工程力学课后习题答案第十二章-组合变形
大学《工程力学》课后习题解答-精品
大学《工程力学》课后习题解答-精品2020-12-12【关键字】情况、条件、动力、空间、主动、整体、平衡、建立、研究、合力、位置、安全、工程、方式、作用、结构、水平、关系、分析、简化、倾斜、支持、方向、协调、推动(e)(c)(d)(e)’CD2-2 杆AC 、BC 在C 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F 1和F 2作用在销钉C 上，F 1=445 N ，F 2=535 N ，不计杆重，试求两杆所受的力。
解：(1) 取节点(2) AC 与BC 2-3 水平力F A 和D 处的约束力。
解：(1) 取整体(2) 2-4 在简支梁，力的大小等于20KN ，如图所示。
若解：(1)(2)求出约束反力：2-6 如图所示结构由两弯杆ABC 和DE 构成。
构件重量不计，图中的长度单位为cm 。
已知F =200 N ，试求支座A 和E 的约束力。
解：(1) 取DE (2) 取ABC2-7 在四连杆机构ABCD 试求平衡时力F 1和F 2解：（1）取铰链B (2) 取铰链C 由前二式可得：F FF ADF2-9 三根不计重量的杆AB，AC，AD在A点用铰链连接，各杆与水平面的夹角分别为450，，450和600，如图所示。
试求在与O D平行的力F作用下，各杆所受的力。
已知F=0.6 kN。
解：(1)间汇交力系；(2)解得：AB、AC3-1 已知梁AB 上作用一力偶，力偶矩为M ，梁长为l ，梁重不计。
求在图a ，b ，c 三种情况下，支座A 和B 的约束力解：(a) (b) (c) 3-2 M ，试求A 和C解：(1) 取 (2) 取 3-3 Nm ，M 2解：(1)(2) 3-5 大小为AB 。
各杆 解：(1)(2)可知：(3) 研究OA 杆，受力分析，画受力图：列平衡方程：AB A3-7 O1和O2圆盘与水平轴AB固连，O1盘垂直z轴，O2盘垂直x轴，盘面上分别作用力偶（F1，F’1），（F2，F’2）如题图所示。
12黄向明工程力学(材料力学组合变形)
A 2 150 50 15000 m m2
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm
立柱横截面的内力 FN F
M F 350 75103 425F 103 N.m
t . max
Mz 0 FN Iy A
I y 5.31107 mm4 （3）立柱横截面的最大应力
1、拉（压）弯组合变形 a、轴向力与横向力同时作用 b、偏心拉（压）载荷的作用 2、弯扭组合变形
§12 - 2
一、 受力特点
拉伸（压缩）与弯曲
作用在杆件上的 外力既有轴向拉 ( 压 ) 力,还有横向力, 杆将发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲组合
y
Py
P
Px
x
§12 - 2
拉伸（压缩）与弯曲
y z
二、 拉(压)与弯曲内力分析 一般地，杆件横截面上产生弯矩 MZ 或 My (或二者皆有) 、轴力 N 、以及剪力。 对于实心截面，剪力引起的剪应力较小， 故一般不考虑。 三、 应力分析 横截面上任意一点 ( z, y) 处的正应力计算公式为
例题1
铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用 拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱 的强度计算许可载荷F。 解：
F F
350
F
350
（1）立柱横截面的内力
M
FN F
y1
z0
y
FN
z1
M F 350 z0 103 N.m
（2）立柱横截面的几何性 质
§ 12 - 3 偏心拉伸（压缩）
定义：作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行
但不重合时，将同时引起轴向拉伸（压缩）和平面
《工程力学》课后习题解答
试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。
与其它物体接触处的摩擦力均略去。
解： 试画出以下各题中✌杆的受力图。
✌☎☞☎☎☎✌☎☞☎☞☎☞☎☞☎✌☎☞解： 试画出以下各题中✌梁的受力图。
☎☎☞ ☞☎☞☎☞☞☎☞☎☎☞☎ 试画出以下各题中指定物体的受力图。
☎♋✆ 拱✌；☎♌✆ 半拱✌部分；☎♍✆ 踏板✌；☎♎✆ 杠杆✌；☎♏✆ 方板✌；☎♐✆ 节点 。
解：☎☞☎☎☎☎☞ ⌧☎☎☎☎☎☎ 试画出以下各题中指定物体的受力图。
☎♋✆ 结点✌，结点 ；☎♌✆ 圆柱✌和 及整体；☎♍✆ 半拱✌，半拱 及整体；☎♎✆ 杠杆✌，切刀 ☜☞及整体；☎♏✆ 秤杆✌，秤盘架 及整体。
☎☞☎☎☞☞ ☎☎☎✌☎解：☎♋✆☎♌✆☎♍✆☎♏✆✌✌❆☞ ✌☞❼ 杆✌、 在 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，☞ 和☞ 作用在销钉上，☞ ☠，☞ ☠，不计杆重，试求两杆所受的力。
解：☎✆ 取节点 为研究对象，画受力图，注意✌、 都为二力杆，☎✆ 列平衡方程：12140 sin 600530 cos6005207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N=⨯+-==⨯--=∴==∑∑ ✌与 两杆均受拉。
水平力☞作用在刚架的 点，如图所示。
如不计刚架重量，试求支座✌和 处的约束力。
