工程力学弯扭组合
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弯扭组合变形 PPT
P=25KN
m 151.4 10 0.6 15KN.m
AB为扭转和平面 弯曲的组合变形。
0.8m
10KN
D
A
B
15KN
C
P
A
m
B
P=25KN m 151.4 10 0.6
15KN.m
画扭矩图和弯矩图
固定端截面为危险截面
T=15KN.m
Mmax 20KN.m
W D3 (1 4)
32
C1
r4 2 3 2
该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。
可以是由弯曲，拉（压）或弯曲与拉（压）组合变形引起。
是由扭转变形引起
2 对于圆形截面杆有
Wt
2W
π d3 16
弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
r3
(M
2
)
4(
T
r3
(
M
2
)
4(
T
2
)
1
W
Wt W
T 2 M 2 157.26 [ ]
P
A
m
B
15KN.m
+
20KN.m
-
例题2 直径d=40mm的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分 量为N=100KN，Mx=0.5KN.m，My=0.3KN.m。已知此轴的许 用应力[]=150MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。
2
)
W Wt
M 2T2
W
σr4
(
M
2
)
3
(
T
2
)
W
Wt
M2 0.75T2 W
m 151.4 10 0.6 15KN.m
AB为扭转和平面 弯曲的组合变形。
0.8m
10KN
D
A
B
15KN
C
P
A
m
B
P=25KN m 151.4 10 0.6
15KN.m
画扭矩图和弯矩图
固定端截面为危险截面
T=15KN.m
Mmax 20KN.m
W D3 (1 4)
32
C1
r4 2 3 2
该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。
可以是由弯曲，拉（压）或弯曲与拉（压）组合变形引起。
是由扭转变形引起
2 对于圆形截面杆有
Wt
2W
π d3 16
弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
r3
(M
2
)
4(
T
r3
(
M
2
)
4(
T
2
)
1
W
Wt W
T 2 M 2 157.26 [ ]
P
A
m
B
15KN.m
+
20KN.m
-
例题2 直径d=40mm的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分 量为N=100KN，Mx=0.5KN.m，My=0.3KN.m。已知此轴的许 用应力[]=150MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。
2
)
W Wt
M 2T2
W
σr4
(
M
2
)
3
(
T
2
)
W
Wt
M2 0.75T2 W
工程力学弯扭组合精选全文
为弯扭组合。
上海应用技术学院
2. 内力分析 作 T 图： 作M 图：
危险截面为E 截面：
M 1kN m T 1kN m
3. 确定轴的直径 d
M1
A
z T
y
F
M2
E C
1kN·m
9
x
B
由第四强度理论：
O
x
σr4
M
M 2 0.75T 2 32 W
M 2 0.75T 2 πd 3
[σ]
O
1kN·m
用应力[s ]=100 MPa。
试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
上海应用技术学院
解： 计算简图： 1. 外力分析 约束力： FBy = FDy = Fr/2= 737.6 N FBz = FDz = Ft/2= 2026.5 N 2. 内力分析 作垂直面弯矩图： 作水平面弯矩图：
上海应用技术学院
径D= 300mm，材料的许用应力[s ]=160MPa。
试按第四强度理论确定轴AB的直径。
上海应用技术学院
8
y
F
M1
M2
A
E
C
z
x
B
解：1. 外力分析
由 SMx=0
M1
(FN
FN
)
D 2
得：F'N= 6.67kN FN= 13.33kN
将FN，F'N向轴线平移： F = F'N+FN= 20.1kN M2=1kN·m
M1
A
B
150
200
F2y = F2z tan10º=70.5N
上海应用技术学院
C 100 D z
F2y y M2
实验6--弯扭组合
➢ 实验试件及装置
材料力学实验
中碳钢空心圆轴试件的主要参数：
横截面设计尺寸： 外径： D 42mm
内径： d 36 mm
图一 弯扭组合实验装置
形成扭矩的力臂：l1 200 mm 形成弯矩的力臂：l2 240 mm
材料弹性常数： E 210GPa
0.28 材料屈服极限： s 360MPa
BUAA
➢ 实验原理与方法
材料力学实验
（一）测定平面应力状态下一点处的主应力大小及主平面的 方位角 弯扭组合承载状况下某一截面处上下两点微体的应力状态：
x
x
x
x
图二 上表面微体的应力状态
图三 下表面微体的应力状态
平面应变状态应变分析公式：
x
y
2
x
y
2
cos 2 xy
2
sin 2
BUAA
应变花的种类及其选取原则 本实验选取0°,±45° 三向应变花,从而可得：
x 00 y 450 450 00 xy 450 450
将此结果代入上面的计算公式整理后可得:
BUAA
材料力学实验
1 E 450 450
2
21
2E
21
tg2 0
450
材料力学实验
如的果应我变们：沿着1三, 个不2，,同然方后3向把贴它上们三代片入应上变面片的并应用变应分变析仪公测式出就其可各以自得 到一个三元一次方程组，从而解得 、 、 x 。 y xy
*注意：应变片方向的选取不能有两片在同一条直线上 平面应变的主应变及其方位角计算公式：
1 x y
2
2
x
y
2
2
xy
2
2
tg0
材料力学实验
中碳钢空心圆轴试件的主要参数：
