2013届北京市中考数学二轮专题突破复习课件代几综合题
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专题八┃北京中考代几综合题分析与预测
专题八┃ 京考解读
京考解读
考情分析
代数和几何型综合题是指以几何元素为背景构造未知 量或者以代数知识为背景形成几何关系的综合题．涉及知识 以函数与圆、 方程， 函数与三角形、 四边形等相关知识为主， 在方法上把解直角三角形、图形的变换、相似等与代数计算 融合在一起，在能力考查上体现方程与函数的思想、转化思 想、数形结合思想、分类讨论等数学思想方法. 在北京中考试卷中，代几综合题通常出现在后两题，分 值为 7～8 分左右，由 2～3 个小问组成.
专题八┃ 京考解读
(2)由(1)可得点 M 的坐标为(0，6 3)．由 DE∥AB，EM＝MD， 可得 y 轴所在直线是线段 ED 的垂直平分线． ∴点 C 关于直线 DE 的对称点 F 在 y 轴上． ∴ED 与 CF 互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC. ∴四边形 CDFE 为菱形，且点 M 为其对称中心． 作直线 BM.设 BM 与 CD、EF 分别交于点 S、点 T. 可证△FTM≌△CSM. ∴FT＝CS.∵FE＝CD，∴TE＝SD. ∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS. ∴直线 BM 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形． ∵点 B(6，0)，点 M(0，6 3)在直线 y＝kx＋b 上， ∴直线 BM 的解析式为 y＝－ 3x＋6 3.
专题八┃ 京考解读
解决动态几何问题我们需要用运动与变化的眼光去观 察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中 的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关 系或特殊关系；在求有关图形的变量之间关系时，通常建 立函数模型或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量 关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解．
图 Z8－2
专题八┃ 京考解读
[解析] (1)借助△DMC∽△AOC，根据相似三角形的性质 得点 D 的坐标；(2)先说明四边形 CDFE 是菱形，且其对称中 心为对角线的交点 M，则点 B 与这一点的连线即为所求的直 线，再结合全等三角形性质说明即可，由点 B、M 的坐标求得 直线 B M 的解析式。(3)过点 A 作 MB 的垂线，该垂线与 y 轴 的交点即为所求的点 G.再结合由 OB、OM 的长设法求出 ∠BAH.借助三角函数求出点 G 的坐标．
专题八┃ 京考解读 ► 热考三 新定义题型
例 3 [2012· 北京] 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两 点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义： 若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点 P1(x1，y1)与点 P2(x2，y2)的非常距 离为|x1－x2|； 若|x1－x2|<|y1－y2|，则点 P1(x1，y1)与点 P2(x2，y2)的非常距 离为|y1－y2|； 例如：点 P1(1，2)，点 P2(3，5)，因为|1－3|<|2－5|，所以 点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值(点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与 垂直于 x 轴的直线 P2Q 的交点)．
专题八┃ 京考解读
3 (2)①∵C 是直线 y＝ x＋3 上的一个动点， 4 3 ∴设点 C 的坐标为x0， x0＋3， 4 3 8 ∴－x0＝ x0＋2，此时，x0＝－ ， 4 7 8 15 8 ∴点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为 ，此时 C－ ， ； 7 7 7 3 4 3 3 4 8 － ， .－ －x0＝ x0＋3－ ，解得 x0＝－ ， ②E 5 4 5 5 5 5 8 9 则点 C 的坐标为－ ， ，最小值为 1. 5 5
专题八┃ 京考解读
第二种情况：PC 与 MN 在同一条直线上， 如图③.可证 △PQM 为等腰直角三角形． 此时 OP、AQ 的长依次表示为 t、2t 个单位． ∴OQ＝10－2t. ∵F 点在直线 AB 上，∴FQ＝t. ∴MQ＝2t.∴PQ＝MQ＝CQ＝2t. ∴t＋2t＋2t＝10.∴t＝2.
