第2章--非线性方程求根与二分法

一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
上述算法问题？
适合函数严
格单调情况！
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
改进算法：
(1) x0←a；
(2) 若 f( x0) f( x0+h)<0，则x*必在( x0 , x0+h)中，取 (x0,
x0+h)作为一个有根区间，再转(3);
(3) x0← x0+h，转(2)；对整个区间[a,b]进行扫描
，则
的根。
四、简单迭代法
取
五、牛顿法
在 在x0 做一阶Taylor展开:
六、弦截法
， 在 x0 和 x 之间。 将 看成高阶小量，则有：
（牛顿法迭代公式） 只要 ，每一步迭代都有 ，则 ，而 且 的根。
牛顿法几何表示
从几何的角度来分析一下牛顿公式的直观结构。
方程 的根就是曲线 与 轴的交点。
设
第七章 非线性方程的求根 第二章 非线性方程的求根
求 f (x) = 0 的根
李颖 153844033@qq.com
第二章
非线性方程求根
一、本章解决的问题 二、求根的两个步骤 三、二分法
三、牛顿法 三、弦截法
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
科学计算
求解方程组
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
f(x*)=lim f(ak)= lim f(bk) f(ak)0, f(bk)0,
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
When to stop?
三、二分法
取xk=(ak+bk)/2 ([ak,bk]的中点)，
a
xk 1 xk ε1
或
x1 a
x*
b x2 b
显然有 limxk=x*.
根就可以了。
本章解决的问题：
求 f (x) = 0 的根
f(x)：非线性函数或高次代数方程
若有数x*使f(x*) = 0成立，则称x*为方程f(x) = 0的根(零点)。
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
复习
单根： 重根：
m是正整数，且g(x*)≠0
根：若有数x*使f(x*) = 0成立，则称x*为方程f(x) = 0的根(零点)。
f ( x) x x 1 0
3
三、二分法
例如 考虑方程
解 由于
f ( 0) 0 ,
f ( ) 0
故方程至少有一个正实根。 设从 x=0 出发，取 h=0.5 为步长向右计算，
将各个点上的函数值列于下表：
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
f ( x) x x 1 0
四、简单迭代法
最后来证明
由微分中值定理
五、牛顿法
的收敛性。
六、弦截法
其中
在
与
之间，由条件（2）
应用不等式（3.11），由归纳法可得
因为
即
，所以有
，迭代收敛。
四、简单迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
迭代过程的收敛性

定理：设函数 （1）当 （2） 即对任意 其中 时
满足如下条件
, ，我们称L为李普希斯常数。
精确化，直至满足预先要求的精度为止。
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
如何求有根区间呢？
逐步扫描法
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
逐步扫描法
原理：设f(x)在[a, b]连续，且f(a)f(b)<0。
则由连续函数的性质知：
f(x)=0在(a, b)内至少有一个根。
若f(x)在[a, b]上单调，则f(x)=0在(a, b)上有且仅有一个根。
证明：先证 的存在性。
上 存在，所以 是连续函数 由条件可知，在
令 则 在 上也连续，由条件（1）可得， ， 由连续函数的性质可知，在 使 ，即 上必存在一点
四、简单迭代法
再证其唯一性．
五、牛顿法
六、弦截法
设有
，均满足
即
则由微分中值定理得
即 其中
在
与
之间，所以
，则
又由条件（2），
所以只有
，即
，
唯一。
，是提高迭代数列
的方法 ── 牛顿法。 的一种重要方法，它的最大优点是：
方程在单根附近具有较高的收敛速度，它还可以用于求代数方程的重根、复根；
也可以拓广用于求解非线性方程组的问题。
牛顿法
取 在 x0 做一阶Taylor展开: ， 在 x0 和 x 之 间。 将 看成高阶小量，则有：
（牛顿公式） 只要 ，每一步迭代都有 ，而 且
3
三、二分法
例如 考虑方程
解 由于
f ( 0) 0 ,
f ( ) 0
故方程至少有一个正实根。 设从 x=0 出发，取 h=0.5 为步长向右计算，
将各个点上的函数值列于下表：
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
x f(x)
由于f (1) 0 ,
0 0.5 1.0 1.5 ― ― ― +
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
二分法 计算步骤
步骤1 准备 计算f(x)在有根区间[a,b]端点处的值f(a),f(b) 步骤2 二分 计算f(x)在区间中间 处的值
步骤3 判断 若
否则检验：
则
即是根，计算结果结束
若
则
则
反复执行步骤2和步骤3，直到
，则
一、本章解决的问题
若f(x0) =0, x*=x0 <0,有根区间: [a1,b1]=[x0,b]
a x1 x* x2 b
>0,有根区间: [a1,b1]=[a, x0]
对[a1,b1]对分，如此反复进行，得到一系列有根区 间：
[a, b] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [ak , bk ] bk 1 ak 1 ba bk ak k 0, k 2 2 ak , bk , ak b, bk a, x , s.t. lim ak lim bk x , and f ( x ) 0.
