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工程力学之组 合 变 形
工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。
10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。
又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。
此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。
再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。
10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。
研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。
(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。
(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。
(4)判断危险点的位置，建立强度条件。
10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。
斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。
斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。
下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。
图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。
组合变形(工程力学课件)
偏心压缩（拉伸）
轴向拉伸（压缩）
偏心压缩
F2 F2e
轴向压缩（拉伸）和 弯曲两种基本变形组合
偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
双向偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
外力
内力
平移定理
应力
+
=
弯矩
轴力
max
min
FN A
Mz Wz
【例 1】求横截面上的最大正应力
F 50 kN
e 10 mm
组合变形的概念 及其分析方法
杆件的四种基本变形
轴向拉压 剪切 扭转
F
F
F
F
Me
Me
沿轴线的伸长或缩短 相邻横截面相对错动 横截面绕轴线发生相对转动
Me
弯曲
Me
F
轴线由直线变为曲线 横截面发生相对的转动
两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形
常见的 组合变形
（1）拉（压）弯组合 （2）斜弯曲（弯、弯组合） （3）偏心压缩（拉伸） （4）弯扭组合
24 106 401.88 103
64
4.3 59.7 64 [ ] 满足强度要求
59.7 55.4
斜弯曲
平面弯曲
作用线与截面的 纵向对称轴重合
梁弯曲后挠曲线位于外力F所在的纵向对称平面内
斜弯曲
作用线不与截面 的对称轴重合
梁弯曲后挠曲线不再位于外力F所在的纵向平面内
图示矩形截面梁，应用叠加原理对其进行分析计算：
3、应力分析
( z,y)
横截面上任意一点 （ z, y） 处 的正应力计算公式为
Mz
z
O
x
1.拉伸正应力
N
工程力学-组合变形
s
强度条件为 nb
n
塑性材料 脆性材料
(2) 概述复杂应力状态下的强度计算：
组合变形的构件内危险点多为二向或三向应力状态。
难以用实验测定各种应力状态而建立强度条件，常常依 据部分实验结果提出假设，推测材料失效的原因，从而 建立强度理论。
5
§14.2 强度理论概论
强度理论 (theory of strength)
(1) 两种失效现象：屈服和断裂
各种材料的强度不足引起的失效现象不同，表现为屈服 和断裂两类。
(2) 衡量变形的程度：
衡量构件受力变形程度的量有应力、应变、能量等。
(3) 强度理论：
根据材料破坏现象和大量的实验资料，人们对强度的失 效提出了各种假说，称为强度理论。
不同的强度理论认为，材料按某种方式（屈服或断裂）
在二向应力状态下， 为两个非零主应力，
则在 为坐标的平面坐标系中， 当 同号时，失效准则为
当 异号时，失效准则为
28
故任意情况下失效准则在 所示。
平面中为六角形，如图
若某一平面应力状态其两个非零主应力
所在的点 M ，落在六来自形区域之内，则该应力状态不会引起屈服。
若点 M 落在六角形边界上，则该应力状态会引起材料 屈服。
本章主要内容：
(1) 介绍几种常见的强度理论； (2) 讨论工程中常见的斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉
（压）、弯扭等组合变形形式的强度计算。
2
第14章 组合变形 (combined deformation)
§14.1 组合变形的概念与分析方法
四种基本变形
拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲。
组合变形 (combined deformation)
十三 组合变形
例：直径为20 mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力 P=0.2 kN， 已知［σ］=170 MPa，试用第三强度理论确定 a 的许可值。 解：由内力图可知，截面 A 是危险截面。
A
B
轴的抗弯截面系数：
M图
圆轴弯扭组合变形强度条件:
2Pa
（按第三强度理论）
T图
C
Pa Pa
a 的许可值：
中性轴是一条通过截面形心的直线。
中性轴
二、位移计算 斜弯曲的概念 为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法：
中性轴
总挠度 f 与中性轴垂直。源自斜弯曲：梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合。 否则称为平面弯曲。
挠曲线平面 载荷平面
特例： 当
时，梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面
重合，此时发生平面弯曲。比如：
将P分解：
产生轴向拉伸； 产生弯曲变形。
组合变形横截面上的应力：
轴力引起截面上的正应力：
弯矩引起截面上的正应力：
FN
Mz
总应力：
危险截面的应力：
FN
拉(压)弯组合变形强度条件：
Mz
◆ 偏心压缩（以矩形截面为例）：
d c
例：具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最大压应 力σc；
（1）力作用的独立性原理 即在线弹性、小变形的前提下，任一载荷所引起的变
形对其它载荷作用的影响可忽略不计。
第一节 组合变形的概念
二、 组合变形
3、组合变形的基本解法
（2）基本步骤： ① 将作用于构件的载荷分解，得到与原载荷静力等效的几 组载荷，使构件在每一组载荷作用下只产生一种基本变形； ② 分别计算构件在每一组基本变形载荷下的内力、应力、 变形； ③ 将各种基本变形载荷下的应力、变形叠加得总的应力、 变形； ④ 最后作强度或刚度计算。
工程力学-组合变形
10 组合变形1、斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念；2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定；如双向偏心拉伸, 中性轴方程为p po o22y zz y1z y0i i++⋅=3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。
4、截面核心。
10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形?图10.1解题范例[解]（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。
（b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。
（c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。
（d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。
10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。
图10.2[解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。
(b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。
(c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。
(e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。
(f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。
(g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。
10.3分析图10.3 示构件中(AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形?图10.3[解] AB段发生弯曲变形，BC段发生弯曲、扭转变形；CD段发生拉伸、双向弯曲变形。
10.4一悬臂滑车架如图10.4 所示，杆AB为18号工字钢（截面面积30.6cm2，Wz=185cm3），其长度为l=2.6m。
试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