横截面设计尺寸： 外径： D 42mm
内径： d 36 mm
图一 弯扭组合实验装置
形成扭矩的力臂：l1 200 mm 形成弯矩的力臂：l2 240 mm
材料弹性常数： E 210GPa
0.28 材料屈服极限： s 360MPa
BUAA
➢ 实验原理与方法
材料力学实验
（一）测定平面应力状态下一点处的主应力大小及主平面的 方位角 弯扭组合承载状况下某一截面处上下两点微体的应力状态：
x
x
x
x
图二 上表面微体的应力状态
图三 下表面微体的应力状态
平面应变状态应变分析公式：
x
y
2
x
y
2
cos 2 xy
2
sin 2
BUAA
应变花的种类及其选取原则 本实验选取0°,±45° 三向应变花,从而可得：
x 00 y 450 450 00 xy 450 450
将此结果代入上面的计算公式整理后可得:
BUAA
材料力学实验
1 E 450 450
2
21
2E
21
tg2 0
450
材料力学实验
如的果应我变们：沿着1三, 个不2，,同然方后3向把贴它上们三代片入应上变面片的并应用变应分变析仪公测式出就其可各以自得 到一个三元一次方程组，从而解得 、 、 x 。 y xy
*注意：应变片方向的选取不能有两片在同一条直线上 平面应变的主应变及其方位角计算公式：
1 x y
2
2
x
y
2
2
xy
2
2
tg0
工程力学第15章组合变形
32(1.0103)20.75(1.0103)2
M 20.010.21kNm 3 160106
max
2 2 r4M2W0.75T232M2d30.75T2
d3
32
M2 0.75T2
由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处 ⑶ 确定AB 轴的直径 所以AB 轴的直径d = 44mm 。
例：图所示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1 上作用有径
tmax
Mymax Wy
Mzmax Wz
F2l bh2 /
6
2F1l hb2 /6
90118605201109/618029082001019/6 cmax(MWymyaxMWzmzax)9.98MPa
例：图所示一矩形截面悬臂梁，截面宽度b = 90mm ，高度h = 180mm ， 两在两个不同的截面处分别承受水平力F1和铅垂力F2。已知F1 = 800N ， F2 = 1650N ，l = 1m ，求梁内的最大正应力并指出其作用位置。
FN
N
FN A
F S y F S z （对实心截面引起切应力很小，忽略）
M y Mz
M
My Iy
z
Mz Iz
y
T
T
IP
1
1(
2
242)
3
1(
2
242)
强度条件
弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强 度条件。分析危险截面A A
3
T 410 A W
20MPa 20103 (10103)2(8103)2
6
W 20010 85104 100106
P
强度校核 由内力图及强度公式可判断危险截面距B 端2m 处， 计算危险点在横截面的应力值 所以AB 段强度满足要求。
第十七讲： 第十章组合变形-弯扭组合
xz yz
xx
xy
yx
y y
2 1
应力状态的概念
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零
单向应力状态：两个主应力为零
3
2
1
三、二向应力状态分析
1.斜截面上的应力
x a
y
yx xy
x
y
x αa
n
a
xy
dA
yx
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
二向应力状态分析
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
x αa
n
a
xy
x
t yx
y
正应力：拉为正；反之为负
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
二向应力状态分析
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
2 xy
2
x y
2
二向应力状态分析的图解法
2.应力圆的画法
y y
yx
D xy x
A x
D/
(y ,yx)
R
(
x
y
)2
弯扭组合变形-cb(1).
三、组合变形的分析方法——叠加法 前提条件：弹性范围内工作的小变形杆。
叠加原理：几种（几个）荷载共同作用下的应力、变形等于每种 （每个）荷载单独作用之和（矢量和、代数和）。
四、组合变形计算的总思路 1、分解——将外力分组，使每组产生一种形式的基本变形。 2、计算——计算每种基本变形的应力、变形。
3、叠加——将基本变形的计算结果叠加起来。
b
z
F
Fx F cos
Fx
x
Fy F sin
h
y
L
α x k z Fy
2、任意横截面任意点的“σ ”
FN ( x) Fx F cos （1）内力：
F
M z ( x) Fy x F sin x
k
FN
（2）应力：
kM
z
FN ( x) A M z ( x) yk Iz
基本变形杆件横截面上的应力
拉（压）杆横截面的正应力
N A
基本变形杆件横截面上的应力
圆轴横截面上的剪应力
T Ip
基本变形杆件横截面上的应力
梁横截面上的正应力
MZ y IZ
组合变形分别计算：利用基本变形的应力计算公式， 分别计算各点处的正应力和剪应力。 梁横截面上 内各点处的 正应力 拉（压）杆横截 面上内各点处的 应力均匀分布 圆轴横截面 上内各点处 的剪应力
z y
P2
P1
Ax
O
l
l
My P2 l Mz x 2P1l x
应力最大的点在何处？
z B1 y
z y
P2
P1
Ax
My
O x
z y
l
l
B2 Mz
叠加原理：几种（几个）荷载共同作用下的应力、变形等于每种 （每个）荷载单独作用之和（矢量和、代数和）。
四、组合变形计算的总思路 1、分解——将外力分组，使每组产生一种形式的基本变形。 2、计算——计算每种基本变形的应力、变形。
3、叠加——将基本变形的计算结果叠加起来。
b
z
F
Fx F cos
Fx
x