解：☎✆ 取整体✌为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形：☞☞⌧☞☞ ☞✌☞☎✆ 由力三角形得211 1.122D A D D A F F FF F BC AB AC F F F F F =====∴=== 在简支梁✌的中点 作用一个倾斜 ☐的力☞，力的大小等于 ☠，如图所示。
若梁的自重不计，试求两支座的约束力。
解：☎✆ 研究✌，受力分析并画受力图：☎✆ 画封闭的力三角形：相似关系：B A F F FCDE cde CD CE ED∆≈∆∴== 几何尺寸：11 22CE BD CD ED =====求出约束反力：☞☞☞♎♍♏☞12010 22010.4 45arctan 18.4B A o oCE F F kNCDED F F kN CDCECD α=⨯=⨯==⨯===-= 如图所示结构由两弯杆✌和 ☜构成。
材料力学第2版 课后习题答案 第12章 变形能法
3 d1 ； 2
(b) 梁的抗弯刚度EI，略去剪切变形的影响。 解： （a） M n1 = m
M n2 = m U2 = J P2 =
9.6m 2 l Gπd14
U1 = J P1 =
m 2l 4GJ P1 π 4 d1 32
m 2l 4GJ P2 π 4 5.06π 4 d2 = d1 32 32
故
U a 16 = Ub 7
11-3 图示桁架各杆材料相同，截面面积相等，试求在 P 力作用下，桁架的变形能。 解：
支反力
R Ax = P R Ay = R B =
各杆的轴力和变形能如表所示 杆号 1 内力 Ni 杆长 各杆的变形能 Ui
P 2
2P 2
2l
2 P 2 l (4 EA)
2
− 2P 2
求 θA
M 0 ( x1 ) = −1 M 0 ( x 2 ) = −1
θA =
1 EJ
⎡ ⎛L ⎤ 1 ⎞ − P⎜ + x2 ⎟(− 1)⎥ dx 2 ∫0 (− Px1 )(− 1)dx1 + 2EJ ∫0 2 ⎢ ⎠ ⎣ ⎝2 ⎦
2
L
L
1 L2 1 = ⋅P⋅ + EJ 8 2 EJ =
求 δB
0
2l
l l l
2 P 2 l (4 EA)
0
3 4 5ຫໍສະໝຸດ P 2 P 2P 2 l (8EA) P 2l (8 EA)
故珩架的变形能为
5
U = ∑ Ui =
i =1
2 2 + 1 P 2l P 2l = 0.957 4 EA EA
11-4 试计算图示各杆的变形能。 (a) 轴材料的剪切弹性模量为G， d 2 =
《工程力学》课后习题答案全集
（mm/s）
故 =100（mm/s）
又有： ，因
故：
即：
第四章 刚体的平面运动
思考题
1．×；2.√; 3.√;4.√;5.×.
习题四
1．图示自行车的车速 m/s,此瞬时后轮角速度 rad/s,车轮接触点A打滑，试求点A的速度。
解：如图示，车轮在A点打滑， m/s, =rad/s,车轮作平面运动，以O为基点。
解：设该力系主矢为 ，其在两坐标轴上的投影分别为 、 。由合力投影定理有：
=-1.5kN
kN
kN
；
由合力矩定理可求出主矩：
合力大小为： kN，方向
位置： m cm，位于O点的右侧。
2．火箭沿与水平面成 角的方向作匀速直线运动，如图所示。火箭的推力 kN与运动方向成 角。如火箭重 kN，求空气动力 和它与飞行方向的交角 。
解： 是四杆机构。速度分析如图。点P是AB杆和轮Ⅱ的速度瞬心，故：
杆 的角速度为： rad/s
两轮齿合点M的速度和轮Ⅰ的角速度分别为：
， rad/s
6.在图所示星齿轮结构中，齿轮半径均为 cm。试求当杆OA的角速度 rad/s、角加速度 时，齿轮Ⅰ上B和C两点的加速度。
解：（1）B为轮Ⅰ的速度瞬心，
即
以轮为研究对象列方程
⑦
；
将①和③代入②得
由于轮做纯滚动
8.如图所示两等长杆AB与BC在点B用铰链连接，又在杆的D、E两点连一弹簧。弹簧的刚度系数为k，当距离AC等于a时，弹簧内拉力为零，不计各构件自重与各处摩擦。如在点C作用一水平力F，杆系处于平衡，求距离AC之值。
解：（图）
弹簧力如图：为
各力作用点横向坐标及其变分为
解：火箭在空中飞行时，若只研究它的运行轨道问题，可将火箭作为质点处理。这时画出其受力和坐标轴 、 如下图所示，可列出平衡方程。
工程力学-组合变形
10 组合变形1、斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念；2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定；如双向偏心拉伸, 中性轴方程为p po o22y zz y1z y0i i++⋅=3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。
4、截面核心。
10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形?图10.1解题范例[解]（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。
（b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。
（c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。
（d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。
10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。
图10.2[解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。
(b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。