Bl/2F20kN300CDAl图10.4[解]取AB为研究对象，对A点取矩可得NBCYF12.5kN=则3225==NBCXNABFF分别作出AB 的轴力图和弯矩图:kNll /232254FlkN.m轴力作用时截面正应力均匀分布，AF N=σ（压） 弯矩作用时截面正应力三角形分布，WzM=σ（下拉上压） 可知D 截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94.9MPa （压10.5如图 10.5 所示,截面为 16a 号槽钢的简支梁,跨长 L=4.2m, 受集度为 q 的均布荷载作用 ,q=2KN/m 。
工程力学----组合变形
算各基本变形。 后叠加----将基本变形计算某量的结果叠加即
得组合变形的结果。 按照危险点的应力状态及构件的破坏形式选用
合适的强度条件。
平面弯曲
梁变形后的挠曲线是荷载作用面内的一条 平面曲线
第二节 斜弯曲
受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称面内。 变形特点：变形后的挠曲线不在荷载作用面内。
向偏心拉伸：
x
P
P y
z
My
x z Mz
Py My
P （1）应力分析：
P
MZ
My
x
P
P A
x
M
z
M I
z z
y
x
P A
Mzy Iz
Myz Iy
xM
y
M I
y y
z
x
P A
Mzy Iz
Myz Iy
设点（y0,z0）是中性轴上的任意一点
P Mzy Myz 0
qy qsina8000.447358 N/m
yq
z
qz qcosa8000.894715 N/m
a 26°34´
M
zm
a
x
q
y L2 8
35832 8
403
Nm
A
q B
MY max
qz L2 8
715 32 8
804Nm
L
m
ax
Mz Wz
My Wy
P1 e P2
N=P1+P2=100+30=130KN 2.求应力：
得组合变形的结果。 按照危险点的应力状态及构件的破坏形式选用
合适的强度条件。
平面弯曲
梁变形后的挠曲线是荷载作用面内的一条 平面曲线
第二节 斜弯曲
受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称面内。 变形特点：变形后的挠曲线不在荷载作用面内。
向偏心拉伸：
x
P
P y
z
My
x z Mz
Py My
P （1）应力分析：
P
MZ
My
x
P
P A
x
M
z
M I
z z
y
x
P A
Mzy Iz
Myz Iy
xM
y
M I
y y
z
x
P A
Mzy Iz
Myz Iy
设点（y0,z0）是中性轴上的任意一点
P Mzy Myz 0
qy qsina8000.447358 N/m
yq
z
qz qcosa8000.894715 N/m
a 26°34´
M
zm
a
x
q
y L2 8
35832 8
403
Nm
A
q B
MY max
qz L2 8
715 32 8
804Nm
L
m
ax
Mz Wz
My Wy
P1 e P2
N=P1+P2=100+30=130KN 2.求应力：
工程力学-第8章组合变形
斜弯曲也称为双向平面弯曲。 一、强度计算：
外力分解： Py Pcos
内力计算： Pz Psin
MzPyxPcosxMco;s MyPzxPsinxMsin;
应力计算：
返. 回 下一张 上一张 小结
最大应力：
ma x M Izzym ax M Iyyzma x M W zzM Iyy;
强度条件：
m axM Wzz
返. 回 下一张 上一张 小结
二、计算： 以挡土墙为例。
自重作用使任意截面产生轴向
压力N(x)；对应各点产生压应力：
N(x);
N
A
土压力作用使截面产生弯矩
M(x)；对应点产生正应力：
M(x)y;
M
Iz
X截面任意点应力：
k
N(x)M(x)y;
A
Iz
ma x N(x)M(x);
min
A
W z
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
返. 回 下一张 上一张 小结
3. 常见组合变形的类型 ： （1） 斜弯曲 （2） 拉伸（压缩）与弯曲组合 （3） 偏心拉伸（压缩） （4） 弯扭组合
二、计算方法 ： 组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影
响，则可依据叠加原理计算。
1. 叠加原理 ：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独 作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。
设计 W z ： M [m ]a x12c0 m 3;
查表 1号 6选工字 W z 钢 14 c， 1 m 3,A2,6 1 cm 2;
校核 m a | xN A ： M W m z | a1 x .4 0 M 0 1 P 0 0 0 a [] 5;
因此，可选16号工字钢。
工程力学组合变形
C点的正应力表达式变为
取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程
y
O
z
中性轴
*
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。
添加标题
01
弯矩Mz=Mez 引起的正应力
添加标题
03
A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。