Fy F sin
h
y
L
α x k z Fy
2、任意横截面任意点的“σ ”
FN ( x) Fx F cos （1）内力：
F
M z ( x) Fy x F sin x
k
FN
（2）应力：
kM
z
FN ( x) A M z ( x) yk Iz
基本变形杆件横截面上的应力
拉（压）杆横截面的正应力
N A
基本变形杆件横截面上的应力
圆轴横截面上的剪应力
T Ip
基本变形杆件横截面上的应力
梁横截面上的正应力
MZ y IZ
组合变形分别计算：利用基本变形的应力计算公式， 分别计算各点处的正应力和剪应力。 梁横截面上 内各点处的 正应力 拉（压）杆横截 面上内各点处的 应力均匀分布 圆轴横截面 上内各点处 的剪应力
z y
P2
P1
Ax
O
l
l
My P2 l Mz x 2P1l x
应力最大的点在何处？
z B1 y
z y
P2
P1
Ax
My
O x
z y
l
l
B2 Mz
弯扭组合变形
37.5 5.35 x
作业：8-12 8-16
[σ]=180MPa, 用第三强度理论校核
F2 y
解： F2 z
M e1
=
F1y D1 2
= 95.8 N·m
轴的强度。 y
x B
A
z
Me2
=
F2 y D2 2
= 95.8 N·m
F1 y
M1e
F M 2e 2 y B
F1 z
C
F2 z
E
T/kN
95.8
x
T = 95.8 N·m
x
Mc =
M
2 z
+
M
2 y
=
152.32 + 37.52 =156.8 N·m
(M E =113N·m)
M 2 + T 2 32 156.82 + 95.82
r3 =
W
=
×223
Mz/N· m
=175.8 MPa＜[ ] =180 MPa ∴此轴安全。
MyN·m
F1 y F2 y
152.3 112.9 x
F1z F2 z
=
M Amax W
≤ [σ]
σmt ax
= σe
=
M Amax W
≤ [σt ]
D3
W= 32
σmc ax
= σd
=
M Amax W
≤ [σc ]
例6. 梁表面A、B两点的纵向正应变为εA=2.1×10－4,
εB=3.2×10－4，l 试求b载荷Fl=及40其0m方m位，角b=β2。0mE=m2，00hG=P5a0。mm。
r4 = 2 + 3 2 =
作业：8-12 8-16
[σ]=180MPa, 用第三强度理论校核
F2 y
解： F2 z
M e1
=
F1y D1 2
= 95.8 N·m
轴的强度。 y
x B
A
z
Me2
=
F2 y D2 2
= 95.8 N·m
F1 y
M1e
F M 2e 2 y B
F1 z
C
F2 z
E
T/kN
95.8
x
T = 95.8 N·m
x
Mc =
M
2 z
+
M
2 y
=
152.32 + 37.52 =156.8 N·m
(M E =113N·m)
M 2 + T 2 32 156.82 + 95.82
r3 =
W
=
×223
Mz/N· m
=175.8 MPa＜[ ] =180 MPa ∴此轴安全。
MyN·m
F1 y F2 y
152.3 112.9 x
F1z F2 z
=
M Amax W
≤ [σ]
σmt ax
= σe
=
M Amax W
≤ [σt ]
D3
W= 32
σmc ax
= σd
=
M Amax W
≤ [σc ]
例6. 梁表面A、B两点的纵向正应变为εA=2.1×10－4,
εB=3.2×10－4，l 试求b载荷Fl=及40其0m方m位，角b=β2。0mE=m2，00hG=P5a0。mm。
r4 = 2 + 3 2 =
第五章 弯扭组合变形
A截面危险！
危险截面的内力
FN 16.5kN T 391N m M 1447N m
危险点的应力状态及应力计算
W
tn L
W
M W
32 d3
230M Pa
L
4 FN d2
13MPa
tN
16T d3
强度校核
eq4 23t2 WL23tN2 230132331.12 249MPa
eq4
齿轮轴安全
PCY
M Z kN m 1.756
k N m 2.532
MY
MD
D
PDY
PD
Z
0.538
1 .0 2 6
2.844
M kN m 3.08
3 .0 2
Bx
Y B Z B 画内力图
x 找危险截面
C面危险！
x 危险截面内力
x T0.538kN m
M3.08kN m
x
3.设计直径
eq3W 1 M 2T2
PY PZ Px
A
z
C
40
150
y
B PZD 84
x D PYD
思考：由于伞齿轮上 轴向力的出现，该齿 轮轴的受力具有什么 特点？齿轮轴将发生 什么组合变形形式？
？
PY PZ Px
A C 40
PY PZ C Px A MCX
外力简化
y
x
zB
D
PZD PYD
150
84
MDX XB B PZD D
PYD
t1
MD R1
30581302 1.79kN
t2
MC R2
20581303 2.69kN
Z A 6 .3 3 k N Y B 1 .7 1k N Z B 4 .7 4 k N
危险截面的内力
FN 16.5kN T 391N m M 1447N m
危险点的应力状态及应力计算
W
tn L
W
M W
32 d3
230M Pa
L
4 FN d2
13MPa
tN
16T d3
强度校核
eq4 23t2 WL23tN2 230132331.12 249MPa
eq4
齿轮轴安全
PCY
M Z kN m 1.756
k N m 2.532
MY
MD
D
PDY
PD
Z
0.538
1 .0 2 6
2.844
M kN m 3.08
3 .0 2
Bx
Y B Z B 画内力图
x 找危险截面
C面危险！
x 危险截面内力
x T0.538kN m
M3.08kN m
x
3.设计直径
eq3W 1 M 2T2
PY PZ Px
A
z
C
40
150
y
B PZD 84
x D PYD
思考：由于伞齿轮上 轴向力的出现，该齿 轮轴的受力具有什么 特点？齿轮轴将发生 什么组合变形形式？
？
PY PZ Px
A C 40
PY PZ C Px A MCX
外力简化
y
x
zB
D
PZD PYD
150
84
MDX XB B PZD D
PYD
t1
MD R1
