【最新】版高中全程复习方略配套课件：2.1函数及其表示(数学文人教A版湖南专用)(共63张PPT)

log3x
1 log3x
1 1,
综上可知，其值域为(-∞,-3］∪［1,+∞).
③因为x2-1≥-1，又y=2x在R上为增函数,
∴ y 2x2 1 21 1 .
2
故值域为［ 1,+∞).
2
【反思·感悟】1.由解析式求函数的定义域，其实质就是以函 数解析式有意义为准则，列出不等式(组)，从而求解. 2.f(g(x))的定义域为［a,b］，指的是x的取值范围是［a,b］， 而不是g(x)的取值范围是［a,b］. 3.求函数的值域时，若能画出图象，则用图象观察法求解；若 能判断单调性则用单调性法求解；若能满足用基本不等式的条 件，则用基本不等式求解.
2
2
②当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，此时，f(x)=-x+1，f(-x)=
-(-x)-1=x-1,
∴f(x)-f(-x)＞-1化为-x+1-(x-1)＞-1, 解得x＜ 3，则0＜x≤1.
2
故所求不等式的解集为［-1, )1∪(0,1］.
2
(2)根据图象，设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(x≤1).
【即时应用】 (1)下列四个图象是函数f(x)=x+ x 的图象的是________.
x
(2)若 f ( x 1) x 2 x ，则f(x)的解析式为_______.
【解析】(1)∵
f
x
x x
∴1①, x正＞0确，.
1, x＜0
(2)方法一：令t= x+1，则x=(t-1)2,t≥1，代入原式有
(3)对抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为［a,b］，则复合函数f(g(x))的 定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b］，则f(x)的定义域为 g(x)在x∈［a,b］时的值域. 2.求简单函数值域的方法 (1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法； (5)均值不等式法；(6)换元法.
【解题指南】(1)根据每一段的解析式分类求解，再求其并集.
(2)已知图象形状，求解析式，可用待定系数法.
【规范解答】 (1)选B.①当-1≤x＜0时，0＜-x≤1，此时
f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1,
∴f(x)-f(-x)＞-1化为-2x-2＞-1，
得x＜ 1，则-1≤x＜ . 1
【例1】(1)(2012·大连模拟)求函数f(x)= lg(x2 2x) 的定义
9 x2
域;
(2)已知函数f(2x)的定义域是［-1,1］，求f(x)的定义域；
(3)求下列函数的值域.
①y=x2+2x,x∈［0,3］,②y=log3x+logx3-1, ③ y=2x2 -1.
【解题指南】(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组 求解即可； (2)要明确2x与f(x)中x的含义，从而构建不等式求解; (3)根据解析式的特点，分别选用①图象观察法；②均值不等式 法；③单调性法求值域.
2
(3)①y=(x+1)2-1在［0,3］上的图象如图所示,
由图象知：0≤y≤32+2×3=15, 所以函数y=x2+2x，x∈［0,3］的值域为［0,15］.
②∵
y
log3x
，1定义1域为(0,1)∪(1,+∞)，
log3x
当0＜x＜1时，y 2
(log3x)
(
1) log3x
1
3,
当x＞1时，y 2
“是”或“否”)
①f(x)=x与g(x)= ( x)2
②f(x)=|x|与g(x)= 3 x3
③f(x)=x|x|与
g(x)=
x 2
-x
2
x>0 x<0
④f(x)= x2 1 与g(t)=t+1(t≠1)
x 1
() () () ()
(2)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为_____. (3)设集合 A {x | y x 2} ,集合B={y|y=x2,x∈R},则 A∩B=_________.
∵点(1,1),(0,2)在射线上,
∴
k b
b解得1,
2
k 1 b 2 .
∴左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x≤1);
同理,x≥3时，函数的解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a
＜0)，
∵点(1,1)在抛物线上，∴a+2=1,a=-1,
【即时应用】
(1)已知函数f(x)=
x 1, x x 3,
1 ， x＞1
则
f (f ( 5)) 2
=_______.
x 2, x 1
(2)设f(x)=
x
2
,
1＜x＜2
,
2x, x 2
若f(x)=3，则x=________.
【解析】(1)∵ f (5) 5 3 1 ,
22 2
∴ f (f ( 5)) f (1) 1 1 3 .
【解析】(1)①否，函数f(x)与g(x)的定义域不同； ②否，函数f(x)与g(x)的对应关系不同； ③否，函数f(x)与g(x)的定义域不同； ④是，函数f(x)= x2 =1x+1(x≠1)与g(t)=t+1(t≠1)是同一函
x 1
数. (2)当x取0,1,2,3时，对应的函数y的值依次为0,-1,0,3, 所以其值域为{-1,0,3}.
(3)已知A={x|x-2≥0}={x|x≥2},B={y|y≥0}, ∴A∩B={x|x≥2}. 答案:(1)①否 ②否 ③否 ④是 (2){-1,0,3} (3){x|x≥2}
3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有：_解__析__法___，_列__表__法___和__图__象__法___.
2
22 2
(2)当x≤-1时，-x+2=3，得x=-1，符合要求；
当-1＜x＜2时，x2=3，得x=±3 ，只有 3符合要求；
当x≥2时，2x=3,得x=3 ,不符合要求.
2
综上可知，x=-1或 3.
答案：(1) 3
2
(2)-1或
3
求简单函数的定义域、值域 【方法点睛】1.简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 (组)求解.