(c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。
(e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。
(f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。
(g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。
10.3分析图10.3 示构件中(AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形?图10.3[解] AB段发生弯曲变形，BC段发生弯曲、扭转变形；CD段发生拉伸、双向弯曲变形。
10.4一悬臂滑车架如图10.4 所示，杆AB为18号工字钢（截面面积30.6cm2，Wz=185cm3），其长度为l=2.6m。
试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
Bl/2F20kN300CDAl图10.4[解]取AB为研究对象，对A点取矩可得NBCYF12.5kN=则3225==NBCXNABFF分别作出AB 的轴力图和弯矩图:kNll /232254FlkN.m轴力作用时截面正应力均匀分布，AF N=σ（压） 弯矩作用时截面正应力三角形分布，WzM=σ（下拉上压） 可知D 截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94.9MPa （压10.5如图 10.5 所示,截面为 16a 号槽钢的简支梁,跨长 L=4.2m, 受集度为 q 的均布荷载作用 ,q=2KN/m 。
清华出版社工程力学答案-第12章 简单的静不定问题
①
②
③ l
(a)
A a FP A
B a
C
FN1
FN2 B a
FN3 C
(b) a
FP A1 (c) A Δl1 A′
习题 12－4 图
B1 B B′
Δl2
C′ Δl3 C
即
Δl1 − Δl3 = 2Δl2
3. 物理方程
(b)
Δl1 =
FN1l ， EA 5FP , 6
Δl2 =
FN 2l ， EA
Δl3 =
FP 铜,Ec=105GPa 铝,Ea=70GPa
300
25 60
FP
习题 12－2 图
ε=
0.24 = 8 × 10 − 4 300
轴向载荷等于二者受力之和：
FP = σ cu Acu + σ al Aal = Ecu εAcu + Eal εAal
π π = 105 × 109 × 8 × 10−4 × × 252 × 10 −6 +70 × 109 × 8 × 10−4 × ( 602 − 252 ) × 10−6 4 4 = 172.1 kN
4． 联立求解 将（a） 、 （b） 、 （c）三式联立，求得：
F1 =
(16 + 2 ) l
2 Eδ
2 EAδ
， F2 =
1
(16 + 2 ) l
4 EAδ
1
据此求得二杆横截面上的正应力分别为：
F1杆 = F2杆 =
(16 + 2 ) l
4 Eδ
＝
2 × 200 ×109 × 1. 5 × 10−3
7
FA =
7F 4
建筑力学 第十二章 组合变形
图12.1
二、组合变形的分析方法及计算原理 处理组合变形问题的方法： 1.将构件的组合变形分解为基本变形； 2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力； 3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构 件在组合变形情况下的应力。 叠加原理是解决组合变形计算的基本原理 叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定 律，构件产生小变形，所求力学量定荷载 的一次函数的情况下，
对于不同的截面形状， Wz/Wy 的比值 可按下述范围选取： 矩形截面： Wz/Wy = h/b=1.2～2； 工字形截面：Wz/Wy =8～10； 槽形截面： Wz/Wy =6～8。
【例12.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成， 材料为A3钢，许用应力［σ］=160MPa。作用在梁上的 集中力P=30kN，其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角 φ=15°，如图12.3所示。试校核吊车梁的强度。 【解】(1) 荷载分解图11.9
(2) 计算横梁的内力 横梁在Ry、P和Ny的作用下产生平面弯曲，横梁中 点截面D的弯矩最大，其值为 Mmax= Pl/4 = 15.5×3.4/4 kN· m=13.18kN· m 横梁在Rx和Nx作用下产生轴向压缩，各截面的轴 力都相等，其值为 N=Rx=17.57kN (3) 选择工字钢型号 由式(12.7)，有 σymax=｜- N/A - Mmax/Wz｜≤［σ］
§12.2 斜弯曲
• 对于横截面具有对称轴的梁，当横 向力作用在梁的纵向对称面内时，梁变 形后的轴线仍位于外力所在的平面内， 这种变形称为平面弯曲。 • 如果外力的作用平面虽然通过梁轴 线，但是不与梁的纵向对称面重合时， 梁变形后的轴线就不再位于外力所在的 平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
变形后，杆件的轴线弯成一空间曲线称为斜弯 曲。斜弯曲可分解为两个平面弯曲。
工程力学组合变形
取=0 ，以y0、z0代
表中性轴上任一点的坐
标，则可得中性轴方程