专题八┃ 京考解读 ► 热考二
例2
动点问题
[2009· 北京] 如图 Z8－2，在平面直角坐标系
xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A －6，0 ，
1 6，0，C0，4 3 ，延长 AC 到点 D，使 CD＝ AC，过 B 2 点 D 作 DE∥AB 交 BC 的延长线于点 E. (1) 求 D 点的坐标； (2)作 C 点关于直线 DE 的对称点 F，分别联结 DF、 EF，若过 B 点的直线 y＝kx＋b 将四边形 CDFE 分成周 长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
专题八┃ 京考解读
第三种情况：点 P、Q 重合时， PD、QM 在同一条直线上， 如图④.此时 OP、AQ 的长依次 表示为 t、2t 个单位． 10 ∴t＋2t＝10.∴t＝ . 3 综上，符合题意的 t 值分别为 10 10 ，2， . 7 3
专题八┃ 京考解读
本类题通常先给定函数解析式和几何图形，由几何图 形的性质或解析法确定待定系数所需的条件，求出函数解 析式，然后根据所求的函数关系进行探索研究．探索研究 的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直 角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形 满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等． 当函数与几何图形相结合时，关键是要做好点的坐标 与线段长的互相转化，同时还要考虑分类讨论． 分类讨论是要依据一定的标准，对问题分类、求解， 要特别注意分类原则是不重不漏、最简.
图28－1
专题八┃ 京考解读
m－1 2 5m 解： (1)∵抛物线 y＝－ x ＋ x＋m2－3m＋2 经过原点， 4 4 ∴m2－3m＋2＝0.解得 m1＝1，m2＝2. 由题意知 m≠1，∴m＝2. 1 2 5 ∴抛物线的解析式为 y＝－ x ＋ x. 4 2 1 2 5 ∵点 B(2，n)在抛物线 y＝－ x ＋ x 上， 4 2 ∴n＝4. ∴B 点的坐标为 (2，4).
分值 8分
考点 确定抛物线的解析式、 等腰三角形的性质、分 类讨论 一次函数综合题、函数 图象平移、平行四边形 的性质、圆周角定理、 分类讨论 新定义、一次函数综合 题、圆、最值问题
2011
7分
2012
8分
专题八┃ 京考解读
京考解读与指导
► 热考一 坐标系中的几何问题
例 1 [2012· 北京] 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ m－1 2 5m － x ＋ x＋m2－3m＋2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 4 4 A，点 B(2，n)在这条抛物线上. (1) 求 B 点的坐标； (2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 ED＝PE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当 P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)． ① 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；
专题八┃ 京考解读
图 Z8－3 (1)已知点
1 A－ ，0，B 为 2
y 轴上的一个动点，
①若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件 的点 B 的坐标； ②直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值．
专题八┃ 京考解读
3 (2)已知 C 是直线 y＝ x＋3 上的一个动点， 4 ①如图②， D 的坐标是(0，1)， 点 求点 C 与点 D 的“非 常距离”的最小值及相应的点 C 的坐标； ②如图③，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一 个动点，求点 C 与点 E 的“非常距离”的最小值及相应点 E 和点 C 的坐标．
专题八┃ 京考解读
年份
分值
考点 函数图象的平移、确定一次 函数解析式、二次函数解析 式、相似三角形、等腰直角 三角形的判定及性质 直角坐标系、一次函数、四 边形、相似、最短距离问题
2008～2012 年北京第23 题考点对比
2008
7分
2009
7分Baidu Nhomakorabea
专题八┃ 京考解读
年份 2010 2008～2012年 北京第23题 考点对比
专题八┃ 京考解读
(3)确定 G 点位置的方法： 过 A 点作 AH⊥BM 于点 H. 则 AH 与 y 轴的交点为所求 的 G 点． 由 OB＝6，OM＝6 3， 可得∠OBM＝60°， ∴∠BAH＝30°. 在 Rt△OAG 中， OG＝AO· tan∠BAH＝2 3. ∴G 点的坐标为(0，2 3)(或 G 点的位置为线段 OC 的中点)．
专题八┃ 京考解读
解： (1)①∵B 为 y 轴上的一个动点， ∴设点 B 的坐标为(0，y)． 1 1 ∵－ －0 ＝ ≠2， 2 2 ∴|0－y|＝2， 解得 y＝2 或 y＝－2. ∴点 B 的坐标是(0，2)或(0，－2)． 1 ②点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 . 2