30581302 1.79kN
t2
MC R2
20581303 2.69kN
Z A 6 .3 3 k N Y B 1 .7 1k N Z B 4 .7 4 k N
工程力学-弯扭组合
M
∴
d 3
32 M T π[σ ]
2
图
664669 N· mm
3
32 1940.9 664.7 π 100 10
6
2
= 0.0593 m = 59.3 mm T图 圆整，取： d = 60 mm
上海应用技术学院
18 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
㊉
|M|max=F1l T = Me
上海应用技术学院
FN=F2
O T O
㊉
Me
x x
3. 应力分析 a点为危险点： 取单元体：
F1
s
a
s
tT tT
σ σM σ N
τT T Wp T 2W
a b A M O
6 Me B
F2
l
M W
FN A
㊀
x F2
㊉
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T M FN σ σM σN O W A
M
Fy
A
y M2
B
F'y
C D
13 x
Fz T
z
1kN· m
㊉
F'z
My
z
Mz
O Mz O
㊀
0.568kN· m
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O
∴
d 3
32 M T π[σ ]
2
图
664669 N· mm
3
32 1940.9 664.7 π 100 10
6
2
= 0.0593 m = 59.3 mm T图 圆整，取： d = 60 mm
上海应用技术学院
18 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
㊉
|M|max=F1l T = Me
上海应用技术学院
FN=F2
O T O
㊉
Me
x x
3. 应力分析 a点为危险点： 取单元体：
F1
s
a
s
tT tT
σ σM σ N
τT T Wp T 2W
a b A M O
6 Me B
F2
l
M W
FN A
㊀
x F2
㊉
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T M FN σ σM σN O W A
M
Fy
A
y M2
B
F'y
C D
13 x
Fz T
z
1kN· m
㊉
F'z
My
z
Mz
O Mz O
㊀
0.568kN· m
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O
实验力学 弯扭组合
第 1 页 共 1 页
一．实验装置： 1.弯扭组合梁为一空心薄壁园轴，材料为 45 号钢，其弹性常数为：E=206GPa，μ =0.3， 横截面尺寸，外经 D=25mm，内径 d=21mm。其一端固定，另一端装一固定加力臂端，轴与 力臂端的轴线相互垂直， 并且在同一水平面内。 离悬臂端加载点的垂直距离 135mm 处 I-I 截面为被测位置，如图 1(a)。在此处园轴表面的前后、上下（图 1(a)）所示的 A 被测位 置上，每处粘贴一枚三轴直角应变花，如图 5-1 所示。
（ 1-10）
第 4 页 共 4 页
仪 器 和 方 法
4.A 截面的的扭矩和弯矩理论值：
M F L
T F S
数据处理：
第 5 页 共 5 页
第 6 页 共 6 页
第 2 页 共 2 页
根据平面应力状态下的应变研究结果，由下式算出主应变 Δ 、 Δ 和主平面方 向 的实测值。
1 45 45 2 2 2 （ 45 0） （ 0 45） 3 2 2
（ 1-1 ）
再用平面应力状态下的广义虎克定律求出 A 点处的主应力 和 的实测值。第 3 页 共 3 页
（3）仪器准备 选择好静态电阻应变仪的通道， 将测点应变片的连接导线 测量桥路分别接到应变仪
通道 A、B 点，温度补偿片连接 B、C 点。A 点的 - 450 片接 1 通道、0º片接 2 通道、 450 片接 3 通道。 （4）打开电子计算机电源，打开 DH3818 静态应变测试仪电源。 （5）进行实验由于实验所用通道较少，则用手动操作 DH3818 静态应变测试采集数据。 打开 DH3818 静态应变测试仪电源。进行平衡，加一个法码后改换各个不同通道从而记录 数据。共加三个法码记录数据后，卸下全部法码。平衡两次后再加载反复做三次。
弯扭组合变形
试按第四强度理论校核轴的强度。
工程实例
Py
Pz
Px
CA
B
D
y
x z
将力向轴简化
40
Py Px Mo
Mz
A
C
Pz
Pz '
P y P y （xy平面弯曲）
150
84
Py'
{Px Px （拉伸） MZ = 1.42 (xy平面弯曲）
B
D
{Pz Pz (xz平面弯曲 ) M0 = 0.391 (扭转）
Py
Mz
x
轴力 ＦＮ= 100KN（拉）；
弯矩 My=5 KN.m ; Mz=10 KN.m
合成弯矩
M My 2M z2 120521.1 2KNm
扭矩 Ｔ=5 KN.m
（4）危险截面上危险点处应力计算 采用哪一组公式计算相 当应力？
FN M 127MPa
A Wz
T Wt
5103
0.13
25.5MPa
Pz
练习3：直角拐的直径为ｄ，杆长为AB＝BC＝L＝ 10ｄ，承受的均布载荷为ｑ＝2.5πKN/m，集中力P ＝qL，构件的许用应力为[σ]＝160MPａ，设计AB 段的直径ｄ。
A
B
q
PC
小结
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆件
的应力和强度计算 3、了解平面应力状态应力分析的主要结论 4、掌握弯拉扭组合变形情况下的强度计算
强度条件（塑性材料）
r 3 M N 2 4T 2 [] r 4 M N 2 3T 2 []
例题1：空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构。受力如图。 AB杆的外径D=140mm，内，外径之比d/D=0.8，材料的 许用应力[]=160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的强度。