2024/1/28
1
zF iy2
z0
yF iz2
y0
0
23
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不 通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
ay
iz2 yF
,
az
iy2 zF
z
对于周边无棱角的截面，可作两条
D1(y1,z1)
2024/1/28
10
0.642 qa 2
0.444qa 2 0.321 qa 2
A
DC
0.617 a
A
DC
My 图 (N m) B
B Mz 图 (N m)
0.456 qa 2 0.383 qa 2
在xoz主轴平面内的 弯矩图(y轴为中性轴)
在xoy主轴平面内的 弯矩图 (z轴为中性轴)
0.266 qa 2
4.强度分析 根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度 理论进行强度计算。
2024/1/28
3
§8-2 斜弯曲
一、概念
平面弯曲：外力施加在梁的对称面（或主平面） 内时，梁将产生平面弯曲。
即梁变形后，轴线位于外力所在的平面之内。 对称弯曲：平面弯曲的一种。
斜弯曲梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外。
2024/1/28
F A
FzF Wy
FyF Wz
危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为
t,max [ t ] c,max [ c ]
2024/1/28
26
补充例题 图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下
表面的轴向正应变分别为εa＝1×10－3、 εb ＝0.4×10－3， 材料的弹性模量E＝210GPa 。(1).试绘出横截面上的正
工程力学(天津大学)第12章答案
第十二章 用能量法计算弹性位移习 题12−1 两根杆拉伸刚度均为EA ，长度相同，承受荷载如图所示，分布荷载集度q =F/l ，试求这两根杆的应变能，并作比较。
解：EAl F V 221=，EA l F dx EA l )qx (dx EA l F V l l N622202022===⎰⎰ 213V V =12−2 试求图示受扭圆轴内所积蓄的应变能，杆长为l ，直径为d ，材料的剪变模量为G 。
解：4320420232163222Gdl m dx d πGl )mx (dx GI l T V l lP ===⎰⎰ 12−3 试计算下列梁内所积蓄的应变能，略去剪力的影响。
习题12−2图解：（a ）先求支座反力： ql F ,ql F RB RA 8381==以A 为坐标原点，x 1以向右为正，AC 段的弯矩方程为：118x qlM = 以B 为坐标原点，x 2以向左为正，BC 段的弯矩方程为：22222183qx x ql M -= 梁的变形能为：EIl q dx EI )qx qlx (dx EI )qlx (dx EIMdx EI M V l l l l 153601722183282252202222202120222021=-+=+=⎰⎰⎰⎰(b) 以B 为坐标原点，x 以向左为正，AB 段的弯矩方程为：306x lq M =梁的变形能为：EIl q dx EI )l x q (dx EI M V l l 504262520023002===⎰⎰ (c) 以B 为坐标原点，x 以向左为正，AB 段的弯矩方程为：Fx M )x (M +=梁的变形能为：EIl F EI MFl EI l M dx EI )Fx M (dx EI M V l l6222232220202++=+==⎰⎰ (d) 先求支座反力： ,ql F RA 8３=以A 为坐标原点，x 1以向右为正，AB 段的弯矩方程为：21112183qx x ql M -= （0≤x 1≤l ）以C 为坐标原点，x 2以向左为正，BC 段的弯矩方程为：22221qx M -=（0≤x 2≤l /2） 梁的变形能为：EIl q dx EI )qx (dx EI )qx qlx (dx EIMdx EI M V l ll l12803221221832252220222102211202221=-+-=+=⎰⎰⎰⎰12−4 试求图示结构中的弹性变形能。
工程力学课后习题答案
6-7空心圆截面轴，外径 ，内径 ，扭矩 ，试计算距轴心 处的扭转切应力，以及横截面上的最大与最小扭转切应力。
2-24平面桁架的支座和载荷如图所示，求杆1，2和3的内力。（提示：先截断AD、3、2杆，用截面法分析；再取C节点）
2-25两根相同的均质杆AB和BC，在端点B用光滑铰链连接，A，C端放在不光滑的水平面上，如图所示。当ABC成等边三角形时，系统在铅直面内处于平衡状态。求杆端与水平面间的摩擦因数。
题2-25图
题5-9图
题5-9图
5-10图示外伸梁，承受集度为 的均布载荷作用。试问当 为何值时梁内的最大弯矩之值（即 ）最小。
题5-10图
为保证梁的最大弯矩值最小，即最大正弯矩等于最大负弯矩
第六章杆件的应力
6-1图示的杆件，若该杆的横截面面积 ，试计算杆内的最大拉应力与最大压应力。
题6-1图
6-2图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷 与 作用， 与 段的直径分别为 与 ，如欲使 与 段横截面上的正应力相同，试求载荷 之值。
4-3材料力学的基本假设是什么？均匀性假设与各向同性假设有何区别？能否说“均匀性材料一定是各向同性材料”？
4-4杆件的轴线与横截面之间有何关系?
