大学工程力学第9章组合变形
合集下载
工程力学 (杨庆生 崔芸 龙连春 著) 科学出版社 课后答案 第9章
m ( F ) 0 P 1 Q 0.5 0 Q 2 P
mA ( F ) 0 1.5Q 3.5P 5 FB 0 FB 1.3P mB ( F ) 0 1.5P 3.5Q 5FA 0 FA 1.7 P
课
P 2. 4 4 2. 4 9.6(kN m) 2 8 2 P =2.561(kN ) FN cos 2 2 22 2.42
w.
9.6
A
25
-
2.561
+
FN （kN
25
z
co
）
FQ D2
M
M 图（ kN .m ）
m
P/2
补充 2： 水塔盛满水时连同基础总重量为 G， 在离地面 H 处， 受一水平风力合力为 P 作用， 圆形基础直径为 d,基础埋深为 h，若基础土壤的许用应力[σ]=300kN/m ，试校核基础的承载
梁上各横截面上轴力弯矩均为常2510253应力分析判危险点如右所示图整个横截面上均有n引起的均布的拉应力my引起后拉前压的弯曲应力mz引起上拉下压的弯曲应力点于d100025pa1010101010206060mpa140mpa四点的应力值
课后答案网，用心为你服务！
大学答案 --- 中学答案 --- 考研答案 --- 考试答案 最全最多的课后习题参考答案，尽在课后答案网（）！ Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨，以关注学生的学习生活为出发点， 旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。 爱校园（） 课后答案网（） 淘答案（）
ww
w.
max
（4）强度计算选择槽钢的型号：
1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：
工程力学弯扭组合
试按第四强度理论校核轴的强度。
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
上海应用技术学院
Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
上海应用技术学院
例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
上海应用技术学院
㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
上海应用技术学院
Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
上海应用技术学院
例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支 承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许 用应力[s ]=100 MPa。 试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
上海应用技术学院
㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析 由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点： 取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b
工程力学第九章杆件变形及结构的位移计算
应的（直线图形）的竖标，再除以杆的弯曲刚度。 应用图乘法计算时，应注意以下几点：
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
材料力学-9-组合受力与变形
Nanjing University of Technology
材料力学 (9)
材料力学
第9章 组合受力与变形
第9章 组合受力与变形
一、工程实例
烟囱 传动轴 立柱
自重 →轴向压缩 +水平方向的风力 →弯曲
齿轮垂直啮合力 →弯曲 +齿轮水平啮合力 →扭转
二、概念 组合变形：构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变 形,则构件的变形称为组合变形。
y x z y
9.1 斜弯曲
FPz FPy
例题1
FPy
x
解：1.外力分析，建立坐标系方向如 图所示
FPz FPsin 5, FPy FP cos5
2. 内力分析（绘制内力图）
中间截面为梁的危险截面。
1 M z max FPy 4 FP cos 5 4
FPz
z
My图
FP
F
F
F FN N A
M max
M max W
l/2
l/2
讨论：
FN M max FN M max FN M max 3.横截面上中性轴的位置
在弯矩与轴力同时作用时，中性轴一定不通过横截面的形心，其具体 位置为应力为零的位置，可以具体求解出来。 应用：工程中混凝土柱抗压能力强，可以在截面施加偏心荷载，使得截 面上只有压应力，无拉应力。