添加标题
05
弯矩My=Mey 引起的正应力
添加标题
02
按叠加法，得C点的正应力
添加标题
04
在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为
添加标题
06
*
利用惯性矩与惯性半径间的关系
*
*
危险点：m-m截面上
角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远
中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程
强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为
边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。
得
若中性轴与AB 边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为
b
6
6
h
C
z
y
b
h
B
A
D
h
6
6
b
取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程
y
O
z
中性轴
*
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。
添加标题
01
弯矩Mz=Mez 引起的正应力
添加标题
03
A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。
添加标题
05
弯矩My=Mey 引起的正应力
添加标题
02
按叠加法，得C点的正应力
添加标题
04
在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为
添加标题
06
*
利用惯性矩与惯性半径间的关系
*
*
危险点：m-m截面上
角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远
中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程
强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为
边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。
得
若中性轴与AB 边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为
b
6
6
h
C
z
y
b
h
B
A
D
h
6
6
b
工程力学 第11章组合变形
第三节
偏心压缩
三.截面核心的概念 ——若外力作用在截面形心附近的某一个区域，使 得杆件整个截面上全为压应力而无拉应力，这个 外力作用的区域称为截面核心。
第三节
偏心压缩
例2. 起重机支架的轴线通过基础的中心。 起重机自重180kN，其作用线通过基础 底面QZ轴，且有偏心距e=0.6m.已知基 础混凝土的容重等于22kN/m3，若矩形 基础的短边长3m。 试计算：（1）其长边的尺寸为 多少时使基础底面不产生拉应力？ （2）在所选的值之下，基础底面上的 最大压应力为多少？
Mzy M cosy Iz Iz
Myz Iy
M sin z Iy
（4）应力叠加——危险点应力
Mz y Myz cos sin M ( y z) IZ Iy IZ Iy
第二节
危险点的应力为：
max
斜弯曲
工程力学
第十一章 组合变形
主要内容
第一节 组合变形的概念 第二节 斜弯曲 第三节 偏心压缩
第一节
组合变形的概念
牛腿柱
第一节
组合变形的概念
F F F
试分析受压立柱的变形形式
压缩-弯曲变形
压缩变形
压缩-弯曲变形
第一节
组合变形的概念
一.组合变形的概念 1.组合变形——由两种或两种以上的基本变形组合 而成的变形称为组合变形 。 2.组合变形杆件的强度计算方法——叠加原理。 二.叠加原理解题步骤： （1）分解：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化 为基本变形的受力方式； （2）叠加：对各基本变形进行应力计算后，将各基本变形 同一点处的应力进行叠加，以确定组合变形时各点的应力； （3）强度条件：分析确定危险点的应力，建立强度条件。
工程力学第9章组合变形
z c
z
例
结构如图所示，已知最大吊重Fmax = 8kN， AB为工字钢梁， 材料为Q235，许用应力[]=100MPa ，试选用工字钢型号。
D
800
C A B
2500 1500
F
分析:
D
ห้องสมุดไป่ตู้800
C A B
2500 1500
F
AB梁由于受到CD杆（二 力杆）的拉力，所以在AC 段有轴向内力，同时AB梁 在载荷F的作用下弯曲， 因此有弯曲产生的正应力。 在AC段的正应力应当是轴 向内力的正应力和弯曲正 应力的叠加。
2 2
r4 2 3 2 [ ]
r4
2 M 2 0.75 M x [ ] W
r3
2 M 2 Mx [ ] W
弯扭组合变形的计算