4-5试列举五种以上不是各向同性的固体。
4-6杆件的基本变形形式有几种？请举出相应变形的工程实例。
第五章杆件的内力
5-1试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作轴力图。
5-5某传动轴，转速 ，轮1为主动轮，输入功率 ，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为 ， 。
（1）试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；
（2）若将轮1和轮3的位置对调，轴的最大扭矩变为何值，对轴的受力是否有利。
工程力学(第二版)课后答案
1－1五个力作用于一点O，如图示。
图中方格的边长为10mm 。
试求此力系的合力。
解题思路：（1）由式（1－13）求合力在直角坐标轴上的投影；（2）由式（1－14）求合力的大小；（3）由式（1－15）求合力的方向。
答案：F R ＝669.5N , ∠(F R，i )＝34.901－2如图示平面上的三个力F1＝100N，F2＝50N，F3＝50N，三力作用线均过A点，尺寸如图。
试求此力系的合力。
解题思路：（1）由式（1－13）求合力在直角坐标轴上的投影；（2）由式（1－14）求合力的大小；（3）由式（1－15）求合力的方向。
答案：F R ＝161.2N , ∠(F R，F i)＝29.701－3试计算下列各图中的力F对点O之矩。
解题思路：各小题均由式（1－16）求力矩。
答案：略1－4如图所示的挡土墙重G 1＝75 kN ，铅直土压力G 2＝120 kN ，水平土压力F p ＝90 kN 。
试求三力对前趾A 点之矩的和，并判断挡土墙是否会倾倒。
解题思路：（1）由式（1－16）求三力对前趾A 点之矩的代数和； （2）若其值为负（顺时针转），则挡土墙不会翻倒。
答案：∑M A ＝－180kN.m ，不会倾倒。
1－5如图所示，边长为a 的正六面体上沿对角线AH 作用一力F 。
试求力F 在三个坐标轴上的投影，力F 对三个坐标轴之矩以及对点O 之矩矢。
解题思路：（1）由式（1－13）、（1－14）、（1－15）求合力的大小和方向； （2）由式（1－25）求力对三个坐标轴之矩； （3）由式（1－26）求力对坐标原点之矩。
答案：M x ＝0，Fa M y 33＝，Fa M 33z ＝－, k Fa j Fa M O 3333-＝1－7试画出下列各图中物体A ，构件AB 的受力图。
未画重力的物体重量不计，所有接触面均为光滑接触。
解题思路：（1）画出研究对象的轮廓形状； （2）画出已知的主动力；（3）在解除约束处按约束的性质画出约束力。
sj12
一、计算方法：
二、注意事项：
1.如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受 拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并 分别按拉伸、压缩进行强度计算。 2.如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则轴向力 在横截面上引起附加弯矩DM=Py亦不能忽略，这时叠加法不能使用， 应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。
Fl F W A Fl F W A
=
+
s c ,max
组合变形\拉（压）弯组合
例2 图示起重机的最大吊重F=12 kN，材料许用应力为 [s]=100 MPa， AB梁选用16号工字钢，试校核AB梁的强度。 FyA Fc FxA B A C F M 1.5 m A 2m C B 1m F FN 12 kN· m _ 24 kN
组合变形\扭转与弯曲的组合 8.5 扭转与弯曲的组合变形
1.外力向形心简化(建立计算模型)
2.作弯矩、扭矩图(找危险截面)
由弯矩图知：A截面弯矩绝对值|M|＝Fl最大；全梁扭矩T=Fa处 处相同，故A截面为危险截面。
3.危险截面的危险点：A截面K1、K2点，t、s数值均为最 大，故K1、K2点均为危险点。
Fy
z xy平面内的平面弯曲
Fy
y
组合变形\斜弯曲
已知：矩形截面梁截面宽度为b、高度为h、长度为l， 作用外载荷F，与主惯轴y成夹角为j。
求：根部截面上的最大正应力
Fz z
x z
j
F
y F
j
Fy
y
Fz F sin j , Fy F cosj
组合变y
My
s x (M y )
F
j压
y
建筑力学—组合变形及答案讲解
第六章直梁弯曲弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。
通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。
本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。
其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。
第一节平面弯曲的概念和力学简图一、弯曲概念和受力特点当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在外力作用下其轴线变成了一条曲线。
这种形式的变形称为弯曲变形。
工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。
例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。
一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。
图6-2工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。
梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。
图 6-3 图6-4若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。
本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。
从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。
二、梁的受力简图为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。
梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。
1、梁的简化由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。
因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。
例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。
第十二章 工程力学之组合变形
二、叠加原理 杆在组合变形下的应力和变形分析，一般可利用叠加原理。
叠加原理： 实践证明，在小变形和材料服从虎克定律的前提下， 杆在几个载荷共同作用下所产生的应力和变形，等于每个载荷 单独作用下所产生的应力和变形的总和。 当杆在外力作用下发生几种基本变形时，只要将载荷简化为一 系列发生基本变形的相当载荷，分别计算杆在各个基本变形下 所产生的应力和变形，然后进行叠加，就得到杆在组合变形下 的应力和变形。 另外，在组合变形情况下，一般不考虑弯曲剪应力。
（2）根部截面的内力分析
作轴的扭矩图和弯矩图如图12-6（c）所示。
根部截面上的扭矩 T m 120 N m
弯矩
M Pl 3Fl 3 960 0.12 346 N m
（3）应力分析
根部截面在弯曲、扭转基本变形下的应力分布如图12-6（d） 所示
由此可见，A点既有正应力，也有剪应力，B点只有剪应力
max N M 5.9 115 120.9MPa
最大应力几乎等于许用应力，故可安全工作。
例12-2：图12-5（a）所示为一钻床，在零件上钻孔时，钻床的 立柱受到的压力为P=15kN。已知钻床的立柱由铸铁制成，许用 拉应力，［σ拉］=35MPa，e=400mm试计算立柱所需的直径d。 解： （1）内力分析，判断变形 形式 用截面法求立柱横截面上 的内力，如图12-5（b）所 示，横截面上的内力有两 个，轴力FN和弯矩M，且 有
可见， Tx和Fcx使AC产生轴向压缩，而Ty、P和Fcy产生弯曲变 形，所以AC杆实际发生的是轴向压缩与弯曲的组合变形。 （2）作内力图，找出危险截面 AC梁的轴力图和弯矩图如图12-4（b）所示。
从图中可以看出，在梁的中间截面上有最大弯矩，而轴力在各 个截面上是相同的，所以，梁的中间截面是危险截面。
工程力学课后习题答案第十二章组合变形
第十二章 组合变形习 题12.1 矩形截面杆受力如图所示。
已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ，mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。
Oxyz1F 2F 1m 1mbh题12.1图解：危险点在固定端max yz z yM M W W σ=+max 6.69[]10MPa MPa σσ=<=12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为030=α，如图所示。
已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为m 4=l ，mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150lw =。
试校核梁的强度和刚度。
题12.2图22zmax 11cos3088y M q l q l ==⋅解：22ymax 11sin 3088z M q l q l ==⋅22ymaxzmax 2211cos30sin 308866z yq l q l M M bh bh W W σ⋅⋅=+=+26cos30sin 30()8ql bh h b=+32616210422 ()8120160100.1600.120-⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯ []6 11.971012.0,Pa MPa σ=⨯==强度安全 44z 35512sin 30384384z y q l q l W EI Ehb ⨯==4435512cos30384384y y z q l q l W EI Ehb ⨯==22maxcos30sin 30)()W ==+ =[]40.0202150m w m =<=刚度安全。
12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ，30=ϕ，如图所示。
檩条跨长m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。
14 kN/mq =题12.3图解：cos ,sin y z q q q q ϕϕ==22max max,88y z z y q l q l M M ==max max max[]y z z yM M W W σσ=+≤对工字钢，zyW W 大约在6～10之间，现设为8，由上式得 max 6max max16010/8y z z z M M Pa W W σ=+≤⨯330.85110z W m -≥⨯查40C 号钢，有，331190,99.6z y W cm W cm ==验算max maxmax 6616111901099.610y z M M MPa σ--=+=⨯⨯ 最大应力略大于许用应力，但不超过许用应力的5%，工程上允许，故可选40C 号钢12.4 图示构架的立柱AB 用25号工字钢制成，已知kN 20=F ，[]M Pa 160=σ，试校核立柱的强度。
材料力学：12 组合变形
Iy
Iz
A
偏心拉（压）计算的中性轴截距表达式
ay1
iz2 yF
az1
iy2 zF
作一系列与截面周边相切的直线 作为中性轴…
z 1
O
y 1
ay1
az1
其截距为ay1、az1，对应的偏心力 作用点的坐标(yF1,zF1)
az1
yF1
iz2 a y1
zF1
iy2 az1
z 1
5
3
2O 4 2
y 15
4 3 ay1
Mr4
M
2 yB
M
2 zB
0.75T
2
3642 10002 0.7510002 1372N m
பைடு நூலகம்
r4
Mr4 W
1372N m W
[ ]
W πd 3 32
解得
d 3 321372103 51.9m
π 100
Δ组合变形小结
1、组合变形解题步骤 ①外力分析：横力向弯心简化并沿形心主惯性轴分解
Mr3
M
2 z
M
2 y
T
2
Mr4
M
2 z
M
2 y
0.75T
2
§2、斜弯曲——两相互垂直平面内的弯曲
斜弯曲的弯曲正应力与位移计算
F2 a
m
z C
z