MZ
z
M max＝ ＋ z Wy Wz
max＝
× ？
My
My Mz ＋ Wz Wy
My
9.1 斜弯曲 例题1
一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可 以简化为简支梁。图中l=4 m。大梁由32a热轧普通工字钢 制成，许用应力＝160MPa 。起吊的重物的重量FP＝80kN ，并且作用在梁的中点，位于yoz平面内，作用线与y轴之间 的夹角＝5。 试校核: 吊车大梁的强度是否安全？
材料力学 (9)
材料力学
第9章 组合受力与变形
第9章 组合受力与变形
一、工程实例
烟囱 传动轴 立柱
自重 →轴向压缩 +水平方向的风力 →弯曲
齿轮垂直啮合力 →弯曲 +齿轮水平啮合力 →扭转
二、概念 组合变形：构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变 形,则构件的变形称为组合变形。
y x z y
9.1 斜弯曲
FPz FPy
例题1
FPy
x
解：1.外力分析，建立坐标系方向如 图所示
FPz FPsin 5, FPy FP cos5
2. 内力分析（绘制内力图）
中间截面为梁的危险截面。
1 M z max FPy 4 FP cos 5 4
FPz
z
My图
FP
F
F
F FN N A
M max
M max W
l/2
l/2
讨论：
FN M max FN M max FN M max 3.横截面上中性轴的位置
在弯矩与轴力同时作用时，中性轴一定不通过横截面的形心，其具体 位置为应力为零的位置，可以具体求解出来。 应用：工程中混凝土柱抗压能力强，可以在截面施加偏心荷载，使得截 面上只有压应力，无拉应力。
MZ
z
M max＝ ＋ z Wy Wz
max＝
× ？
My
My Mz ＋ Wz Wy
My
9.1 斜弯曲 例题1
一般生产车间所用的吊车大梁，两端由钢轨支撑，可 以简化为简支梁。图中l=4 m。大梁由32a热轧普通工字钢 制成，许用应力＝160MPa 。起吊的重物的重量FP＝80kN ，并且作用在梁的中点，位于yoz平面内，作用线与y轴之间 的夹角＝5。 试校核: 吊车大梁的强度是否安全？
工程力学-组合变形
y1 y c
z0
z1
150
50
150
截面面积 A150m 00m 2
50
形心位置
zc
z0 75mm z1 12m 5 m
计算形心主惯性矩
Iyc 5.31107mm 4
（3）求内力
F 350
M
FN F
M F35 70 513 0
42 F 5 1 3 0 N.m
FN
分析构件的变形
工程实例
绞车轴的弯曲变形
绞车轴的扭转变形
工程实例
工程实例
工程实例
1、外力向轴线简化，判定基本变形 弯扭组合 且为单向弯；
2、作内力图，确定危险面
My 3FL
T
FD/2
3 危险面上的内力
4、危险面上应力的分布规律，确定危险点
5、提取危险点处原始单元体
M W
bPh22e6
横截面上不产生拉应力的条件 σtP1 AP2bP2 2he60
e =10cm
例4：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的最 大压应力是原来不开槽的几倍。
P
P
1
1
aa
aa
未开槽前 立柱为轴向压缩
P
P
1N AP A(2P a)24P a2
667 667
Fc160 16 0171N 300
934 934
许可F 压 4力 50 N 为 0405kN
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆的强 度。
工程力学-组合变形
10 组合变形1、斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念；2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定；如双向偏心拉伸, 中性轴方程为p po o22y zz y1z y0i i++⋅=3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。
4、截面核心。
10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形?图10.1解题范例[解]（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。
（b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。
（c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。
（d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。
