江苏扬州，6，3分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（） A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） D.（6,1） 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。 专题：函数思想。 分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（﹣1）×6=﹣6的，就在此函数图象上． 解答：解：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数， ∴此函数的比例系数是：（﹣1）×6=﹣6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项； A、（﹣3）×2=6，故本选项正确； B、3×2=6，故本选项错误； C、2×3=6，故本选项错误； D、6×1=6， 故本选项错误； 故选A． 点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 3.（2011重庆江津区，6，4分）已知如图，A是反比例函数 k y x =的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC 的面积是3，则k的值是（） A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6 考点：反比例函数系数k的几何意义。 分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即S＝1 2 |k|． 解答：解：根据题意可知：S△AOB＝1 2 |k|＝3， 又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝6． 故选C． 点评：本题主要考查了反比例函数 k y x =中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角 形面积为1 2 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
K的几何意义
一、 回顾复习 1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质 练习：1、若反比例函数y =（k ≠0）的图象经过点P （﹣2，3） ，则该函数的图象的点是（ ） 2、在反比例函数y x = 的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 3、已知点),1(1y -，),2(2y ，),3(3y 在反比例函数x k y 1 2--=的图像上. 下列结论中正确的是（ ） A ．321y y y >> B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ． 132y y y >> 4、如果A （m ，y 1） 、B(-3，y 2) 是函数2y x =的图象上的点，且y 1 ＞ y 2 则m 的取值范围是 【思考】比较大小的三种常用方法： 、 、 。 二、新课学习 （一）k 的几何意义 1、例1：自学课本21页例3，尝试在练习本上写出解答过程。 2、【思考】反比例函数y ＝k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义： 即过双曲线y ＝ k x (k ≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，设垂足分别为A 、B ， 则所得矩形OAPB 的面积为 ：Rt △OAP 或Rt △OBP 的面积为 。 练习： 1、 如图是反比例函数y ＝ k x 在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC 的面积为2，则k ＝
2、如图，A 、B 两点在双曲线y =上，分别经过A 、B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影=1，则S 1+S 2=（ ） 3、反比例函数y x = 在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （二）拓展与延伸 例2、如图，A 、B 是函数2y x =的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面 积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > 例3、如图，已知双曲线)0k (x k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若 △OBC 的面积为3，则k ＝____________． 练习： 1、如图，双曲线)0(＞k x k y = 经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）（A ）x y 1= （B ）x y 2=（C ） x y 3= （D ）x y 6 = 2、如图，已知在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y =（k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ．若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为 ．
应用反比例函数中k的几何意义解题举例.docx
反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 一般地，如图 1，过双曲线上任一点 A 作 x 轴、 y 轴的垂线 AM 、AN ，，所得矩形 AMON 的 面 积 为 ： S=AM ×AN=|x| ×|y|=|xy|. 又 ∵y= k ， x Y A ∴xy=k. N ∴ S 矩形 AMON =|k|. ∴ S AOM 1 | k | . O M X 2 这就是说，过双曲线上任一点，做 X 轴、 Y 轴的垂线，所 图 1 得矩形的面积为 |k|, 这是系数 k 的几何意义，明确了 k 的几何 意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题： 1、求函数的解析式 例 1 如图 2 所示，在平面直角坐标系中， 一次函数 y kx 1的图象与反比例函数 y 9 x 的图象在第一象限相交于点 A ．过点 A 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点 B 、 C ．如果 四边形 OBAC 是正方形，求一次函数的关系式． 解析 四边形 OBAC 是正方形及反比例函数 9 的图象 C A y x 在第一象限相交于点 A ， 则正方形 OBAC 的面积为： S ＝ xy ＝ 9，所以正方形的边长为 x O B 3，即点 A 的坐标（ 3， 3，）。 图 2 2 将点 A （3， 3，）代入直线得 y= x+1。 3 2.特殊点组成图形的面积 例 2 如图 3，点 A 、 B 是双曲线 y 3 上的点，分别经过 x 垂线段，若 则 ． S 阴影 1， S 1 S 2 解析 由 A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等， ∴ S 1+S 阴影 ＝ S 2+S 阴影 ＝ xy ＝ 3. ∵ S 阴影 1， A 、 B 两点向 x 轴、 y 轴作 y A S 1 B S 2 O x 图 3 ∴ S 1 S 2 2＋ 2＝ 4。 图 4
高中数学 《参数方程的概念》教案 新人教A版选修4-4
参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程
直线的参数方程的几何意义
课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点 分 析 与直线的参数方程有关的典型例题 教 学 过 程 知识要点概述 过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数）， 其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量， 的几何意义是直线上点到M 的距离.此时,若t>0,则 的方向向上;若t<0,则 的方向向下;若t=0,则点与点M 重合. 由此，易得参数t 具有如下 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为 B A t t ,，则 性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t 性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为 2 B A t t +，若0M 是线段A B 的中点，则 0=+B A t t ，反之亦然。