如图所示，折杆的AB段为圆截面，AB⊥CB，已知杆AB直径 d = 100 mm，材料的许用应力[σ] = 80 MPa。试按第三强 度理论由杆AB的强度条件确定许用荷载[F]。
M z ( x ) Fy x F sin x
y
2. 应力：
x
Fx
z
y
Fy
x
F
k
FN
FN ( x ) A
Mz k
M z ( x ) yk Iz
z
k
在 FN 作用下： y
在 Mz 作用下： y
z
k
FN
FN ( x ) A
z
FN
Mz
Mz k
M z ( x ) yk Iz
1、先计算出CD的杆长
D
800
l 25002 8002 2620 mm 2.62m
工程力学第10章 组合变形
28
10.3 图示悬臂木梁，在自由端受集中力 F =2 kN，F 与 y轴夹角 φ =10°，木材的许用正应力［σ］=10 MPa， 若矩形截面 h/b=3，试确定截面尺寸。
29
30
10.4 承受均布荷载的矩形截面简支梁如图所示，q 的作用线通过截面形心且与 y轴成15°角，已知l=4m， b=80mm，h=120mm，材料的许用正应力［σ］=10MPa。 试求梁容许承受的最大荷载qmax。
2
3
10.1.2 组合变形的求解方法 在小变形、线弹性材料的前提下，杆件同时存在的 几种基本变形，它们的每一种基本变形都是彼此独立的， 即在组合变形中的任一种基本变形都不会改变另外一种 基本变形相应的应力和变形。这样，对于组合变形问题 就能够用叠加原理来进行计算。具体的方法及步骤是： （1）找出构成组合变形的所有基本变形，将荷载 化简为只引起这些基本变形的相当力系。 （2）按构件原始形状和尺寸，计算每一组基本变 形的应力和变形。 （3）叠加各基本变形的解（矢量和），得组合变 形问题的解，然后进行强度和刚度校核。
22
23
10.5 弯曲与扭转的组合变形
一般机械传动轴，大多同时受到扭转力偶和横向力 的作用，而发生弯曲与扭转的组合变形。下面以图10.14 （a）所示的圆形截面杆件为例，说明弯、扭组合变形 时的强度计算方法。 10.5.1 内力与应力分析 图10.14（a）中，Me使杆件受扭，扭矩图如图10.14 （b）所示；F1使杆件在Oxz平面内发生平面弯曲，弯矩 图My如图10.14（c）所示；F2使杆件在Oxy平面内发生平 面弯曲，弯矩图Mz如图10.14（d）所示。
19
20
21
10.4.2 截面核心 从式（10.10）看到，对偏心受压杆来说，当偏心压 力F的作用点变化时，中性轴在坐标轴上的截距也随之 变化。可见只要偏心压力F的作用点在截面形心附近的 某一区域时，中性轴就与截面相切或相离，这样，在偏 心压力作用下，截面上只产生压应力，而不出现拉应力。 通常将该区域称为截面核心（coreofacrosssection）。
《工程力学》组合变形
轴力 弯矩
ＦＮ= 100KN（拉）；
My=5 KN.m ; Mz=10 KN.m
z
Ｆ
x
合成弯矩
2 M My M z2 102 5 2 11.2KNm
1、在矩形截面杆的中间截面挖去t/2=5mm的槽。 P＝10KN， 杆件的许用应力[σ]＝160MPａ。 校核杆件的强度。
P 10
10
2、直角拐的边长为ａ＝60毫米，P＝10KN，力P 的作用线过AB截面的形心，求杆件内的最大正 应力。
4m B 3m P A
§８-3
弯扭组合变形
杆件同时受到横截面平面内的外力偶矩和横向力作用时， 将产生弯扭组合变形； 是扭转和平面弯曲两种基本变形的组合。 弯扭组合是机械工程中较常见的情况；
b
P1
P2
m
m
z
e
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
P1 +P2 M z=P2e
m
m
m
m
压弯组合变形； 黑板面内发生平面弯曲
轴向压力 弯矩
FN P1 P2
Mz P 2 e
2、分析横截面上的应力 _ _
z 轴力产生压应力 _
+ +
-
P P1 P 2 σ ' A A
3、组合变形下横截面上的应力
F c A
t ,max
c ,max
+
t ,max
=
Fl F t ,max Wy A Fl F c ,max Wy A
c ,max
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
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22
1212 242
2 0
3212 242
7、计算危险点处的相当应力
第三强度理论：
r31 3
r3 242[]
Wt 2W
r3W 1 M2T2[]
1212 242
2 0
3212 242
第四强度理论的相当应力：
第一组相当应力计算公式 可用吗？
m ax x 2y1 2 xy24x 2y
1 242 0
22
m inx 2y1 2 xy24x 2y
1 242 0
22
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2 0
3212 242
bPh22e6
横截面上不产生拉应力的条件 σtP1 AP2bP2 2he60
e =10cm
例4：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的最 大压应力是原来不开槽的几倍。
P
P
1
1
aa
aa
未开槽前 立柱为轴向压缩
P
P