10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。
图10.2[解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。
(b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。
(c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。
(e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。
(f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。
(g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。
10.3分析图10.3 示构件中(AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形?图10.3[解] AB段发生弯曲变形，BC段发生弯曲、扭转变形；CD段发生拉伸、双向弯曲变形。
10.4一悬臂滑车架如图10.4 所示，杆AB为18号工字钢（截面面积30.6cm2，Wz=185cm3），其长度为l=2.6m。
试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
Bl/2F20kN300CDAl图10.4[解]取AB为研究对象，对A点取矩可得NBCYF12.5kN=则3225==NBCXNABFF分别作出AB 的轴力图和弯矩图:kNll /232254FlkN.m轴力作用时截面正应力均匀分布，AF N=σ（压） 弯矩作用时截面正应力三角形分布，WzM=σ（下拉上压） 可知D 截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94.9MPa （压10.5如图 10.5 所示,截面为 16a 号槽钢的简支梁,跨长 L=4.2m, 受集度为 q 的均布荷载作用 ,q=2KN/m 。
材料力学 第9章组合变形
第9章 组 合 变 形
提要：本章在杆件各种基本变形的基础上，进一步讨论在工程实际中常见的斜弯曲、 拉伸(压缩)与弯曲、偏心压缩(拉伸)、弯曲与扭转等几种组合变形时的强度问题。在叠加原 理的基础上，分析讨论了在组合变形情况下对危险截面及危险点的确定方法，进而给出了 各种组合变形的强度条件。
9.1 组合变形的概念
明挠曲线所在纵向平面比外力所在纵向平面的倾角要大。当 Iz I y 比值越大，即横截面越 狭长时，即使ϕ 值很小，也会引起弯曲平面很大的倾角，其危险点的应力亦会显著增大。
计算表明，若矩形截面高宽比 h b = 3.3 ，外力 F 的倾角 ϕ = 5D 时，其 β = 44D ，说明
f y ≈ fz ，此时横截面上的最大正应力 σ max 较 ϕ = 0D 时的正应力将增大约 30%。对于高而狭
= 190.8 ×10−6 m3
查表试选用 No.18 工字钢，其Wz = 185cm3 ，Wy = 26cm3 。所以
σ max
=
7
×
103
⎛ ⎜
⎝
sin 20D 26 ×10−6
态均为单向应力状态，所以，梁的强度条件为：
[ ] σ max
=
M
⎛ sinϕ ⎜⎜⎝ I y
zmax
+
cosϕ Iz
⎞ ymax ⎟⎟⎠
≤
σ
即
[ ] σ max =
My Wy
+ Mz Wz
≤
σ
(9.2)
同平面弯曲一样，危险点应在离截面中性轴最远的点处。而对于这类具有棱角的矩形 截面梁，其危险点的位置均应在危险截面的顶点处，所以较容易确定。但对于图 9.4 所示 没有棱角的截面，要先确定出截面的中性轴位置，才能确定出危险点的位置。
提要：本章在杆件各种基本变形的基础上，进一步讨论在工程实际中常见的斜弯曲、 拉伸(压缩)与弯曲、偏心压缩(拉伸)、弯曲与扭转等几种组合变形时的强度问题。在叠加原 理的基础上，分析讨论了在组合变形情况下对危险截面及危险点的确定方法，进而给出了 各种组合变形的强度条件。
9.1 组合变形的概念
明挠曲线所在纵向平面比外力所在纵向平面的倾角要大。当 Iz I y 比值越大，即横截面越 狭长时，即使ϕ 值很小，也会引起弯曲平面很大的倾角，其危险点的应力亦会显著增大。
计算表明，若矩形截面高宽比 h b = 3.3 ，外力 F 的倾角 ϕ = 5D 时，其 β = 44D ，说明
f y ≈ fz ，此时横截面上的最大正应力 σ max 较 ϕ = 0D 时的正应力将增大约 30%。对于高而狭
= 190.8 ×10−6 m3
查表试选用 No.18 工字钢，其Wz = 185cm3 ，Wy = 26cm3 。所以
σ max
=
7
×
103
⎛ ⎜
⎝
sin 20D 26 ×10−6
态均为单向应力状态，所以，梁的强度条件为：
[ ] σ max
=
M
⎛ sinϕ ⎜⎜⎝ I y
zmax
+