专题八┃ 京考解读
解：(1)∵A(－6，0)，C(0，4 3)， ∴OA＝6，OC＝4 3. 设 DE 与 y 轴交于点 M. 由 DE∥AB 可得△DMC∽△AOC. 1 又 CD＝ AC， 2 MD CM CD 1 ∴ ＝ ＝ ＝ . OA CO CA 2 ∴CM＝2 3，MD＝3.∴OM＝6 3. ∴D 点的坐标为(3，6 3)．
专题八┃ 京考解读
(3)设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y＝kx＋b 与 y 轴的 交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点 在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试 确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间 最短．(要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明)
专题八┃ 京考解读
②依题意作等腰直角三角形 QMN. 设直线 AB 的解析式为 y＝k2x＋b. 由点 A(10，0)，点 B(2，4)，求得直线 AB 的解析式为 1 y＝－ x＋5.当 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别 2 有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD 与 NQ 在同一条直线上，如图②.可 证△DPQ 为等腰直角三角形． 此时 OP、DP、AQ 的长 可依次表示为 t、4t、2t 个单位． ∴PQ＝DP＝4t. 10 ∴t＋4t＋2t＝10.∴t＝ . 7
专题八┃ 京考解读
(2)① 设直线 OB 的解析式为 y＝k1x. 将 B(2，4)代入，得 k1＝2.∴直线 OB 的解析式为 y＝2x. ∵A 点是抛物线与 x 轴的一个交点， 可求得 A 点的坐标为 (10，0). 设 P 点的坐标为 (a，0)，则 E 点的坐标为 (a，2a)． 根据题意作等腰直角三角形 PCD，如图①. 可求得点 C 的坐标为 (3a，2a)． 由 C 点在抛物线上，得 1 5 9 2 11 2 2a＝－ ×(3a) ＋ ×3a.即 a － a＝0. 4 2 4 2 22 22 解得 a1＝ ，a2＝0(舍去)．∴OP＝ . 9 9
专题八┃ 京考解读
② 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每 秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动， 速度为每秒 2 个单位(当 Q 点到达 O 点时停 止运动，P 点也同时停止运动)．过 Q 点作 x 轴的垂线，与 直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FM＝QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧 作等腰直角三角形 QMN(当 Q 点运动时，M 点、N 点也 随之运动)． 若 P 点运动到 t 秒时， 两个等腰直角三角形分别有 一条边恰好落在同一条直线 上，求此刻 t 的值．
专题八┃ 京考解读
分类常见的依据是：一是依概念分类，如判断直角三 角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清谁 与谁可以是对应角；二是依运动变化的图形中的分界点进 行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部 分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等；三是依据 图形间的位置关系，如点在线段上(不与端点重合)、点与 端点重合、点在线段延长线上等．
专题八┃ 京考解读
京考解读
考情分析
代数和几何型综合题是指以几何元素为背景构造未知 量或者以代数知识为背景形成几何关系的综合题．涉及知识 以函数与圆、 方程， 函数与三角形、 四边形等相关知识为主， 在方法上把解直角三角形、图形的变换、相似等与代数计算 融合在一起，在能力考查上体现方程与函数的思想、转化思 想、数形结合思想、分类讨论等数学思想方法. 在北京中考试卷中，代几综合题通常出现在后两题，分 值为 7～8 分左右，由 2～3 个小问组成.
专题八┃ 京考解读
(2)由(1)可得点 M 的坐标为(0，6 3)．由 DE∥AB，EM＝MD， 可得 y 轴所在直线是线段 ED 的垂直平分线． ∴点 C 关于直线 DE 的对称点 F 在 y 轴上． ∴ED 与 CF 互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC. ∴四边形 CDFE 为菱形，且点 M 为其对称中心． 作直线 BM.设 BM 与 CD、EF 分别交于点 S、点 T. 可证△FTM≌△CSM. ∴FT＝CS.∵FE＝CD，∴TE＝SD. ∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS. ∴直线 BM 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形． ∵点 B(6，0)，点 M(0，6 3)在直线 y＝kx＋b 上， ∴直线 BM 的解析式为 y＝－ 3x＋6 3.
