工程力学弯扭组合

x
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4. 选用强度理论，进行强度计算 塑性材料：第三或第四强度理论
F a b A l
3 Me
第三强度理论：
B
σr3
2 2 σM 4 τT
M 2 T 2 ( ) 4( ) M W 2W
O
㊀
1 M 2 T 2 [σ ] W 1 即： σr3 M 2 T 2 [σ ] W
Ft
My 图
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作 M 图： 作扭矩图： 由内力图可知，轴的危险 截面为齿轮处C截面。 3. 确定轴的直径 d 由第四强度理论： Mz图 My 图
194090.5N· mm 66384N· mm 182385N· mm
16
M 2 T 2 32 M 2 T 2 σ r4 [σ ] 3 W πd 2 2 32 M T ∴ d 3 π[σ ]
F'z
x
Fy D2 Fz D1 M2 1kN m 将Fz，F'y向轴线平移，得附加力偶：M1 2 2
Fy，F'y：使轴产生绕 z 轴弯曲； Fz，F'z：使轴产生绕 y 轴弯曲； M1，M2：使轴AC段产生扭转。
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2. 内力分析 由M1、M2，作 T 图： M1 由Fy 、F'y，作 Mz图： 由Fz 、F'z，作 My图： y M
㊀
x F2
㊉
FN –Fl O T O
第四强度理论：
2 σr4 (σM σ N )2 3 τ T [σ ]
Me
㊉
x x
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7 例2 图示钢制传动轴AB，由电动机带动。已知电动机通过联轴 器作用的扭力偶矩为M1=1kN· m，皮带紧边与松边的拉力分 别为FN、F'N ，FN=2F'N，轴承间的距离 l= 200mm，带轮直 径D= 300mm，材料的许用应力[s ]=160MPa。 试按第四强度理论确定轴AB的直径。
a b A M O
5 Me B
F2
l
㊀
x F2
㊉
M FN σ σM σN W A
Me
㊉
x x
O
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5. 选用强度理论，进行强度计算 塑性材料： 第三或第四强度理论 第三强度理论： M O a b A
F1
6 Me B
F2
l
σr3 σ
2
2 4 τT
2 [σ ] ( σ M σ N )2 4 τ T 2 即：σr3 (σM σ N )2 4 τ T [σ ]
一、圆轴弯扭组合强度计算 弯扭组合：在载荷作用下杆件同时存在弯曲和扭转变形。
1
如： 图示圆轴，受F、Me作用，产生弯扭组合变形。
分析计算过程： 1. 外力分析 圆轴受力：F、Me F：弯曲；Me：扭转 A M O T
㊉
F
Me
l B
2. 内力分析
作内力图：M图，T图 可知：固定端为危险截面： |M|max=Fl T = Me
0.227kN· m
x
0.612kN· m
x
3. 强度校核 危险截面为B截面：
Fy M1
Fz T O
M
A
y
F'y
M2
B C
13
D
M 1.064kN m T 1kN m
由第四强度理论：
2 1 σr4 M 0.75 T 2 W
z
F'z
㊉
x
1kN· m
1.064kN· m 0.612kN· m
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 Baidu Nhomakorabea 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
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例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
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㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 Me
sM
a
l
B
sM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
㊀
x Me
sM
–Fl
tT tT
O 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。
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C 100
F2y C
D
y M2 x F2z z
z
M1 A B
150 200
D
100
2. 内力分析 作 T 图： 作 Mz 图： 作 My 图： 作 M 图： 3. 强度校核 危险截面为B截面： T
F1 M1 A B
150 200
F2y C D
100
y
M2
18 x
F2z
120N· m
第四强度理论：
x Me
㊉
–Fl
T O
x
σr4
2 2 σM 3 τT
1 M 2 0.75 T 2 [σ ] W
以上结论也适用于空心圆轴。
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二、圆轴弯拉(压)扭组合强度计算
4
弯拉(压)扭组合：杆件同时存在弯曲、拉伸(压缩)和扭转变形。
如： 图示圆轴，受F1、F2、Me作用，产生弯拉扭组合变形。 F1 分析计算过程： Me 1. 外力分析 F2 B 圆轴受力： F1、F2、Me A l F1：弯曲；F2：拉伸；Me：扭转 M 2. 内力分析 O ㊀ x 作内力图：M图， FN图，T图 FN –Fl F2 可知：固定端为危险截面：
将F1，F2向轴线 平移，分解：
F2y：使轴产生绕z轴弯曲； x B 200
A F1，F2z：使轴产生绕y轴弯曲； 150 M1，M2：使轴BD段产生扭转。 F1 M1=0.2F1=120N· m
M1=0.2F1=120N· m = M2 F2z =M2 /0.3=400N F2y = F2z tan10º =70.5N
32 1940.9 664.7 π 100 106 = 0.0593 m = 59.3 mm T图 圆整，取： d = 60 mm 3
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2
2
M图
664669 N· mm
17 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
x
0.438 101 m 43.8mm 圆整，取： d = 44 mm
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例3 图示钢制传动轴，Fy= 3.64kN，Fz= 10kN，F'y= 5kN， 10 F'z=1.82kN，D1= 0.2m， D2= 0.4m，轴直径d= 52mm，材料 的许用应力[s ]=100 MPa。
My
Fy
A
y M2
B
F'y
C
12
D
x
Fz T
z
F'z
1kN· m
㊉ 0.568kN· m
z
Mz
O Mz O
㊀
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O 2 2 M My Mz M 作 M 图： M 弯曲应力： σmax W O 上海应用技术学院
试按第四强度理论校核轴的强度。
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
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Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
|M|max=F1l T = Me
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FN=F2
O T O
㊉
Me
㊉
x x
3. 应力分析 a点为危险点： 取单元体：
F1
s
a
s
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T
tT tT M FN σ σM σ N W A T T τT Wp 2W
2
2
M
71.3N· m
40N· m 40.6N· m
x
x
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解： 计算简图： 1. 外力分析
约束力： FBy = FDy = Fr/2= 737.6 N FBz = FDz = Ft/2= 2026.5 N 2. 内力分析 作垂直面弯矩图： 作水平面弯矩图： FBz FDz
182385N· mm
15
Fr
FBy
Mz图
66384N· mm
FDy
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8
y M1
A C
F M2
E B
x
z
解：1. 外力分析
由 SMx=0
) M1 ( FN FN D 2
得：F'N= 6.67kN FN= 13.33kN
将FN，F'N向轴线平移： F = F'N+FN= 20.1kN M2=1kN· m 为弯扭组合。
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2. 内力分析 作 T 图： 作M 图： 危险截面为E 截面： T 1kN m M 1kN m 3. 确定轴的直径 d
z x
O Mz O My O
71.25N· m 7.05N· m
M 71.3N m T 120N m
由第三强度理论：
32 M T 2 σr3 πD 3 (1 α 4 )
2
x
O 89.2MPa [σ ] ∴ 轴满足强度要求。 上海应用技术学院
32 71.3 120 π 0.033 (1 0.84 )
y
F M2
E
9
M1
A C
B
x
T O
z
1kN· m
由第四强度理论：
M 0.75 T 32 M 0.75 T σr4 [σ ] 3 W πd
2 2 2 2
x
1kN· m
M O
6 6 2 2 32 1 10 0.75 1 10 32 M 0.75 T ∴ d 3 3 π[σ ] π 160 106