cosϕ Iz
⎞ ymax ⎟⎟⎠
≤
σ
即
[ ] σ max =
My Wy
+ Mz Wz
≤
σ
(9.2)
同平面弯曲一样，危险点应在离截面中性轴最远的点处。而对于这类具有棱角的矩形 截面梁，其危险点的位置均应在危险截面的顶点处，所以较容易确定。但对于图 9.4 所示 没有棱角的截面，要先确定出截面的中性轴位置，才能确定出危险点的位置。
工程力学组合变形
C点的正应力表达式变为
取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程
y
O
z
中性轴
*
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。
添加标题
01
弯矩Mz=Mez 引起的正应力
添加标题
03
A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。
添加标题
05
弯矩My=Mey 引起的正应力
添加标题
02
按叠加法，得C点的正应力
添加标题
04
在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为
添加标题
06
*
利用惯性矩与惯性半径间的关系
*
*
危险点：m-m截面上
角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远
中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程
强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为
边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。
得
若中性轴与AB 边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为
b
6
6
h
C
z
y
b
h
B
A
D
h
6
6
b
取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程
y
O
z
中性轴
*
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。
添加标题
01
弯矩Mz=Mez 引起的正应力
添加标题
03
A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。
添加标题
05
弯矩My=Mey 引起的正应力
添加标题
02
按叠加法，得C点的正应力
添加标题
04
在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为
添加标题
06
*
利用惯性矩与惯性半径间的关系
*
*
危险点：m-m截面上
角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远
中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程
强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为
边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。
得
若中性轴与AB 边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为
b
6
6
h
C
z
y
b
h
B
A
D
h
6
6
b
新编工程力学教程[杨庆生等编著]d9
![新编工程力学教程[杨庆生等编著]d9](https://img.taocdn.com/s3/m/202eb72e52ea551810a68754.png)
P、my、mz在截面上均产生正应力，叠加即
可得到杆件上任意点的应力。
若已知截面尺寸，求某横截面四个角点的应力。
mz y D b
P x my
O
z C
A
h
P P zP P yP P M y Mz 2 2 sA bh bh hb A W y Wz 6 6 P M y Mz P P zP P yP sC 2 2 A W y Wz bh bh hb 6 6
Py
My B z C y D A Mz y
Mz s Wz My s Wy
bh2 Wz 6
hb 2 Wy 6
叠加，A、C点应力最大：
Mz M y s s s Wz W y
8
M代绝对值，应力为拉应力或压应力由弯矩方向确定。 应力同向相加，反向相减。
9.2斜弯曲的强度计算
取梁AB为研究对象 P 4 20 24kN 横梁产生压缩与弯曲组合变形
25a号工字钢
A 48.5cm
2
由平衡条件得： FAy FBy 12kN
FAx FBx FBy tan 30
WZ Biblioteka 402cm3 20.8kN
(2)内力分析：
（3）应力分析：
梁中点D截面为危险截面。