工程实例
Py
Pz
Px
CA
B
D
y
x z
将力向轴简化
40
Py Px Mo
Mz
A
C
Pz
Pz '
P y P y （xy平面弯曲）
150
84
Py'
{Px Px （拉伸） MZ = 1.42 (xy平面弯曲）
B
D
{Pz Pz (xz平面弯曲 ) M0 = 0.391 (扭转）
Py
Mz
x
轴力 ＦＮ= 100KN（拉）；
弯矩 My=5 KN.m ; Mz=10 KN.m
合成弯矩
M My 2M z2 120521.1 2KNm
扭矩 Ｔ=5 KN.m
（4）危险截面上危险点处应力计算 采用哪一组公式计算相 当应力？
FN M 127MPa
A Wz
T Wt
5103
0.13
25.5MPa
Pz
练习3：直角拐的直径为ｄ，杆长为AB＝BC＝L＝ 10ｄ，承受的均布载荷为ｑ＝2.5πKN/m，集中力P ＝qL，构件的许用应力为[σ]＝160MPａ，设计AB 段的直径ｄ。
A
B
q
PC
小结
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆件
的应力和强度计算 3、了解平面应力状态应力分析的主要结论 4、掌握弯拉扭组合变形情况下的强度计算
强度条件（塑性材料）
r 3 M N 2 4T 2 [] r 4 M N 2 3T 2 []
例题1：空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构。受力如图。 AB杆的外径D=140mm，内，外径之比d/D=0.8，材料的 许用应力[]=160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的强度。
工程力学-弯曲与扭转的组合变形
洛 阳 职 业 技 术 学 院
洛 阳 职 业 技 术 学 院
第五单元 组合变形的强度计算
模块二 弯曲与扭转的组合变形
洛 阳 职 业 技 术 学 院
一、弯曲与扭转的组合变 形简介
构件在工作时机受弯曲的作用也受扭转的作用，这 样的情况我们称为弯曲和扭转组合变形，简称弯扭组合 变形。
洛 阳 职 业 技 术 学 院
z F2
M M
F F1 F2
F1
2）内力分析
在xy平面上弯曲变形的内力---弯矩
FL 9 103 800 M zc 1.8 106 Nm m 4 4
y 400 400 x MZ
FAy
1.8kN· m
FBy
x
扭转变形的内力---扭矩
T M 0.6KNm 0.6 106 Nmm
D 2
T M
T M
XY平面上弯曲的外力及内力
M EZ
Fr L Fr 2a Fa 4 4 2
ZY平面上弯曲的外力及内力
B Z MY MEY
E
C
X
Ft
X
M EY Ft L Ft 2a Ft a 4 4 2
求E点合弯矩M
ME M
2 EZ
M
2 EY
Fr a 2 Ft a 2 ( ) ( ) 2 2
3）强度校核
求出圆轴的WZ
WZ
d3
32
Hale Waihona Puke 21205 .8m m3
由第三强度理论
M2 T2 （ 1.8 2 0.6 2 ） 10 6 89.5 MPa [ ] 120 MPa W 21205 .8
洛 阳 职 业 技 术 学 院
第五单元 组合变形的强度计算
模块二 弯曲与扭转的组合变形
洛 阳 职 业 技 术 学 院
一、弯曲与扭转的组合变 形简介
构件在工作时机受弯曲的作用也受扭转的作用，这 样的情况我们称为弯曲和扭转组合变形，简称弯扭组合 变形。
洛 阳 职 业 技 术 学 院
z F2
M M
F F1 F2
F1
2）内力分析
在xy平面上弯曲变形的内力---弯矩
FL 9 103 800 M zc 1.8 106 Nm m 4 4
y 400 400 x MZ
FAy
1.8kN· m
FBy
x
扭转变形的内力---扭矩
T M 0.6KNm 0.6 106 Nmm
D 2
T M
T M
XY平面上弯曲的外力及内力
M EZ
Fr L Fr 2a Fa 4 4 2
ZY平面上弯曲的外力及内力
B Z MY MEY
E
C
X
Ft
X
M EY Ft L Ft 2a Ft a 4 4 2
求E点合弯矩M
ME M
2 EZ
M
2 EY
Fr a 2 Ft a 2 ( ) ( ) 2 2
3）强度校核
求出圆轴的WZ
WZ
d3
32
Hale Waihona Puke 21205 .8m m3
由第三强度理论
M2 T2 （ 1.8 2 0.6 2 ） 10 6 89.5 MPa [ ] 120 MPa W 21205 .8
第二十五讲弯扭组合变形
sr3
M2 max
Tmax2
Wz
M2 B
TB 2
d 3 /32
(0.2P)2 (0.18P)2 0.033 /32
80 106
P 788N
§9.3 弯曲与扭转组合变形的强度计算
例3: 电动机带动传动轴AB，如图所示。在跨中央有一重量为Q=3kN,直径为
D=0.6m的胶带轮，胶带紧边拉力FT=6kN,忪边拉力Ft=3kN。若轴材料许用应
P
二、变形特点
轴线发生弯曲，纵向 线发生倾斜，各横截面绕 轴线发生相对转动。
m
1、纵向对称面内的横 向力-----平面弯曲
三、强度计算
2、横截面内的力偶矩的 作用-----扭转变形
3、在横截面内，产生横 力FS、弯矩M，扭矩T
Mechanic of Materials
§8.4 扭转与弯曲的组合
1、分析内力分布， 确定危险截面；
32.8103 m 32.8mm
讨论：
T
z
Mz
T
M
Myy x
M
（中性轴）
M
危险点 在哪？
sr3
M 2 T 2 s
Wz
D2
sM Wz
sr4
M 2 0.75T 2 s
Wz
tT
Wt
拉伸（压缩）＋弯曲
拉伸（压缩）
FN
M
s
s
弯
曲 M s
弯曲＋扭转
扭转 T t
单向应力状态
s max s
150
危险截面： 固定端
M z Pl 150N m
T Pa 110N m
4 、此杆为圆轴弯扭组合，选
Mz
工程力学弯扭组合
W
M
W
T
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m
300N.m 1400N
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
