高考领航数学理

基 础 知 识 梳 理
聚
焦
考
向
1．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性．
透 析
2．理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求出一些简单的
感 悟
经
典
函数的最大(小)值．
考 题
课 时 规 范 训 练
【知识梳理】
基
础
1．函数的单调性
知 识
梳
理
(1)单调函数的定义
聚
焦
增函数
减函数
考 向
透
析
悟
经
当 x＝4 或－2 时，f(x)为最大 f(4)＝8.
典 考
题
答案：[1,4] 8
课
时
规
范
训
练
5．(教材改编)函数 f(x)＝x2＋x1在[1,2]的最大值和最小值分别是
基 础 知
识
梳
________．
理
聚
解析：f(x)＝2x＋ x＋11－2＝2－x＋2 1在(－∞，－1)，(－1，＋∞)
焦 考 向 透 析
经 典
考
题
∴|x|＞1，∴x＜－1 或 x＞1.
课
时
答案：D
规 范
训
练
基 础 知 识 梳 理
4 ． ( 教 材 改 编 )f(x) ＝ x2 － 2x(x ∈ [ － 2,4]) 的 单 调 增 区 间 为 聚
焦
考
__________；f(x)max＝________.
பைடு நூலகம்
向 透
析
解析：f(x)＝x2－2x，关于 x＝1 对称，开口向上递增区间[1,4]． 感
上为增函数．
感 悟
经
典
fmin＝f(1)＝1，fmax＝f(2)＝43.
考 题
课
时
答案：43 1,
规 范 训 练
基
础
1．函数的单调性是局部性质
知 识
梳
理
函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间 聚
焦
上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上
考 向
透
析
不一定单调．如 y＝x2 在(－∞，＋∞)上不具有单调性 .
聚
焦
A．y＝2x＋1
B．y＝3x2＋1
考 向
透
析
C．y＝2x
D．y＝|x|
感 悟 经
典
解析：由函数单调性定义知选 C.
考 题
课
答案：C
时 规
范
训
练
基
础
知
识
2．(2012·郑州质检)函数 y＝1－x－1 1(
)
梳 理
聚
焦
A．在(－1，＋∞)上单调递增
考 向
透
析
B．在(－1，＋∞)上单调递减
感
悟
C．在(1，＋∞)上单调递增
焦
间为( )
考 向
透
析
A．(－1,0)
B．(－∞，－1)
感
悟
C．(－∞，0)
D．(－1，＋∞)
经 典 考
题
(2)已知函数 f(x)＝ax＋xx－＋21(a＞1)，
课 时 规
范
训
证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
练
基 础 知 识 梳 理
聚
焦
【审题视点】 (1)去掉绝对值，化简函数，结合 y＝2x 的单调性
感
悟
2．f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数 f(x)的单调递增区间为[a，
经 典
考
题
b]的含义不同．
课
时
3．函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单
规 范
训
练
调区间，必须先求出函数的定义域．
基
础
知
识
梳
理
4．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有 聚
焦
多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个
感
悟
定 义
区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说 f(x1)＞f(x2)，那么就说函数 f(x)
函数 f(x)在区间 D 上是
在区间 D 上是减函数
经 典 考 题
课 时 规 范 训 练
经 典
考
题
D．在(1，＋∞)上单调递减
课
时
答案：C
规 范
训
练
基
础
3．已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f(|x|)＜f(1)的实数 x
知 识
梳
理
的取值范围是( )
聚
焦
A．(－1,1)
B．(0,1)
考 向
透
析
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
感
悟
解析：∵f(x)为 R 上的减函数，且 f(|x|)＜f(1)，
时
，
2x≥
1 2
，
f(x)
＝
2x
－
|2x
－
1|
＝
焦 考 向 透
析
2x＋1－1，－1≤x≤0 |1，x＞0
，易知 f(x)在(－1,0)上是增函数．结合各选项
感 悟 经 典 考
题
知，选 B.
课
时
规
范
训
练
(2)任取 x1，x2∈(－1，＋∞)，
不妨设 x1＜x2，则 x2－x1＞0，ax2－x1＞1 且 ax1＞0，
焦 考
向
(1)对于任意 x∈I，都 (1) 对于任意 x∈I，都有
透 析
条件 有 f(x)≤M ；(2)存在 x0 f(x0)＝M ；(2)存在 x0∈I，
感 悟 经
典
∈I，使得 f(x)≥M
使得 f(x0)＝M
考 题
课
结论
M 为最大值
M 为最小值
时 规
范
训
练
基
础
【基础自测】
知 识
梳
理
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
增函数
基 础 知 识 梳 理
聚
焦
考
向
(2)单调性、单调区间的定义
透 析
若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ，则称函数 f(x)在
感 悟
经
这一区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做 f(x)的单调区间．
典 考 题
课 时 规 范 训 练
基
础
知
识
2．函数的最值
梳 理
聚
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
考 向
透
判断．
析
感
悟
(2)利用单调性定义证明．
经 典
考
题
课 时 规 范 训 练
【解析】 (1)当|2x－1|＞2x，即 2x－1＜－2x，x＜－1 时，2x＜12
基 础 知
识
梳
＜1，则 f(x)＝|2x－1|－2x＝1－2x＋1 在(－∞，－1)上是减函数；当|2x 理
聚
－ 1|≤2x ， 即
x≥ － 1
课 时 规
范
考 向
透
析
“或”联结．如函数 y＝1x的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)是错
感 悟 经
典
误的．
考 题
课 时 规 范 训 练
基 础 知 识 梳 理
聚 焦 考 向 透 析
感 悟 经 典 考 题
课 时 规 范 训 练
基
础
考向一 确定函数的单调性或单调区间
知 识
梳
理
(1)(2013·山西高考训练)函数 f(x)＝||2x－1|－2x|的单调递减区 聚
基
础
∴ax2－ax1＝ax1(xx2－x1－1)＞0，
知 识
梳
又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，
理
聚
∴
x2－2 x2＋1
－
x1－2 x1＋1
＝
x2－2x1＋1－x1－2x2＋1 x1＋1x2＋1
＝
焦 考 向 透 析
x13＋x12－xx2＋1 1＞0，
感 悟 经 典 考
题
于是 f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋xx22－ ＋21－xx11－ ＋21＞0，