由于危险点只有正应力，强度条件与平面弯曲相同。
梁上的最大应力σmax≤许可应力[σ]
s t max s t
处的强度。
s c max s c
若材料抗拉压能力相同，则只需校核应力绝对值最大
9
例题9-1 矩形截面悬臂梁，截面宽度为b=90mm ，高度 h=180mm ，梁长为 2l ，
工程力学9.1到9.3
(2) 应力分析。如图9-3c所示，根据立柱横截面上的内力分 析，立柱拉伸变形时，m-m截面上各点所受拉应力相等。立 柱发生弯曲变形时，左右两侧边缘处各点正应力最大（见图 9-3d）。其值分别为
9．2 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形
mm m z y
d
e mF
F
e
M
F
FN
σ'
σ" σ‘ +σ"
9-3 钻床立柱的组合变形分析
FAy
FBy
F 2
7.75 103 N
9．2 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形
1.5m
C
l=3.4m
A
D
B
l/2
l/2
G
FAy A FAx
FN A
D FB
FBy
F FBx B
D
Bx
M
13.2kN·m
A
D
x B
σ' z
σ" σmax=σ'+σ"
y
17.6kN 图9-4 简易起吊机横梁的组合变形分析
9．2 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形
解 （1）内力分析。假想将立柱沿m-m截面截开，取上半部分 作为研究对象，如图9-3b所示。上半部分在偏心载荷及截面内力 作用下处于平衡状态。由平衡条件求得m-m截面上的轴力与弯矩 分别为
FN=F=15×103N M=Fe=15×103×0.4N·m=6×103 N·m FN使立柱产生轴向拉伸变形，M使立柱产生弯曲变形，立柱 产生轴向拉伸与弯曲的组合变形。
9．1 概述
9．1．2 分析组合变形问题的基本思路
解决组合变形强度计算问题的基本方法是运用叠加原理。其 具体过程为：
9．2 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形
mm m z y
d
e mF
F
e
M
F
FN
σ'
σ" σ‘ +σ"
9-3 钻床立柱的组合变形分析
FAy
FBy
F 2
7.75 103 N
9．2 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形
1.5m
C
l=3.4m
A
D
B
l/2
l/2
G
FAy A FAx
FN A
D FB
FBy
F FBx B
D
Bx
M
13.2kN·m
A
D
x B
σ' z
σ" σmax=σ'+σ"
y
17.6kN 图9-4 简易起吊机横梁的组合变形分析
9．2 轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形
解 （1）内力分析。假想将立柱沿m-m截面截开，取上半部分 作为研究对象，如图9-3b所示。上半部分在偏心载荷及截面内力 作用下处于平衡状态。由平衡条件求得m-m截面上的轴力与弯矩 分别为
FN=F=15×103N M=Fe=15×103×0.4N·m=6×103 N·m FN使立柱产生轴向拉伸变形，M使立柱产生弯曲变形，立柱 产生轴向拉伸与弯曲的组合变形。
9．1 概述
9．1．2 分析组合变形问题的基本思路
解决组合变形强度计算问题的基本方法是运用叠加原理。其 具体过程为：
工程力学-弯扭组合
M
∴
d 3
32 M T π[σ ]
2
图
664669 N· mm
3
32 1940.9 664.7 π 100 10
6
2
= 0.0593 m = 59.3 mm T图 圆整，取： d = 60 mm
上海应用技术学院
18 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
㊉
|M|max=F1l T = Me
上海应用技术学院
FN=F2
O T O
㊉
Me
x x
3. 应力分析 a点为危险点： 取单元体：
F1
s
a
s
tT tT
σ σM σ N
τT T Wp T 2W
a b A M O
6 Me B
F2
l
M W
FN A
㊀
x F2
㊉
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T M FN σ σM σN O W A
M
Fy
A
y M2
B
F'y
C D
13 x
Fz T
z
1kN· m
㊉
F'z
My
z
Mz
O Mz O
㊀
0.568kN· m
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O
∴
d 3
32 M T π[σ ]
2
图
664669 N· mm
3
32 1940.9 664.7 π 100 10
6
2