d 3
32
M2 T2
式中W 为抗弯截面系数，M、T 为轴危险面的
弯矩和扭矩
W d 3
32
W D3 1 4 32
例 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300N.m。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合力 F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ〕=100MPa。试按第三强 度理论设计轴的直径d。
14.4 扭转与弯曲
一般的传动轴通常发生扭转与弯曲的组合变形。 由于传动轴大都是圆截面的，所以本节以圆截面为例， 讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算。
设一直径为d的等直圆 杆AB，A端固定，B端具有 与AB成直角的刚臂，并承受 铅垂力F作用，如图所示。 将F向B截面的形心简化，如 图（b)所示。
300N.m 1400N
300N.m
1155000N 200
解：（1）受力分析，作 计算简图
F2R Me
F2
Me R
300 0.2
1500N
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
（2）作内力图
M
W
T
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m
300N.m 1400N
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
d 3
32
M2 T2
式中W 为抗弯截面系数，M、T 为轴危险面的
弯矩和扭矩
W d 3
32
W D3 1 4 32
例 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300N.m。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合力 F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ〕=100MPa。试按第三强 度理论设计轴的直径d。
14.4 扭转与弯曲
一般的传动轴通常发生扭转与弯曲的组合变形。 由于传动轴大都是圆截面的，所以本节以圆截面为例， 讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算。
设一直径为d的等直圆 杆AB，A端固定，B端具有 与AB成直角的刚臂，并承受 铅垂力F作用，如图所示。 将F向B截面的形心简化，如 图（b)所示。
300N.m 1400N
300N.m
1155000N 200
解：（1）受力分析，作 计算简图
F2R Me
F2
Me R
300 0.2
1500N
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
（2）作内力图
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试按第四强度理论校核轴的强度。
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
上海应用技术学院
Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
上海应用技术学院
例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
上海应用技术学院
㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
㊀
x Me
sM
–Fl
tT tT
O 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。
一、圆轴弯扭组合强度计算 弯扭组合：在载荷作用下杆件同时存在弯曲和扭转变形。
1
如： 图示圆轴，受F、Me作用，产生弯扭组合变形。
分析计算过程： 1. 外力分析 圆轴受力：F、Me F：弯曲；Me：扭转 A M O T
㊉
F
Me
l B
2. 内力分析
作内力图：M图，T图 可知：固定端为危险截面： |M|max=Fl T = Me
x
0.438 101 m 43.8mm 圆整，取： d = 44 mm
上海应用技术学院
例3 图示钢制传动轴，Fy= 3.64kN，Fz= 10kN，F'y= 5kN， 10 F'z=1.82kN，D1= 0.2m， D2= 0.4m，轴直径d= 52mm，材料 的许用应力[s ]=100 MPa。
|M|max=F1l T = Me
上海应用技术学院
FN=F2
O T O
㊉
Me
㊉
x x
3. 应力分析 a点为危险点： 取单元体：
F1
s
a
s
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T
tT tT M FN σ σM σ N W A T T τT Wp 2W
F'z
x
Fy D2 Fz D1 M2 1kN m 将Fz，F'y向轴线平移，得附加力偶：M1 2 2
Fy，F'y：使轴产生绕 z 轴弯曲； Fz，F'z：使轴产生绕 y 轴弯曲； M1，M2：使轴AC段产生扭转。
上海应用技术学院
2. 内力分析 由M1、M2，作 T 图： M1 由Fy 、F'y，作 Mz图： 由Fz 、F'z，作 My图： y M
z x
O Mz O My O
71.25N· m 7.05N· m
M 71.3N m T 120N m
由第三强度理论：
32 M T 2 σr3 πD 3 (1 α 4 )
2
x
O 89.2MPa [σ ] ∴ 轴满足强度要求。 上海应用技术学院
32 71.3 120 π 0.033 (1 0.84 )
y
F M2
E
9
M1
A C
B
x
T O
z
1kN· m
由第四强度理论：
M 0.75 T 32 M 0.75 T σr4 [σ ] 3 W πd
2 2 2 2
x
1kN· m
M O
