9-5弯扭组合变形

上两式只适用于弯、扭组合变形下的圆截面杆。
扭转和弯曲组合变形
弯拉扭组合
危险截面－截面A
危 险 点－ a
a M N M
W a T T T Wp 2W
FN A
应力状态－单向＋纯剪切
强度条件（塑性材料）
2 r3 M N 4 T [ ] 2 2 r4 M N 3 T [ ] 2
扭转与弯曲
研究对象：圆截面杆 受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。 变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。 研究内容：杆件发生扭转和弯曲组合变形时的强度计算。
l
S
FP
a
S平面
y
1
4
z
2
3
x
y
1
FQy
1 4
z
4 Mz
x
2 3
Mx
3
P
一、 内力分析 设一直径为 d 的等直圆杆 AB ,
A
L
B
B 端具有与 AB 成直角的刚臂。
二、 应力分析
C1
A截面

C1

危险截面上的最大弯曲正应力
发生在铅垂直径的上、下
两端点 C1 、C2 处（图e示）。
C3
C4
C3

T
C4

C2

C2
最大扭转剪应力 发生在截面 (e) 周边上的各点处（图 f示）。
(f)
危险点为 C1 和 C2
对于许用拉、压应力相等
的塑性材料制成的杆,这 两点的危险程度是相同的。 可取任一点C1 来研究。
20KN.m
32
1 2 2 r3 T M 157.26 [ ] W
-
10-23 直径d=40mm的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分 量为N=100KN，Mx=0.5KN.m，My=0.3KN.m。已知此轴的许 用应力[]=150MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。
z
Mx
A截面是危险截面 最大弯曲正应力为 拉伸正应力为
σM σN MA 230 MPa W N 13 MPa A
T Wt
σ max σ M σ N 243MPa
最大扭转剪应力为
τ max
31MPa
σ r 4 σ 3τ 249 MPa σ
2 2
150
84
Py '
Py '
D
Py '
Py '
(xy平面弯曲）
Py
Px Mo
C
Mz
A B
Mo Pz '
PZ '
{
PZ ' (xz平面弯曲）
M0 = 0.391 (扭转）
Pz
Py
Px Mo
C
Mz
A B
Mo Pz '
Py '
D
z
y
x
Pz
Py
Py ' Mz
产生 xy 平面内的弯曲变形。（z为中性轴） 产生 xz 平面内的弯曲变形。（y为中性轴) 产生扭转变形
例 图示钢制实心圆轴，其齿轮C上作用铅直切向力5KN， 径向力1.82KN；齿轮D上作用有水平切向力10KN，径向力 3.64KN。齿轮C的直径dC=400mm，齿轮D的直径dD=200mm。 圆轴的容许应力 100 MPa。试按第四强度理论求轴的直径 。
解（一）外力分析
例3图
将各力向圆轴的 截面形心简化， 画出受力简图。
（三）按第四强度理论求轴所需直径
r4
1 W
M 2 0.75T 2
可得：
d 3
32 W M 2 0.75T 2

解出：d=5.19mm
补充题 1，传动机构如图所示。齿轮C,D的直径分别为
dC=172mm,dD=54mm,轴的直径d=40mm。传动机构上
作用的力 Px 16.5KN ， P y 0.414KN ， Pz 4.55KN 。 σ 300 MPa ' 14 . 49 KN ， ， P z ， P y ' 5.25KN 试按第四强度理论校核轴的强度。
是由扭转变形引起
2 对于圆形截面杆有
πd W t 2W 16
2
3
弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
T M σ r3 ( ) 4( ) W Wt T M σ r 4 ( ) 3( ) W Wt
2 2
2
M T W
2
2
2 2 M 0.75T W
式中W为杆的抗弯截面系数。 M、T分别为危险截面的弯矩和扭矩。
Py
C
Pz
y x B z D
Px
A
将力向轴简化
40
Pz '
150
Py
84
P y （xy平面弯曲）
Py '
Py
Px
Pz
Px Mo
C
Mz
A B
D
{
Px （拉伸）
MZ = 1.42 (xy平面弯曲）
Pz
{
Pz
(xz平面弯曲 )
M0 = 0.391 (扭转）
Py
C
Pz
y x B z D
Px
A
40
Pz '
受力简图
（二）内力分析 画出内力图如图 从内力图分析，B截面 为危险截面。B截面上 的内力为：
T
0.364KN· m
Tn 1KN m 扭矩： M
C
A 0.567KN· m D
M z 0.364 KN m 弯矩： M y 1KN m
总弯矩为：
T
2 MB Mz M2 y 1.06 KN m
( a)
研究AB杆的内力。
将力 P 向 AB 杆右端截面的 P 形心B简化得 横向力 力偶矩 P （引起平面弯曲） m = Pa （引起扭转）
(b)
A
m
B
AB杆为弯扭组合变形
P
A
横向力
P （引起平面弯曲） m = Pa （引起扭转）
m
B
力偶矩
画内力图确定危险截面
PL
㈠
M图
固定端为危险截面
㈠
Pa
T图
强度合适。
补充题：空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构。受力如图。 AB杆的外径D=140mm，内，外径之比d/D=0.8，材料的 许用应力[]=160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的强度。
0.8m
10KN D
A 15KN
B
C
解：将力向B截面 形心简化得
0.8m
10KN
D
P=25KN
A 15KN
B
m 15 1.4 10 0.6 15KN.m
AB为扭转和平面
C
P
A m B
弯曲的组合变形。
P=25KN
P
A m B
m 15 1.4 10 0.6 15KN.m
画扭矩图和弯矩图 固定端截面为危险截面 T=15KN.m
15KN.m
+
M max 20KN.m
3 D W (1 4)
C1


(g)

C1 点处于平面应力状态
三、强度分析
C1
1、主应力计算
1 1 2 4 3 2 2 2 0
2、 相当应力计算

2

(g)

第三强度理论,计算相当力
σ r 3 σ1 σ 3 σ 2 4τ 2
第四强度理论,计算相当应力
C1



r 4 2 3 2
My Wy
由Mx引起最大剪应力为
最大正应力为
Mx
Wt
1 2
z
Mx Wt
My
Mx
y
A
N
x
1 2
由第四强度条件
r 4 2 3 2 [ ]
Pz
Pz ' Mo
Px
产生拉伸变形
1.436
Py
Py '
1.42
Mz
z
y
x
Mz
A
B
0.441
Pz
A B
Pz '
My
0.182
1.217
Px
A
B
Px
M0
T
16.5
N
M0 A
B
0.391
MA MB
2 2 M Ay M Az 1.436 0.182 1.447
2 2 2 2 M By M Bz 0.441 1.217 1.294

(g)
3、 强 度计算
r
1
σ r 3 σ1 σ 3 σ 2 4τ 2
C1


r 4 2 3 2
该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。
可以是由弯曲，拉（压）或弯曲与拉（压）组合变形引起。
My
y
N
x
N产生轴向拉伸
My产生xz平面弯曲 Mx产生扭转 A点为危险点
源自文库Mx
z
My
y
A
N
x
由N引起拉伸正应力为
N 1 A
由My引起最大弯曲正应力为 由Mx引起最大剪应力为
My 2 Wy
Mx
Wt
由N引起拉伸正应力为
z
Mx
My
N 1 A
由My引起最大弯曲正应力为
y
A
N
x
2