= 0.0593 m = 59.3 mm T图 圆整，取： d = 60 mm
上海应用技术学院
18 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
㊉
|M|max=F1l T = Me
上海应用技术学院
FN=F2
O T O
㊉
Me
x x
3. 应力分析 a点为危险点： 取单元体：
F1
s
a
s
tT tT
σ σM σ N
τT T Wp T 2W
a b A M O
6 Me B
F2
l
M W
FN A
㊀
x F2
㊉
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T M FN σ σM σN O W A
M
Fy
A
y M2
B
F'y
C D
13 x
Fz T
z
1kN· m
㊉
F'z
My
z
Mz
O Mz O
㊀
0.568kN· m
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O
工程力学第9章组合变形
z c
z
例
结构如图所示，已知最大吊重Fmax = 8kN， AB为工字钢梁， 材料为Q235，许用应力[]=100MPa ，试选用工字钢型号。
D
800
C A B
2500 1500
F
分析:
D
ห้องสมุดไป่ตู้800
C A B
2500 1500
F
AB梁由于受到CD杆（二 力杆）的拉力，所以在AC 段有轴向内力，同时AB梁 在载荷F的作用下弯曲， 因此有弯曲产生的正应力。 在AC段的正应力应当是轴 向内力的正应力和弯曲正 应力的叠加。
2 2
r4 2 3 2 [ ]
r4
2 M 2 0.75 M x [ ] W
r3
2 M 2 Mx [ ] W
弯扭组合变形的计算
如图所示，折杆的AB段为圆截面，AB⊥CB，已知杆AB直径 d = 100 mm，材料的许用应力[σ] = 80 MPa。试按第三强 度理论由杆AB的强度条件确定许用荷载[F]。
M z ( x ) Fy x F sin x
y
2. 应力：
x
Fx
z
y
Fy
x
F
k
FN
FN ( x ) A
Mz k
M z ( x ) yk Iz
z
k
在 FN 作用下： y
在 Mz 作用下： y
z
k
FN
FN ( x ) A
z
FN
Mz
Mz k
M z ( x ) yk Iz
1、先计算出CD的杆长
D
800
l 25002 8002 2620 mm 2.62m
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.2 斜 弯 曲
在以下两种上情形下会产生斜弯曲：
FP1
x
x
FP2
FP
外力作用在同一非主 轴平面内时。
外力都作用对称面(主轴平面) 内，但不是同一平面内时。
显然，斜弯曲是两个平面弯曲组成的组合变形形式， 可分解为平面弯曲问题再用叠加法求解。
17
水利土木工程学院工程力学课程组
9.6 连接件的强度计算
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
在前面各章中，分别讨论了杆件在轴向拉伸或压缩、 剪切、扭转和平面弯曲四种基本变形条件下的强度和刚度 问题。但在工程实际中，受力构件的发生的变形形式往往 都是由两种或两种以上的基本变形所构成的。
构件在荷载作用下，同时发生两种或两种以上的基本 变形，称为组合变形。
第9章 组 合 变 形
9.2 斜 弯 曲
1. 外力简化
将外载沿横截面的两个形心主轴分解， 得到两个平面弯曲。
Fy F sin j,
Fz F cosj
z
x
Fz
j
j
z
Fz
Fy
y
L
F
F
Fy
y
18
水利土木工程学院工程力学课程组
2. 内力分析
第9章 组 合 变 形
9.2 斜 弯 曲
M F(L x) M z Fy (L x) F(L x)sin j M sin j M y Fz (L x) F(L x) cosj M cosj
斜弯曲
9.1 组合变形概述 q
q
qy qz
8
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
压 弯 组 合 变 形
9
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形 9.1 组合变形概述
拉扭组合变形
10
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
F
P
9.1 组合变形概述 FP
Fy
F
z
Mz
x x
My
y
20
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.2 斜 弯 曲
3. 应力计算
总应力 M ( z cosj y sin j)
Iy
Iz
zm
xm
y L
M F(L x)
j
Fz
Fy
F
z
Mz
x x
My
y
21
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