6 6 2 2 32 1 10 0.75 1 10 32 M 0.75 T ∴ d 3 3 π[σ ] π 160 106
上海应用技术学院
C 100
F2y C
D
y M2 x F2z z
z
M1 A B
150 200
D
100
2. 内力分析 作 T 图： 作 Mz 图： 作 My 图： 作 M 图： 3. 强度校核 危险截面为B截面： T
F1 M1 A B
150 200
F2y C D
100
y
M2
18 x
F2z
120N· m
x
上海应用技术学院
4. 选用强度理论，进行强度计算 塑性材料：第三或第四强度理论
F a b A l
3 Me
第三强度理论：
B
σr3
2 2 σM 4 τT
M 2 T 2 ( ) 4( ) M W 2W
O
㊀
1 M 2 T 2 [σ ] W 1 即： σr3 M 2 T 2 [σ ] W
上海应用技术学院
8
y M1
A C
F M2
E B
x
z
解：1. 外力分析
由 SMx=0
) M1 ( FN FN D 2
得：F'N= 6.67kN FN= 13.33kN
将FN，F'N向轴线平移： F = F'N+FN= 20.1kN M2=1kN· m 为弯扭组合。
上海应用技术学院
2. 内力分析 作 T 图： 作M 图： 危险截面为E 截面： T 1kN m M 1kN m 3. 确定轴的直径 d
将F1，F2向轴线 平移，分解：
F2y：使轴产生绕z轴弯曲； x B 200
A F1，F2z：使轴产生绕y轴弯曲； 150 M1，M2：使轴BD段产生扭转。 F1 M1=0.2F1=120N· m
M1=0.2F1=120N· m = M2 F2z =M2 /0.3=400N F2y = F2z tan10º =70.5N
第四强度理论：
x Me
㊉
–Fl
T O
x
σr4
2 2 σM 3 τT
1 M 2 0.75 T 2 [σ ] W
以上结论也适用于空心圆轴。
上海应用技术学院
二、圆轴弯拉(压)扭组合强度计算
4
弯拉(压)扭组合：杆件同时存在弯曲、拉伸(压缩)和扭转变形。
如： 图示圆轴，受F1、F2、Me作用，产生弯拉扭组合变形。 F1 分析计算过程： Me 1. 外力分析 F2 B 圆轴受力： F1、F2、Me A l F1：弯曲；F2：拉伸；Me：扭转 M 2. 内力分析 O ㊀ x 作内力图：M图， FN图，T图 FN –Fl F2 可知：固定端为危险截面：
My
Fy
A
y M2
B
F'y
C
12
D
x
Fz T
z
F'z
1kN· m
㊉ 0.568kN· m
z
Mz
O Mz O
㊀
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O 2 2 M My Mz M 作 M 图： M 弯曲应力： σmax W O 上海应用技术学院
Ft
My 图
上海应用技术学院
作 M 图： 作扭矩图： 由内力图可知，轴的危险 截面为齿轮处C截面。 3. 确定轴的直径 d 由第四强度理论： Mz图 My 图
194090.5N· mm 66384N· mm 182385N· mm
16
M 2 T 2 32 M 2 T 2 σ r4 [σ ] 3 W πd 2 2 32 M T ∴ d 3 π[σ ]
32 1940.9 664.7 π 100 106 = 0.0593 m = 59.3 mm T图 圆整，取： d = 60 mm 3
上海应用技术学院
2
2
M图
664669 N· mm
17 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
2
2
M
71.3N· m
40N· m 40.6N· m
x
x
0.227kN· m
x
0.612kN· m
x
3. 强度校核 危险截面为B截面：
Fy M1
Fz T O
M
A
y
F'y
M2
B C
13
D
M 1.064kN m T 1kN m
由第四强度理论：
2 1 σr4 M 0.75 T 2 W
z
F'z
㊉
x
1kN· m
1.064kN· m 0.612kN· m
a b A M O
5 Me B
F2
l
㊀
x F2
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
上海应用技术学院
Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
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例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
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㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
㊀
x Me
sM
–Fl
tT tT
O 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。
一、圆轴弯扭组合强度计算 弯扭组合：在载荷作用下杆件同时存在弯曲和扭转变形。
1
如： 图示圆轴，受F、Me作用，产生弯扭组合变形。
分析计算过程： 1. 外力分析 圆轴受力：F、Me F：弯曲；Me：扭转 A M O T
㊉
F
Me
l B
2. 内力分析
作内力图：M图，T图 可知：固定端为危险截面： |M|max=Fl T = Me
x
0.438 101 m 43.8mm 圆整，取： d = 44 mm
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例3 图示钢制传动轴，Fy= 3.64kN，Fz= 10kN，F'y= 5kN， 10 F'z=1.82kN，D1= 0.2m， D2= 0.4m，轴直径d= 52mm，材料 的许用应力[s ]=100 MPa。
|M|max=F1l T = Me
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FN=F2
O T O
㊉
Me
㊉
x x
3. 应力分析 a点为危险点： 取单元体：
F1
s
a
s