1N AP A(2P a)24P a2
120N.m
危险截面E 左处
危险面上内力 T 300N.m
M My2Mz2 17N 6.m （3）由强度条件设计d
r3
M2T2
W
d 3 W
32
d 3
32
M2 T2
3.8 2 1 3 0 m 3.8 2 mm
例题 2 某圆轴受力如图所示。已知圆轴的直 径 D= 100mm ，杆长 L=1m ,材料的许用应力 []=160MPa。 试按第三强度理论进行强度较核。
1
1
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
aa
aa
P Pa/2
1
1
2N AW M2a P a1 6P 2aa 2 a22 aP 2
开槽后立柱的最大压应力 未开槽前立柱的最大压应力
2P a2 P 4a2
8
1、在矩形截面杆的中间截面挖去t/2=5mm的槽。 P＝10KN， 杆件的许用应力[σ]＝160MPａ。 校核杆件的强度。
叠加
形成构件在组合变形下的内力、应力、应变、位移。
分解
叠加
组合变形
基本变形
组合变形分析
2、叠加原理：
如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，
在小变形条件下，组合变形构件的内力，应力，变形等力 学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响 应的叠加;
且与各单独受力的加载次序无关。
叠加原理的应用条件
y1 y c
z0
z1
150
50
150
截面面积 A150m 00m 2
50
形心位置
zc
z0 75mm z1 12m 5 m
计算形心主惯性矩
Iyc 5.31107mm 4
（3）求内力
F 350
M
FN F
M F35 70 513 0
42 F 5 1 3 0 N.m
FN
F A
t ,max
c,max
+=
t ,max
c,max
t,max
Fl Wy
F A
c,max
Fl Wy
F A
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c,max
Fl
50
150
42551.3013F 1005.12515F103
93F4Pa
（6）强度条件
t.max66F7
c.max93F4
t.m a6 x F 67t c .m a9 x F 3 4 c
Ft30 16 0450N 00
P1 P2
m
m
ze
b
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
m
m
m
P1 +P2
M z=P2e
m
压弯组合变形； 黑板面内发生平面弯曲
轴向压力 弯矩
P P FN
1
2
Mz P2e
2、分析横截面上的应力
z
+_
_-
+_
--
轴力产生压应力
σ'PP1P2 AA
弯矩产生的最大拉应力
"Mz Wz
4、计算危险点处的正应力
_+
tm
FN ax A
Mz Wz
158MPa
_
+
tmax []
立柱满足强度条件。
z ++
++
例3 矩形截面柱。 P1的作用线与杆轴线 重合，P2作用在 y 轴 上。已知， P1= P2=80KN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的 m—m截面只出现压应 力，求P2的偏心距e。
3、复杂变形
基本变形
（1）、分析外力法 ——观察法： 利用基本变形的受力特点判断杆件的变形；
(2)分解外力
Fx F Fy
(3) 外力向轴线上简化
如何判断构件的变形类型？ 1 试分析下图杆件的变形类型。
2 试分析下图杆件的变形类型。
l F
a
3 试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
工程实例
§８-2 拉、弯组合变形
667 667
Fc160 16 0171N 300
934 934
许可F 压 4力 50 N 为 0405kN
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆的强 度。
T Wt
6、计算危险点处的主应力
M W
m ax x 2y1 2 xy24x 2y
1 242 0
22
T Wt
M W
T Wt
m inx 2y1 2 xy24x 2y
1 242 0
b
e
z y
h
（1） 外力 P 向轴向简化，判定基本变形
Mz P
拉弯组合；
eP
Mz
P
z
y
h
黑板面内弯曲； 以z轴为中性轴的平面弯曲
b
（2） 求危险面上的内力
轴力 FN P2KN
弯矩 Mz Pe120Nm
（3）危险点的判定
_+
z ++
_+
++
b
Mz P
eP Mz
Pz
y
h
竖杆的危险点在横截面的 内侧边缘处 ;
M2 My2Mz2
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形
第三强度理论：
r3W 1 M2T2[]
第四强度理论：
r4W 1 M 20.7T 52[]
W 为抗弯截面系数， W d 3 32
WD3 14 32
M、T 为危险面的弯矩和扭矩。
例 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力