另外，构件的强度条件通常起着决定性的作用，本章 重点介绍组合变形问题的强度设计。
14
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
组合变形的强度设计
1. 外力简化 2. 内力分析 3. 应力计算 4. 强度设计
将荷载简化，使得每一个或一组外力产生 一种基本变形。 分析各基本变形的内力变化规律，确定构 件可能的危险截面及其内力分量。
按基本变形分析各内力分量引起的应力分 布规律，用叠加原理求危险点的应力。
按强度理论校核强度、选择截面或确定容 许荷载。
15
水利土木工程学院工程力学课程组
第15章 组合变形
9.1 组合变形概述 9.2 斜弯曲 9.3 拉伸（压缩）与弯曲 9.4 偏心压缩（拉伸） 9.5 弯扭组合变形
9.6 连接件的强度计算
9.2 斜 弯 曲
3. 应力计算 M ( z cosj y sin j)
Iy
Iz
横截面上正应力等于零的点的集合称为中性轴。由正应
力计算公式得中性轴方程为
M ( z0 cosj y0 sin j) 0
Iy
Iz
tan y0 Iz cotj
z0 I y
显然，中性轴是一条通过截面形
吊车梁传 来的压力 自重2
自重1
压弯组合
5
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
钻床立柱
拉弯组合变形
FN M
FP
6
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
M
F
N
F1 F2
拉弯组合变形
7
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
组合变形的研究方法——叠加法
若超出了线弹性范围内，或不满足小变形条件，构件 的各基本变形将会互相影响，叠加原理就不再适用，此时 可参照其它相关资料的介绍。而本章后涉及的内容，叠加 原理都是适用的。
在一般情况下，由于剪力对强度的影响远小于其它内 力，所以在组合变形下的强度计算中，可以忽略剪力引起 的切应力的影响。
zm
xm
y L
j
Fz
Fy
F
z
Mz
x x
My
y
19
水利土木工程学院工程力学课程组
3. 应力计算
第9章 组 合 变 形
9.2 斜 弯 曲
My引起的应力： Mz引起的应力：
M y z M z cosj
Iy
Iy
M z y M y sinj
Iz
Iz
zm
xm
y L
M F(L x)
j
Fz
第9章 组 合 变 形
第15章 组合变形
9.1 组合变形概述 9.2 斜弯曲 9.3 拉伸（压缩）与弯曲 9.4 偏心压缩（拉伸） 9.5 弯扭组合变形
9.6 连接件的强度计算
水利土木工程学院工程力学课程组
第15章 组合变形
9.1 组合变形概述 9.2 斜弯曲 9.3 拉伸（压缩）与弯曲 9.4 偏心压缩（拉伸） 9.5 弯扭组合变形
严格地说，所有构件的变形都是组合变形。如果只考 虑起主要作用的一种基本变形形式，而忽略其它变形的影 响，就是基本变形问题，否则就是组合变形问题。基本变 形的简化与组合变形的分析是工程力学的一项重要内容。
4
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
屋架传来 的压力
风 载
首先将外力系分解为可产生基本变形的几组外力，通 过对每一种基本变形条件下的内力、应力、变形进行分析 计算，然后再根据叠加原理，综合考虑在组合变形情况下 构件的危险截面的位置和危险点的应力状态，最后即可对 构件进行强度和刚度计算。
13
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
T
FP
弯扭组合变形
11
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
弯 扭 组 合 变 形
12
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
组合变形的研究方法——叠加法
在小变形和线弹性范围内，构件受力变形后仍可按原 始尺寸和形状进行计算，构件上各个外力所引起的变形是 相互独立的。此时，组合变形问题就可利用叠加原理分解 为基本变形问题去处理。
心的直线，且当Iy = Iz时，中性轴 与外力的作用线垂直。
第9章 组 合 变 形
9.2 斜 弯 曲
在以下两种上情形下会产生斜弯曲：
FP1
x
x
FP2
FP
外力作用在同一非主 轴平面内时。
外力都作用对称面(主轴平面) 内，但不是同一平面内时。
显然，斜弯曲是两个平面弯曲组成的组合变形形式， 可分解为平面弯曲问题再用叠加法求解。
17
水利土木工程学院工程力学课程组
9.6 连接件的强度计算
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