精编例题讲练 一、求直线上点的坐标 例1．一个小虫从P （1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是?3，在y 轴方向的分速度是4，问小虫3s 后的位置Q 。 分析：考虑t 的实际意义，可用直线的参数方程? ?? ? ?x = x 0 +at ，y = y 0 +bt (t 是参数)。 解：由题意知则直线PQ 的方程是? ????x = 1 ? 3 t ， y = 2 + 4 t ，其中时间t 是参数，将t =3s 代入得Q （?8，12）。 例2．求点A （?1，?2）关于直线l ：2x ?3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。 解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ? ?? ??x = ?1 ? 2 13 t ， y = ?2 + 313 t (t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d = 5 13 ， ∴ t = AA ' = 10 13 ， 代入直线的参数方程得A ' (? 3313，413 )。 点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。 二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例1.设直线经过点 (1,5),倾斜角为 , 1)求直线和直线的交点到点的距离; 2)求直线和圆 的两个交点到点 的距离的和与积. 解:直线的参数方程为( t 为参数)
《反比例函数》微专题——比例系数k的几何意义
《反比例函数》微专题 ——比例系数k 的几何意义 姓名： 一、课前热身，提炼模型 1.如图，点P 是双曲线x y 4 =上一点，经过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线段，则阴影部分面积为 。 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，点P 是双曲线x y 4 - =上一点，x PD ⊥轴于点D ，则POD Δ的面积为 。 3.如图，点P 是双曲线x k y = 上一点，x PD ⊥轴于点D ，POD Δ的面积为2，则k 的值为 。 二、探索新知，深化模型 例1.如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作y AB ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，ABP Δ的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。
变式1.如图，已知点A 在双曲线的图象上，x AP ⊥轴于点P ，点Q 为y 轴上的一点，若APQ Δ的面积是3，则反比例函数的解析式为 。 变式2.如图，点A 是双曲线x y 4 - =上一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为 。 三、巩固提高，运用模型 例2.如图，已知四边形OCED 为矩形，点B 为ED 的中点，双曲线x k y =（0>x ）过点B ，交CE 于点A 。若四边形OAEB 的面积为2，则k 的值为 。
变式.如图，反比例函数x k y = （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为 。 四、课堂小结，知识升华 通过本堂课，你有哪些收获或者疑问？
五、中考链接，能力提升 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数 x k y = （k 为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若 BE ：BF=1： m (m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则 1S ：2S =________． （用含m 的代数式表示）
专题训练反比例函数中k的几何意义(含答案)
专题训练(十) 反比例函数中k 的几何意义 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 1．如图，在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y ＝3 x (x ＞0)上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点B ，点A 运动过程中△AOB 的面积将会( ) A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．先增大后减小 D ．不变 2．如图，过反比例函数y ＝2 x (x ＞0)图象上任意两点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，连接OA ，OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得( ) A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1＝S 2 — D ．S 1、S 2的大小关系不能确定 3．(鄂州中考)点A 为双曲线y ＝k x (k ≠0)上一点，B 为x 轴上一点，且△AOB 为等边三角形，△AOB 的边长为2，则k 的值为( ) A ．2 3 B ．±23 D ．±3 4．设P 是函数y ＝2 x 在第一象限的图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点为点P ′，过点P 作PA 平行于y 轴，过点P ′作P ′A 平行于x 轴，PA 与P ′A 交于A 点，则△PAP ′的面积( ) A ．随P 点的变化而变化 B ．等于1 C ．等于2 D ．等于4 % 5．如图，点A 是反比例函数y ＝k x 图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC.若△ABC 的面积为3，则k 的值是( ) A ．3 B ．－3
C ．6 D ．－6 6．(黔西南中考)如图，点A 是反比例函数y ＝k x 图象上的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足点分别为B 、C ，矩形ABOC 的面积为4，则k ＝________． 7．(陕西中考)如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x 轴，y 轴的垂线与反比例函数y ＝4 x 的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为________． 8．~ 9． (临沂中考)如图，反比例函数y ＝4 x 的图象经过直角△OAB 的顶点A ，D 为斜边OA 的中点，则过点D 的反比例函数 的表达式为________． 9．如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1，2)，点B 与点D 在反比例函数y ＝6 x (x ＞0)的图象上，则点C 的坐标为________． 10．(铁岭中考)如图，点P 是正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝k x 在第一象限内的交点，PA ⊥OP 交x 轴于点A ，△POA 的面积为2，则k 的值是________．
椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆的参数方程中参数的几何意义： 红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ) 所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。 周长 椭圆周长计算公式：L=T（r+R） T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。 几何关系 点与椭圆 点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1； 点在圆内：x02/a2+y02/b2<1； 点在圆上：x02/a2+y02/b2=1； 点在圆外：x02/a2+y02/b2>1； 跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。 直线与椭圆 y=kx+m① x2/a2+y2/b2=1② 由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切△=0 相离△<0无交点
相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2） 求中点坐标 根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。 |AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2] 手绘法 1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。 2、：连接AC。 3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。 4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。 5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。 6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。 用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。 此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确。