成立
则方程在[a,b]上存在唯一解
, 并且迭代格式收敛,
并有误差估计
例题分析
求方程 在[0，1] 内的一个根 。
解：将方程写成迭代格式 由于 迭代法收敛，任取初值，比如 利用程序进行计算，得到一列近似值。 当k=14时，有 可以看作方程很好的近似根。
迭代法步骤
42
迭代法总结
迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固 定公式－所谓迭代公式反复校正根的近似值，使之逐 步精确化，直至满足精度要求的结果。 迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根的 某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代初值逐步 加工成满足精度要求的根。 迭代法的设计思想是，将隐式方程 归结为计算一组显式公式 ，也就是说， 迭代过程实质上是一个逐步显式化的过程。
为
的一个近似值，过曲线
上横坐标为
的点
，
引一条切线，其方程为
令其为零，得切线
牛顿公式实际上就是用曲线
迭代法的结束条件
四源自文库简单迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
迭代过程的收敛性
• 定理: 设迭代函数 时，有 ，使对任意的 在 上具有连续的一阶导数，且 ； ，有 成立。 。 （1）当 （2）存在正数
则
值
在
上存在唯一的解
，并且对任意选取的初
，迭代过程所产生的迭代数列收敛于
四、简单迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
迭代过程的收敛性证明
而把有根区间再一分为二，再判断根属于哪
个更小的区间，如此周而复始，直到求出满 足精度要求的近似根。
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.
将[a0,b0],对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0),
下面将介绍几种常用的数值解法：
——二分法
——简单迭代法 ——牛顿迭代法 ——弦截法
四、简单迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
1、牛顿法的思想、牛顿迭代公式；
2、牛顿法的收敛性；
3、牛顿法的收敛速度；
3、弦截法思想。
四、简单迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
由前面的讨论可知，选择合适的迭代函数 的收敛速度的关键。 本节介绍一种确定迭代函数 牛顿法是求解方程
f (1.5) 0
2
, 且 f(x)在区间[1，1.5]上满足
f ( x ) 3 x 1 3 1 1 2 0
由此可知在 (1 ， 1.5) 内有且仅有一个实根， 故可取 (1，1.5) 作为有根区间。
下面将介绍几种常用的数值解法：
——二分法
——简单迭代法 ——牛顿迭代法 ——弦截法
x1 ab 2
lnb a ln ε k
ln 2
①简单，总收敛;
② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根
② 收敛慢
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
注： 用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。
或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一个满足 f (ak)· f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区间[a, b]内 的多个根，且不必要求 f (a)· f (b) < 0 。
若f(x)可分解为
f ( x ) ( x x*)
m
g( x )
当m = 1，称x*是单根； 当m > 1，称x*是m重根.
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
m是正整数，且g(x*)≠0
若f(x)可分解为
f ( x ) ( x x*)
m
g( x )
当m = 1，称x*是单根；
——算法和收敛性说明。
f ( x ) ε2
不能保证 x 的 精度
2
x* x
一、本章解决的问题
误差分析
二、求根的两个步骤
三、二分法
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
ba ε k 2
ba |x x*| 第1步产生的 有误差 1 2 ba |x x*| 第 k 步产生的 xk 有误差 k 2k
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
y
y= f(x) x
0
故总假设 (a,b) 上有唯一根
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
逐步扫描算法
(1) x0←a； (2) 若 f( x0) f( x0+h)<0，则x*必在( x0 , x0+h)中，
取 (x0, x0+h)作为有根区间，否则转(3); (3) x0← x0+h，转(2)；
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
1. 二分法的原理
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0， 则 f 在 (a, b) 上必有一根 x*。
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
2. 二分法的实施
将方程根的区间平分为两个小区间，然 后判断根在哪个小区间，舍去无根的区间，
二、求根的两个步骤
三、二分法
上机实验：二分法程序实现
例如 考虑方程
f ( x) x x 1 0
3
下面将介绍几种常用的数值解法：
——二分法
——简单迭代法 ——牛顿迭代法 ——弦截法
四、迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
• 迭代法是数值计算中一种典型的重要方法，尤其是计算机 的普遍使用，使迭代法的应用更为广泛。 • 所谓迭代法就是用某种收敛于所给问题的精确解的极限过 程，来逐步逼近的一种计算方法，从而可以用有限个步骤 算出精确解的具有指定精度的近似解。简单说迭代法是一 种逐步逼近的方法。
当m > 1，称x*是m重根.
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
方程根的几何意义 y
y=f(x) x
0
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
•
(1)确定根的初始近似值(称之为初始近似根)
为一个包含根的区间，称为“有根区间”
，一般
•
(2)根的精确化。根据根的初始近似值按某种方法逐步
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
f ( x) x x 1 0
3
三、二分法
例如 考虑方程
解 由于
f ( 0) 0 ,
f ( ) 0
故方程至少有一个正实根。 设从 x=0 出发，取 h=0.5 为步长向右计算，
将各个点上的函数值列于下表：
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
科学计算
求解方程组
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
科学计算
求解方程组
这些方程 高次代数方程 看似简单， 但难于求 超越方程 其精确解。
x 3x 7 0 x x e cos 0 3
5
一、本章解决的问题
二、求根的两个步骤
三、二分法
实际问题：只要能获得满足已定精确度的近似
四、迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
四、迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
k
0
1 2 3 4
xk
1.5
1.35721 1.33086 1.32588 1.32494
k
5
6 7 8
xk
1.32476
1.32473 1.32472 1.32472
四、迭代法
五、牛顿法
六、弦截法
四、简单迭代法
五、牛顿法
六、弦截法