O
x
m y F1 y
x
m z
O MZ
MY m
y
F2 单独作用，梁在竖直平面内发生平面弯曲，z轴为 中性轴；
F1 单独作用，梁在水平平面内发生平面弯曲，y轴为中 性轴。
上述两个互相垂直的平面弯曲之组合即为斜弯曲。
工程力学----组合变形
得组合变形的结果。 按照危险点的应力状态及构件的破坏形式选用
合适的强度条件。
平面弯曲
梁变形后的挠曲线是荷载作用面内的一条 平面曲线
第二节 斜弯曲
受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称面内。 变形特点：变形后的挠曲线不在荷载作用面内。
向偏心拉伸：
x
P
P y
z
My
x z Mz
Py My
P （1）应力分析：
P
MZ
My
x
P
P A
x
M
z
M I
z z
y
x
P A
Mzy Iz
Myz Iy
xM
y
M I
y y
z
x
P A
Mzy Iz
Myz Iy
设点（y0,z0）是中性轴上的任意一点
P Mzy Myz 0
qy qsina8000.447358 N/m
yq
z
qz qcosa8000.894715 N/m
a 26°34´
M
zm
a
x
q
y L2 8
35832 8
403
Nm
A
q B
MY max
qz L2 8
715 32 8
804Nm
L
m
ax
Mz Wz
My Wy
P1 e P2
N=P1+P2=100+30=130KN 2.求应力：
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第十二章 组合变形习 题12.1 矩形截面杆受力如图所示。
已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ，mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。
Oxyz1F 2F 1m 1mbh题12.1图解：危险点在固定端max yz z yM M W W σ=+max 6.69[]10MPa MPa σσ=<=12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为030=α，如图所示。
已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为m 4=l ，mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150lw =。
试校核梁的强度和刚度。
题12.2图22zmax 11cos3088y M q l q l ==⋅解：22ymax 11sin 3088z M q l q l ==⋅22ymaxzmax 2211cos30sin 308866z yq l q l M M bh bh W W σ⋅⋅=+=+26cos30sin 30()8ql bh h b=+32616210422 ()8120160100.1600.120-⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯ []6 11.971012.0,Pa MPa σ=⨯==强度安全 44z 35512sin 30384384z y q l q l W EI Ehb ⨯==4435512cos30384384y y z q l q l W EI Ehb ⨯==22maxcos30sin 30)()W ==+ =[]40.0202150m w m =<=刚度安全。
12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ，30=ϕ，如图所示。
檩条跨长m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。
14 kN/mq =题12.3图解：cos ,sin y z q q q q ϕϕ==22max max,88y z z y q l q l M M ==max max max[]y z z yM M W W σσ=+≤对工字钢，zyW W 大约在6～10之间，现设为8，由上式得 max 6max max16010/8y z z z M M Pa W W σ=+≤⨯330.85110z W m -≥⨯查40C 号钢，有，331190,99.6z y W cm W cm ==验算max maxmax 6616111901099.610y z M M MPa σ--=+=⨯⨯ 最大应力略大于许用应力，但不超过许用应力的5%，工程上允许，故可选40C 号钢12.4 图示构架的立柱AB 用25号工字钢制成，已知kN 20=F ，[]M Pa 160=σ，试校核立柱的强度。
F45BCCD题12.4图解： 由图可知,,BC CD A F F F F F ===由受力图可知D 截面为危险截面，其上的轴力和弯矩分别为20,360N F F KN M F KN ====max zF MA W σ=+ 25号钢3402z W cm =，248.541A cm =33max4620106010153.37[]48.5411040210MPa σσ--⨯⨯=+=≤⨯⨯12.5 图示一混凝土挡水墙，浇筑于牢固的基础上。
墙高为m 2，墙厚为m 5.0，试求：（1）当水位达到墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力（混凝土重力密度3kN/m 24=γ）。
（2）如果要求混凝土中不出现拉应力，试求最大允许水深h 为多少？题12.5图解：以单位宽度的水坝计算水压30 1.0109.8219.6/q gh kN m ρ==⨯⨯⨯=混凝土对墙底的压力3241020.524/F ghb kN m ρ==⨯⨯⨯=墙坝的弯曲截面系数230.0836bh W m ==墙坝的截面面积21A bh m ==墙底处的最大拉应力0,max1230.1328t h q h F MPa W A σ⋅⋅=-= 最大压应力0,max1230.1908c h q h F MPa W A σ⋅⋅=+= 如果混凝土中不出现拉应力，即0,max1230t h q h F W Aσ⋅⋅=-=0123h q h F W bh ⋅⋅= 1.063h m =12.6图示一楼梯木斜梁的长度为m 4=l ，截面为m 1.0m 2.0⨯的矩形，受均布载荷作用，m /kN 2=q 。
试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力和最大压应力。