专题八┃ 京考解读
解决动态几何问题我们需要用运动与变化的眼光去观 察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中 的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关 系或特殊关系；在求有关图形的变量之间关系时，通常建 立函数模型或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量 关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解．
图 Z8－2
专题八┃ 京考解读
[解析] (1)借助△DMC∽△AOC，根据相似三角形的性质 得点 D 的坐标；(2)先说明四边形 CDFE 是菱形，且其对称中 心为对角线的交点 M，则点 B 与这一点的连线即为所求的直 线，再结合全等三角形性质说明即可，由点 B、M 的坐标求得 直线 B M 的解析式。(3)过点 A 作 MB 的垂线，该垂线与 y 轴 的交点即为所求的点 G.再结合由 OB、OM 的长设法求出 ∠BAH.借助三角函数求出点 G 的坐标．
专题八┃ 京考解读 ► 热考三 新定义题型
例 3 [2012· 北京] 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两 点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义： 若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点 P1(x1，y1)与点 P2(x2，y2)的非常距 离为|x1－x2|； 若|x1－x2|<|y1－y2|，则点 P1(x1，y1)与点 P2(x2，y2)的非常距 离为|y1－y2|； 例如：点 P1(1，2)，点 P2(3，5)，因为|1－3|<|2－5|，所以 点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值(点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与 垂直于 x 轴的直线 P2Q 的交点)．
专题八┃ 京考解读
3 (2)①∵C 是直线 y＝ x＋3 上的一个动点， 4 3 ∴设点 C 的坐标为x0， x0＋3， 4 3 8 ∴－x0＝ x0＋2，此时，x0＝－ ， 4 7 8 15 8 ∴点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为 ，此时 C－ ， ； 7 7 7 3 4 3 3 4 8 － ， .－ －x0＝ x0＋3－ ，解得 x0＝－ ， ②E 5 4 5 5 5 5 8 9 则点 C 的坐标为－ ， ，最小值为 1. 5 5
专题八┃ 京考解读
第二种情况：PC 与 MN 在同一条直线上， 如图③.可证 △PQM 为等腰直角三角形． 此时 OP、AQ 的长依次表示为 t、2t 个单位． ∴OQ＝10－2t. ∵F 点在直线 AB 上，∴FQ＝t. ∴MQ＝2t.∴PQ＝MQ＝CQ＝2t. ∴t＋2t＋2t＝10.∴t＝2.
专题八┃ 京考解读 ► 热考二
例2
动点问题
[2009· 北京] 如图 Z8－2，在平面直角坐标系
xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A －6，0 ，
1 6，0，C0，4 3 ，延长 AC 到点 D，使 CD＝ AC，过 B 2 点 D 作 DE∥AB 交 BC 的延长线于点 E. (1) 求 D 点的坐标； (2)作 C 点关于直线 DE 的对称点 F，分别联结 DF、 EF，若过 B 点的直线 y＝kx＋b 将四边形 CDFE 分成周 长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
专题八┃ 京考解读
第三种情况：点 P、Q 重合时， PD、QM 在同一条直线上， 如图④.此时 OP、AQ 的长依次 表示为 t、2t 个单位． 10 ∴t＋2t＝10.∴t＝ . 3 综上，符合题意的 t 值分别为 10 10 ，2， . 7 3
专题八┃ 京考解读
本类题通常先给定函数解析式和几何图形，由几何图 形的性质或解析法确定待定系数所需的条件，求出函数解 析式，然后根据所求的函数关系进行探索研究．探索研究 的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直 角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形 满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等． 当函数与几何图形相结合时，关键是要做好点的坐标 与线段长的互相转化，同时还要考虑分类讨论． 分类讨论是要依据一定的标准，对问题分类、求解， 要特别注意分类原则是不重不漏、最简.
图28－1
专题八┃ 京考解读
m－1 2 5m 解： (1)∵抛物线 y＝－ x ＋ x＋m2－3m＋2 经过原点， 4 4 ∴m2－3m＋2＝0.解得 m1＝1，m2＝2. 由题意知 m≠1，∴m＝2. 1 2 5 ∴抛物线的解析式为 y＝－ x ＋ x. 4 2 1 2 5 ∵点 B(2，n)在抛物线 y＝－ x ＋ x 上， 4 2 ∴n＝4. ∴B 点的坐标为 (2，4).