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T
tT tT M FN σ σM σ N W A T T τT Wp 2W
F'z
x
Fy D2 Fz D1 M2 1kN m 将Fz，F'y向轴线平移，得附加力偶：M1 2 2
Fy，F'y：使轴产生绕 z 轴弯曲； Fz，F'z：使轴产生绕 y 轴弯曲； M1，M2：使轴AC段产生扭转。
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2. 内力分析 由M1、M2，作 T 图： M1 由Fy 、F'y，作 Mz图： 由Fz 、F'z，作 My图： y M
z x
O Mz O My O
71.25N· m 7.05N· m
M 71.3N m T 120N m
由第三强度理论：
32 M T 2 σr3 πD 3 (1 α 4 )
2
x
O 89.2MPa [σ ] ∴ 轴满足强度要求。 上海应用技术学院
32 71.3 120 π 0.033 (1 0.84 )
y
F M2
E
9
M1
A C
B
x
T O
z
1kN· m
由第四强度理论：
M 0.75 T 32 M 0.75 T σr4 [σ ] 3 W πd
2 2 2 2
x
1kN· m
M O
6 6 2 2 32 1 10 0.75 1 10 32 M 0.75 T ∴ d 3 3 π[σ ] π 160 106
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C 100
F2y C
D
y M2 x F2z z
z
M1 A B
150 200
D
100
2. 内力分析 作 T 图： 作 Mz 图： 作 My 图： 作 M 图： 3. 强度校核 危险截面为B截面： T
F1 M1 A B
150 200
F2y C D
100
y
M2
18 x
F2z
120N· m
x
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4. 选用强度理论，进行强度计算 塑性材料：第三或第四强度理论
F a b A l
3 Me
第三强度理论：
B
σr3
2 2 σM 4 τT
M 2 T 2 ( ) 4( ) M W 2W
O
㊀
1 M 2 T 2 [σ ] W 1 即： σr3 M 2 T 2 [σ ] W
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8
y M1
A C
F M2
E B
x
z
解：1. 外力分析
由 SMx=0
) M1 ( FN FN D 2
得：F'N= 6.67kN FN= 13.33kN
将FN，F'N向轴线平移： F = F'N+FN= 20.1kN M2=1kN· m 为弯扭组合。
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2. 内力分析 作 T 图： 作M 图： 危险截面为E 截面： T 1kN m M 1kN m 3. 确定轴的直径 d
将F1，F2向轴线 平移，分解：
F2y：使轴产生绕z轴弯曲； x B 200
A F1，F2z：使轴产生绕y轴弯曲； 150 M1，M2：使轴BD段产生扭转。 F1 M1=0.2F1=120N· m
M1=0.2F1=120N· m = M2 F2z =M2 /0.3=400N F2y = F2z tan10º =70.5N
第四强度理论：
x Me
㊉
–Fl
T O
x
σr4
2 2 σM 3 τT
1 M 2 0.75 T 2 [σ ] W
以上结论也适用于空心圆轴。
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二、圆轴弯拉(压)扭组合强度计算
4
弯拉(压)扭组合：杆件同时存在弯曲、拉伸(压缩)和扭转变形。
如： 图示圆轴，受F1、F2、Me作用，产生弯拉扭组合变形。 F1 分析计算过程： Me 1. 外力分析 F2 B 圆轴受力： F1、F2、Me A l F1：弯曲；F2：拉伸；Me：扭转 M 2. 内力分析 O ㊀ x 作内力图：M图， FN图，T图 FN –Fl F2 可知：固定端为危险截面：
My
Fy
A
y M2
B
F'y
C
12
D
x
Fz T
z
F'z
1kN· m
㊉ 0.568kN· m
z
Mz
O Mz O
㊀
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O 2 2 M My Mz M 作 M 图： M 弯曲应力： σmax W O 上海应用技术学院
Ft
My 图
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作 M 图： 作扭矩图： 由内力图可知，轴的危险 截面为齿轮处C截面。 3. 确定轴的直径 d 由第四强度理论： Mz图 My 图
194090.5N· mm 66384N· mm 182385N· mm
16
M 2 T 2 32 M 2 T 2 σ r4 [σ ] 3 W πd 2 2 32 M T ∴ d 3 π[σ ]
32 1940.9 664.7 π 100 106 = 0.0593 m = 59.3 mm T图 圆整，取： d = 60 mm 3
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2
2
M图
664669 N· mm
17 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
2
2
M
71.3N· m
40N· m 40.6N· m
x
x
0.227kN· m
x
0.612kN· m
x
3. 强度校核 危险截面为B截面：
Fy M1
Fz T O
M
A
y
F'y
M2
B C
13
D
M 1.064kN m T 1kN m
由第四强度理论：
2 1 σr4 M 0.75 T 2 W
z
F'z
㊉
x
1kN· m
1.064kN· m 0.612kN· m
a b A M O
5 Me B
F2
l
㊀
x F2