题12.6图--4kNF N-3.464kN-F +M+3.464kN·mF F 30°F BA Bqy cos30 2B A q lF F ⋅==解： 3242 3.4642kN ==1sin 302442Ax F q l kN =⋅=⨯⨯=()22N lF kN =杆为弯压组合变形，最大压应力和最大拉应力分别发生在跨中截面上边缘和下边缘处：max ,max()2N c l F M W Aσ=+ 3323.46410210 5.290.10.20.10.26MPa ⨯⨯=+=⨯⨯ ,max 5.190.1 5.09t MPa MPa MPa σ=-=11.7 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18号工字钢，其长度为m 6.2=l 。
试求当载荷kN 25=F 作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
题12.7图解： 取AB 杆为隔离体， 由∑=0AM ，即 030sin 2=⋅︒+⋅-l F l F B ∴ FB =F由B 点平衡可知 F F F B NAB 2330cos -=︒-= 杆AB 在D 点的弯矩 Fl W W 41max ==故杆AB 在D 点截面有最大压应力，查18号工字钢，得A =30.6cm 2，Wz=185cm 3∴ 6343max 1018546.21025106.30210253423--⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=+=z z NAB W Fl A F W M A F σ =94.9 MPa12.8 若图示边长为a 的正方形截面短柱，受到轴向压力F 作用，若在中间开一切槽，其面积为原面积的一半，试问最大压应力是不开槽的几倍？1-1截面题12.8图切槽前，柱的变形为轴向压缩，柱内各点压应力为 ()2242a F a F==σ切槽后，柱的切槽部分为偏心压缩，其最大压应力为23max22121222a Fa a a Fa a a F =⨯⨯⨯+⨯='σ ∴ 8max='σσ，即切槽后柱内的最大压应力是原来的8倍12.9 承受偏心拉力的矩形截面杆如图所示。
实验测得杆两侧的纵向应变为1ε和2ε，试证明：62121he ⋅+-=εεεε。
题12.9图解：如图偏心受拉构件11E σε=22E σε=126F Fe bh bh σ=+ 226F Fe bh bhσ=-1212212()FeE bh σσεε-==- 12122()FE bhσσεε+==+12126e h εεεε-=+ 62121he ⋅+-=εεεε12.10 图示短柱受载荷如图，试求固定端截面上角点A 、B 、C 、D 的正应力，并确定其中性轴的位置。
题12.10图解：这是一个偏心压缩问题，截面ABCD 上的内分量如图所示。
125N F F kN ==310.025(25100.025)625y M F N m N m =⨯=⨯⨯⋅=⋅320.6(5100.6)30000z M F N m N m =⨯=⨯⨯⋅=⋅ 25Sy F F kN ==A 、B 、C 、D 各点的正应力分别为y N zA y zM F M A W W σ=-++3222510662563000() 0.150.10.150.10.10.15Pa ⨯⨯⨯=-++⨯⨯⨯8.83MPa =y N zB y z M F M A W W σ=--+3222510662563000() 0.150.10.150.10.10.15Pa ⨯⨯⨯=--+⨯⨯⨯3.83MPa =y N zC y z M F M A W W σ=---3222510662563000() 0.150.10.150.10.10.15Pa ⨯⨯⨯=---⨯⨯⨯12.2MPa =-y N z D y zM F MA W W σ=-+-3222510662563000() 0.150.10.150.10.10.15Pa ⨯⨯⨯=-+-⨯⨯⨯ 7.17MPa =-设0y 、0z 为中性轴上任意一点的坐标，则在该轴上的任一点的应力均为零，即0000(,)0y N z y zM z F M y y z A I I σ=-++= 3003325106251230001200.10.150.150.10.10.15z y ⨯⨯⨯-++=⨯⨯⨯ 由上式得中性轴方程 0029.963.910z y +-=若令00z =，得 115.663.9y a m mm == 若令00y =，得 133.429.9z a m mm ==y a 、 z a 分别是中性轴与y 、z 轴的截距。
12.11 图示电动机的功率为kW 9，转速715 r /min ，皮带轮直径mm 250=D ，主轴外伸部分长mm 120=l ，主轴直径mm 40=d ，若[]M Pa 60=σ，试用第三强度理论校核轴的强度。
题12.11图解：这是一个弯扭组合变形问题。
显然危险截面在主轴根部。
该处的内力分量分别为99549(9549).715P T N m n ==⨯扭矩 根据平衡条件 222D DF F T ⨯-⨯=得 221209600.25T F N N D ⨯===弯矩 3(39600.12)M Fl N m ==⨯⨯⋅ 应用第三强度理论 2222max 33120346(4010)32M T Pa W σπ-++==⨯⨯ []58.360MPa MPa σ=<=最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，故安全。
12.12铁道路标圆信号板，装在外径mm 60=D 的空心圆柱上，所受的最大风载2m /kN 2=p ，[]M Pa 60=σ。
试按第三强度理论选定空心柱的厚度。
题12.12图解：忽略风载对空心柱的分布压力，只计风载对信号板的压力，则信号板受风力 2230.50.51039344F p N ππ⨯⨯⨯===空心柱固定端处为危险截面，其弯矩：0.8314M F N =⨯=扭矩：0.6236T F N =⨯=[]3r wσσ=≤34{}1()32D d D σπ≤⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]443(1d D D πσ≤-6010d D -≤=⨯354.71054.7m mm -=⨯=6054.7 2.6522D d mm δ--≥== 12.13 在图示的轴 AB 上装有两个轮子，作用在轮子上的力kN 3=F 和Q ，设此二力处于平衡状态，轴的许用应力[]M Pa 60=σ，试用最大切应力理论选择轴的直径d 。