反比例函数比例系数k的几何意义
反比例函数比例系数k的几何意义 反比例函数y= k/x (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=k/x (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线, 所得矩形面积为│k│ 1、如图，反比例函数4 y x =-的图象与直线 1 3 y x =-的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的 平行线相交于点C，则ABC △的面积为（） A．8 B．6 C 2、如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝ 2 x(x＞0)图象上的一个动点，当点B的纵坐 标逐渐减小时，△OAB的面积将（） A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小 3、如图12，A、B是函数2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥ x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为 S，则（） A．2 S=B．4 S=C．24 S <
反比例函数K的几何意义专题
反比例函数K的几何意义专题 商丘市开发区二中叶会莹 尊敬的各位评委，老师。大家上午好！今天我说课的题目是新人教版义务教育实验教科书八年级下册第十七章《反比例函数中k的几何意义》。 一．教学分析 二．反比例函数知识看似简单，好像就只有定义，图像，性质，但在实际的中考中，它常与图形的面积交汇在一起，是中考的热点之一。本节内容在 这一章中也占据着举足轻重的地位，是一次函数的延续和二次函数的基 础，在初中函数的学习中起着承上启下的作用。 ﹙一﹚、教学目标 1.知识目标； （1）、理解K的几何意义，会由已知条件求函数解析式和简单图形的面积 （2）、熟练掌握反比例函数的图像和性质，灵活运用K的几何意义。 2.能力目标; 在教学过程中引导学生自主探索、思考及想象，经历探索K的几何意义的过程，发展学生分析归纳和概括的能力， 3.情感目标； 通过学习，培养学生积极参与和勇于探索的精神，科学的学习态度，同时通过多媒体演示激发学生学习的兴趣。 ﹙二﹚、教学重点：K的几何意义的探究与运用 教学难点：灵活运用K的几何意义。 ﹙三﹚教学方法：自主探究、合作交流、讲练结合 教学模式问题——探究——总结——应用
﹙四﹚、教学准备：多媒体课件。 二、考点分析： 反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现，常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察。所以，应该引起广大学生的重视。反比例函数中k的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计算大题中进行考察。这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数学图形思维。 本次专题目的在于让学生掌握反比例函数中k的几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数k几何意义的常见考察方式和解题思路。 三、学情分析 反比例函数的图象是学生中学阶段首次遇到的非线性函数的图象，而且反比例函数的图象还是不连续的断开的两支曲线，而学生的认知结构中仅有正比例、一次函数即所谓的线性函数的作图经验，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决问题的能力。 四、授课内容： (一）：反比例函数与矩形面积 这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。这是系数k几何意义,明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便。设计意图：利用多媒体直观展示图形的变化，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。 推广：反比例函数与三角形面积
反比例函数k的几何意义试题汇编
2016年12月07日反比例函数K的几何意义 一．选择题（共30小题） 1．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在 第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（） A．36 B．12 C．6 D．3 2．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S =2，则k的值为（） △AOB A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为（） A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6 4．如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 5．如图，反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面 积为（） A．2 B．4 C．5 D．8 6．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上， 当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 7．如图，P，Q分别是双曲线y=在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分 别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC 的面积为S3，则有（） A．S1=S2≠S3B．S1=S3≠S2C．S2=S3≠S1D．S1=S2=S3
反比例函数k的几何意义专项练习
反比例函数k 的几何意义专项练习 1、如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B （20 ,53 - ），D 是AB 边上的一点.将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式 是 . 2、如图，点P 在反比例函数的图象上，过P 点作PA ⊥x 轴于A 点，作PB ⊥y 轴于B 点，矩形OAPB 的面积为9，则该反比例函数的解析式为 . 3、如图, 如果函数y=－x 与y=x 4 - 的图像交于A 、B 两点, 过点A 作AC 垂直于y 轴, 垂足为点C, 则△BOC 的面积为___________. 4、如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数()1 0y x x =>的图象上，则点E 的坐标是( ) 5、反比例函数x k y = 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为（ ） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4 6、如图，A 、B 是反比例函数y ＝x 2 的图象上的两点．AC 、BD 都垂直于x 轴，垂足分别为C 、D ．AB 的延长线交x 轴于点E ．若C 、D 的坐标分别为(1，0)、(4，0)，则ΔBDE 的面积与ΔACE 的面
积的比值是( )． A ．2 1 B ．4 1 Ｃ．8 1 D ．16 1 7、如图，A 、B 是函数2 y x = 的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > 8、如图，直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 9、如图，双曲线)0(＞k x k y =经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为 A ．x y 1= B ．x y 2 = C ． x y 3= D ．x y 6 = 10、如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是 双曲线3 y x = （0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， OAB △的面积将会 A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小 斜边OB 11、如图，已知双曲线)0k (x k y ＞=经过直角三角形OAB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________． 13、如图，点A 、B 是双曲线3 y x = 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂O B C A x y O A B