∴1≤x≤3时，函数的解析式为y=-x2+4x-2(1≤x≤3),
x 2, x＜1
综上，函数的解析式为 y x2 4x 2,1 x 3.
x 2, x＞3
【反思·感悟】分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域 是各段值域的并集，最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的 值.
求函数值 【方法点睛】求函数值的类型及解法 (1)f(g(x))型：遵循先内后外的原则； (2)分段函数型：根据自变量值所在区间对应求值，不确定时 要分类讨论； (3)已知函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数 求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解； (4)抽象函数型：对于抽象函数求函数值，要用好抽象的函数 关系，适当赋值，从而求得待求函数值.
【规范解答】(1)要使该函数有意义，
需要
x 9
2 2x则＞0有, ：
x2＞0
x＜3＜0或x＜x3＞2，
解得:-3＜x＜0或2＜x＜3,
所以所求函数的定义域为 (-3,0)∪(2,3).
(2)∵f(2x)的定义域为［-1，1］，
即-1≤x≤1,∴ ≤12x≤2，
2
故f(x)的定义域为［ 1,2］.
2.函数的构成要素 函数由_定__义__域__、_值__域___、_对__应__关__系___三个要素构成，对函数 y=f(x),x∈A，其中， (1)定义域:自变量x的_取__值__范__围__A__. (2)值域：函数值的集合{_f_(_x_)_|_x_∈__A_}_.
【即时应用】
(1)判断下列各组函数中，是否是同一函数.(请在括号中填
【例3】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，
且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求
f (f的( 5值)) .
2
【解题指南】求解该题，需知道f(x),f(x+1)满足的关系式，将
f(x+1)用f(x)表示，然后再给x赋值，先求出 f (f ( 5的))值.
2
，f (5再) 求
()
③f:x→2x-1
()
④f:x→2x
()
【解析】(1)①否，因为A中的元素0在B中没有对应元素; ③否，因为A中的元素为负数时在B中没有对应元素; ②④是，满足函数的定义，是从A到B的函数. (2)①不是，当A中的x=0，2，4时在B中没有对应元素； ②不是，当A中的x=4时在B中没有对应元素； ③是，满足映射的定义，是从A到B的映射； ④不是，当A中的x=2时在B中没有对应元素. 答案：(1)①否 ②是 ③否 ④是 (2)①否 ②否 ③是 ④否
②A=R，B=R，f:x→x2;
()
③A=Z, B=R，f:x→ x ； ④A=Z，B=Z，f:x→x2-3.
() ()
(2)设A={0,1,2,4}，B={ 1 ,0,1,2,6,8}，判断下列对应关系
2
是否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”)
①f:x→x3-1
()
②f:x→(x-1)2
x
x x
1 1
(1 x＜0)， (0＜x 1)
则f(x)-f(-x)＞-1的解集为( )
(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(B)［-1, 1 )∪(0,1］
2
(C)(-∞,0)∪(1,+∞)
(D)［-1, 1 ］∪(0,1)
2
(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部 分组成，求函数的解析式.
分段函数及其应用 【方法点睛】确定与应用分段函数的一般步骤 首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计 算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定 时，要分类讨论. 【提醒】分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
【例2】(1)(2012·北京模拟)已知函数
f
1.函数与映射的概念
函数
映射
建立在两个非空_数__集___A 到B上的一种_确__定__的对
建立在两个非空_集__合__A到B 上的一种_确__定__的对应关系f，
定 义
应关系f，其要求：集合 其要求:集合A中的__任__意__一 A中的_任_意___一个_数__x__，
个__元__素__x，在集合B中都有
在集合B中都有_唯__一_确__定__ _唯__一__确__定__的_元__素__y_与之对应
的数_f_(_x_)_和它对应
记 法
y=f(x),x∈A
f:A→B
【即时应用】
(1)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填
“是”或“否”)
①A=R，B={x|x＞0},f:x→|x|;
()
f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
∴f(x)=x2-1(x≥1).
方法二：∵ x 2 x ( x 1)2 1, ∴ f ( x 1) ( x 1)2 1.又 x 1 1, ∴f(x)=x2-1(x≥1).
答案：(1)① (2)f(x)=x2-1(x≥1)
4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因_对__应__关__系__不同而分别用 几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
f
(
3) 2
5 3
f
(
3 2
)
5 3
f
(
1 2
1)
5 3
1 (
1
1 2
)f
(
1 2
)
2
பைடு நூலகம்
2
5f (1) 0, 2
若x=0，则0×f(0+1)=(1+0)f(0)，有f(0)=0,
∴ f (f (5)) f 0 0.
2
【反思·感悟】对于这类给出函数所满足的抽象性质，但又不 知道函数解析式的求值问题，求解时应根据该抽象的函数关系 的结构特征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，从而使 问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的.
第一节 函数及其表示
三年16考 高考指数:★★★ 1.了解构成函数的要素，会求一些函数的定义域和值域,了解 映射的概念； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函 数； 3.了解简单的分段函数，并能简单的应用.
1.函数的概念、定义域及其表示(特别是分段函数)是近几年 高考命题的热点. 2.常和对数、指数函数的性质等相结合考查，有时也会命制 新定义问题. 3.题型主要以选择、填空题为主，属中低档题.
2
【规范解答】若x≠0，则有 f x 1 1取xxf=x，,
x
1 2
则有
f
(
1) 2
f
(
1 2
1)
1 1 2
1
f ( 1) f ( 1) f (1).
2
2
2
2
(∵f(x)是偶函数，∴ f ( 1)由 f此(1得)).
22
f (1 ) 0, 2
于是，f
(
5) 2
f
(
3 2
1)
1
3
3 2