分值 8分
考点 确定抛物线的解析式、 等腰三角形的性质、分 类讨论 一次函数综合题、函数 图象平移、平行四边形 的性质、圆周角定理、 分类讨论 新定义、一次函数综合 题、圆、最值问题
2011
7分
2012
8分
专题八┃ 京考解读
京考解读与指导
► 热考一 坐标系中的几何问题
例 1 [2012· 北京] 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ m－1 2 5m － x ＋ x＋m2－3m＋2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 4 4 A，点 B(2，n)在这条抛物线上. (1) 求 B 点的坐标； (2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 ED＝PE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当 P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)． ① 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；
专题八┃ 京考解读
图 Z8－3 (1)已知点
1 A－ ，0，B 为 2
y 轴上的一个动点，
①若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件 的点 B 的坐标； ②直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值．
专题八┃ 京考解读
3 (2)已知 C 是直线 y＝ x＋3 上的一个动点， 4 ①如图②， D 的坐标是(0，1)， 点 求点 C 与点 D 的“非 常距离”的最小值及相应的点 C 的坐标； ②如图③，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一 个动点，求点 C 与点 E 的“非常距离”的最小值及相应点 E 和点 C 的坐标．
专题八┃ 京考解读
年份
分值
考点 函数图象的平移、确定一次 函数解析式、二次函数解析 式、相似三角形、等腰直角 三角形的判定及性质 直角坐标系、一次函数、四 边形、相似、最短距离问题
2008～2012 年北京第23 题考点对比
2008
7分
2009
7分Baidu Nhomakorabea
专题八┃ 京考解读
年份 2010 2008～2012年 北京第23题 考点对比
专题八┃ 京考解读
(3)确定 G 点位置的方法： 过 A 点作 AH⊥BM 于点 H. 则 AH 与 y 轴的交点为所求 的 G 点． 由 OB＝6，OM＝6 3， 可得∠OBM＝60°， ∴∠BAH＝30°. 在 Rt△OAG 中， OG＝AO· tan∠BAH＝2 3. ∴G 点的坐标为(0，2 3)(或 G 点的位置为线段 OC 的中点)．
专题八┃ 京考解读
解： (1)①∵B 为 y 轴上的一个动点， ∴设点 B 的坐标为(0，y)． 1 1 ∵－ －0 ＝ ≠2， 2 2 ∴|0－y|＝2， 解得 y＝2 或 y＝－2. ∴点 B 的坐标是(0，2)或(0，－2)． 1 ②点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 . 2
专题八┃ 京考解读
解：(1)∵A(－6，0)，C(0，4 3)， ∴OA＝6，OC＝4 3. 设 DE 与 y 轴交于点 M. 由 DE∥AB 可得△DMC∽△AOC. 1 又 CD＝ AC， 2 MD CM CD 1 ∴ ＝ ＝ ＝ . OA CO CA 2 ∴CM＝2 3，MD＝3.∴OM＝6 3. ∴D 点的坐标为(3，6 3)．
专题八┃ 京考解读
(3)设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y＝kx＋b 与 y 轴的 交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点 在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试 确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间 最短．(要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明)
专题八┃ 京考解读
②依题意作等腰直角三角形 QMN. 设直线 AB 的解析式为 y＝k2x＋b. 由点 A(10，0)，点 B(2，4)，求得直线 AB 的解析式为 1 y＝－ x＋5.当 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别 2 有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD 与 NQ 在同一条直线上，如图②.可 证△DPQ 为等腰直角三角形． 此时 OP、DP、AQ 的长 可依次表示为 t、4t、2t 个单位． ∴PQ＝DP＝4t. 10 ∴t＋4t＋2t＝10.∴t＝ . 7
专题八┃ 京考解读
(2)① 设直线 OB 的解析式为 y＝k1x. 将 B(2，4)代入，得 k1＝2.∴直线 OB 的解析式为 y＝2x. ∵A 点是抛物线与 x 轴的一个交点， 可求得 A 点的坐标为 (10，0). 设 P 点的坐标为 (a，0)，则 E 点的坐标为 (a，2a)． 根据题意作等腰直角三角形 PCD，如图①. 可求得点 C 的坐标为 (3a，2a)． 由 C 点在抛物线上，得 1 5 9 2 11 2 2a＝－ ×(3a) ＋ ×3a.即 a － a＝0. 4 2 4 2 22 22 解得 a1＝ ，a2＝0(舍去)．∴OP＝ . 9 9
专题八┃ 京考解读
② 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每 秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动， 速度为每秒 2 个单位(当 Q 点到达 O 点时停 止运动，P 点也同时停止运动)．过 Q 点作 x 轴的垂线，与 直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FM＝QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧 作等腰直角三角形 QMN(当 Q 点运动时，M 点、N 点也 随之运动)． 若 P 点运动到 t 秒时， 两个等腰直角三角形分别有 一条边恰好落在同一条直线 上，求此刻 t 的值．
专题八┃ 京考解读
分类常见的依据是：一是依概念分类，如判断直角三 角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清谁 与谁可以是对应角；二是依运动变化的图形中的分界点进 行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部 分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等；三是依据 图形间的位置关系，如点在线段上(不与端点重合)、点与 端点重合、点在线段延长线上等．