在小变形和线弹性条件下， 杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响；
即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变 形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很 小可以忽略）；
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下 杆件内应力的叠加；
组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应 力及叠加法为基础。
（4）立柱横截面的应力分布
t.max
c.max
（5）立柱横截面的最大应力
t.max
Mz0 Iyc
FN A
F 350
M FN
425103F0.075 F
5.31105
1
51
03
66F7Pa
y1 y c
z0
z1
150
50
zc
c.m axM Iyc1zFAN
y
z
S=90KN
P=100KN
0
x
m=100KN
（1）外力简化，判基本变形 轴向拉伸； 双向弯曲； 扭转；
（2）作内力图 ， 判断危险截面 危险截面 固定端截面
y z
T=5KN
0
S=90KN
My=5KNm 100KN
x
100KN
FN
100KN
My
5KNm
Mz
T
10KNm
5KNm
（3）危险截面上内力
My Mz
T
F2 F1
F1ab/L F2ab/L
Me
4、危险面上内力
5、弯矩矢量和
WWy Wz
M2 My2Mz2
中性轴的位置
M 矢量方位
6、考察应力分布规律，确定危险点位置
7、危险点处应力
8、提取危险点处原始单元体
T Wt
M W
9、计算危险点处主应力
M W
T Wp
r3 1 3
r41 2 [(1 2)2 (2 3 )2 (3 1 )2]
M W
T Wp
第二组相当应力计算公式可用吗？
r3 242[]
r4 232[]
第三组相当应力计算公式可用吗？
r3W 1 M2T2[] r4W 1 M 20.7T 52[]
1212 242
2 0
3212 242
1212 242
2 0
3212 242
7、计算危险点处的相当应力
第三强度理论：
r31 3
r3 242[]
Wt 2W
r3W 1 M2T2[]
1212 242
2 0
3212 242
第四强度理论的相当应力：
第一组相当应力计算公式 可用吗？
m ax x 2y1 2 xy24x 2y
1 242 0
22
m inx 2y1 2 xy24x 2y
1 242 0
22
1212 242
2 0
3212 242
bPh22e6
横截面上不产生拉应力的条件 σtP1 AP2bP2 2he60
e =10cm
例4：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的最 大压应力是原来不开槽的几倍。
P
P
1
1
aa
aa
未开槽前 立柱为轴向压缩
P
P
1N AP A(2P a)24P a2
120N.m
危险截面E 左处
危险面上内力 T 300N.m
M My2Mz2 17N 6.m （3）由强度条件设计d
r3
M2T2
W
d 3 W
32
d 3
32
M2 T2
3.8 2 1 3 0 m 3.8 2 mm
例题 2 某圆轴受力如图所示。已知圆轴的直 径 D= 100mm ，杆长 L=1m ,材料的许用应力 []=160MPa。 试按第三强度理论进行强度较核。
1
1
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
aa
aa
P Pa/2
1
1
2N AW M2a P a1 6P 2aa 2 a22 aP 2
开槽后立柱的最大压应力 未开槽前立柱的最大压应力
2P a2 P 4a2
8
1、在矩形截面杆的中间截面挖去t/2=5mm的槽。 P＝10KN， 杆件的许用应力[σ]＝160MPａ。 校核杆件的强度。
叠加
形成构件在组合变形下的内力、应力、应变、位移。
分解
叠加
组合变形
基本变形
组合变形分析
2、叠加原理：
如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，
在小变形条件下，组合变形构件的内力，应力，变形等力 学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响 应的叠加;
且与各单独受力的加载次序无关。
叠加原理的应用条件
y1 y c
z0
z1
150
50
150
截面面积 A150m 00m 2
50
形心位置
zc
z0 75mm z1 12m 5 m
计算形心主惯性矩
Iyc 5.31107mm 4
（3）求内力
F 350
M
FN F
M F35 70 513 0
42 F 5 1 3 0 N.m
FN
F A
t ,max
c,max
+=
t ,max
c,max
t,max
Fl Wy
F A
c,max
Fl Wy
F A
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c,max
Fl
50
150
42551.3013F 1005.12515F103
93F4Pa
（6）强度条件
t.max66F7
c.max93F4
t.m a6 x F 67t c .m a9 x F 3 4 c
Ft30 16 0450N 00
P1 P2
m
m
ze
b
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
m
m
m
P1 +P2
M z=P2e
m
压弯组合变形； 黑板面内发生平面弯曲
轴向压力 弯矩
P P FN
1
2
Mz P2e
2、分析横截面上的应力
z
+_
_-
+_
--
轴力产生压应力
σ'PP1P2 AA
弯矩产生的最大拉应力
"Mz Wz
4、计算危险点处的正应力
_+
tm
FN ax A
Mz Wz
158MPa
_
+
tmax []
立柱满足强度条件。
z ++
++
例3 矩形截面柱。 P1的作用线与杆轴线 重合，P2作用在 y 轴 上。已知， P1= P2=80KN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的 m—m截面只出现压应 力，求P2的偏心距e。
3、复杂变形
基本变形
（1）、分析外力法 ——观察法： 利用基本变形的受力特点判断杆件的变形；
(2)分解外力
Fx F Fy
(3) 外力向轴线上简化
如何判断构件的变形类型？ 1 试分析下图杆件的变形类型。
2 试分析下图杆件的变形类型。
l F
a
3 试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
工程实例
§８-2 拉、弯组合变形
667 667
Fc160 16 0171N 300
934 934
许可F 压 4力 50 N 为 0405kN
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆的强 度。
T Wt
6、计算危险点处的主应力
M W
m ax x 2y1 2 xy24x 2y
1 242 0
22
T Wt
M W
T Wt
m inx 2y1 2 xy24x 2y
1 242 0
b
e
z y
h
（1） 外力 P 向轴向简化，判定基本变形
Mz P
拉弯组合；
eP
Mz
P
z
y
h
黑板面内弯曲； 以z轴为中性轴的平面弯曲
b
（2） 求危险面上的内力
轴力 FN P2KN
弯矩 Mz Pe120Nm
（3）危险点的判定
_+
z ++
_+
++
b
Mz P
eP Mz
Pz
y
h
竖杆的危险点在横截面的 内侧边缘处 ;
M2 My2Mz2
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形
第三强度理论：
r3W 1 M2T2[]
第四强度理论：
r4W 1 M 20.7T 52[]
W 为抗弯截面系数， W d 3 32
WD3 14 32
M、T 为危险面的弯矩和扭矩。
例 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力
在小变形和线弹性条件下， 杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响；
即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变 形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很 小可以忽略）；
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下 杆件内应力的叠加；
组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应 力及叠加法为基础。
（4）立柱横截面的应力分布
t.max
c.max
（5）立柱横截面的最大应力
t.max
Mz0 Iyc
FN A
F 350
M FN
425103F0.075 F
5.31105
1
51
03
66F7Pa
y1 y c
z0
z1
150
50
zc
c.m axM Iyc1zFAN
y
z
S=90KN
P=100KN
0
x
m=100KN
（1）外力简化，判基本变形 轴向拉伸； 双向弯曲； 扭转；
（2）作内力图 ， 判断危险截面 危险截面 固定端截面
y z
T=5KN
0
S=90KN
My=5KNm 100KN
x
100KN
FN
100KN
My
5KNm
Mz
T
10KNm
5KNm
（3）危险截面上内力
My Mz
T
F2 F1
F1ab/L F2ab/L
Me
4、危险面上内力
5、弯矩矢量和
WWy Wz
M2 My2Mz2
中性轴的位置
M 矢量方位
6、考察应力分布规律，确定危险点位置
7、危险点处应力
8、提取危险点处原始单元体
T Wt
M W
9、计算危险点处主应力
M W
T Wp
r3 1 3
r41 2 [(1 2)2 (2 3 )2 (3 1 )2]
M W
T Wp
第二组相当应力计算公式可用吗？
r3 242[]
r4 232[]
第三组相当应力计算公式可用吗？
r3W 1 M2T2[] r4W 1 M 20.7T 52[]
1212 242
2 0
3212 242