在前面各章中，分别讨论了杆件在轴向拉伸或压缩、 剪切、扭转和平面弯曲四种基本变形条件下的强度和刚度 问题。但在工程实际中，受力构件的发生的变形形式往往 都是由两种或两种以上的基本变形所构成的。
构件在荷载作用下，同时发生两种或两种以上的基本 变形，称为组合变形。
第9章 组 合 变 形
9.2 斜 弯 曲
1. 外力简化
将外载沿横截面的两个形心主轴分解， 得到两个平面弯曲。
Fy F sin j,
Fz F cosj
z
x
Fz
j
j
z
Fz
Fy
y
L
F
F
Fy
y
18
水利土木工程学院工程力学课程组
2. 内力分析
第9章 组 合 变 形
9.2 斜 弯 曲
M F(L x) M z Fy (L x) F(L x)sin j M sin j M y Fz (L x) F(L x) cosj M cosj
斜弯曲
9.1 组合变形概述 q
q
qy qz
8
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
压 弯 组 合 变 形
9
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形 9.1 组合变形概述
拉扭组合变形
10
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
F
P
9.1 组合变形概述 FP
Fy
F
z
Mz
x x
My
y
20
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.2 斜 弯 曲
3. 应力计算
总应力 M ( z cosj y sin j)
Iy
Iz
zm
xm
y L
M F(L x)
j
Fz
Fy
F
z
Mz
x x
My
y
21
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
另外，构件的强度条件通常起着决定性的作用，本章 重点介绍组合变形问题的强度设计。
14
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
组合变形的强度设计
1. 外力简化 2. 内力分析 3. 应力计算 4. 强度设计
将荷载简化，使得每一个或一组外力产生 一种基本变形。 分析各基本变形的内力变化规律，确定构 件可能的危险截面及其内力分量。
按基本变形分析各内力分量引起的应力分 布规律，用叠加原理求危险点的应力。
按强度理论校核强度、选择截面或确定容 许荷载。
15
水利土木工程学院工程力学课程组
第15章 组合变形
9.1 组合变形概述 9.2 斜弯曲 9.3 拉伸（压缩）与弯曲 9.4 偏心压缩（拉伸） 9.5 弯扭组合变形
9.6 连接件的强度计算
9.2 斜 弯 曲
3. 应力计算 M ( z cosj y sin j)
Iy
Iz
横截面上正应力等于零的点的集合称为中性轴。由正应
力计算公式得中性轴方程为
M ( z0 cosj y0 sin j) 0
Iy
Iz
tan y0 Iz cotj
z0 I y
显然，中性轴是一条通过截面形
吊车梁传 来的压力 自重2
自重1
压弯组合
5
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
钻床立柱
拉弯组合变形
FN M
FP
6
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
M
F
N
F1 F2
拉弯组合变形
7
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
组合变形的研究方法——叠加法
若超出了线弹性范围内，或不满足小变形条件，构件 的各基本变形将会互相影响，叠加原理就不再适用，此时 可参照其它相关资料的介绍。而本章后涉及的内容，叠加 原理都是适用的。
在一般情况下，由于剪力对强度的影响远小于其它内 力，所以在组合变形下的强度计算中，可以忽略剪力引起 的切应力的影响。
zm
xm
y L
j
Fz
Fy
F
z
Mz
x x
My
y
19
水利土木工程学院工程力学课程组
3. 应力计算
第9章 组 合 变 形
9.2 斜 弯 曲
My引起的应力： Mz引起的应力：
M y z M z cosj
Iy
Iy
M z y M y sinj
Iz
Iz
zm
xm
y L
M F(L x)
j
Fz
第9章 组 合 变 形
第15章 组合变形
9.1 组合变形概述 9.2 斜弯曲 9.3 拉伸（压缩）与弯曲 9.4 偏心压缩（拉伸） 9.5 弯扭组合变形
9.6 连接件的强度计算
水利土木工程学院工程力学课程组
第15章 组合变形
9.1 组合变形概述 9.2 斜弯曲 9.3 拉伸（压缩）与弯曲 9.4 偏心压缩（拉伸） 9.5 弯扭组合变形
严格地说，所有构件的变形都是组合变形。如果只考 虑起主要作用的一种基本变形形式，而忽略其它变形的影 响，就是基本变形问题，否则就是组合变形问题。基本变 形的简化与组合变形的分析是工程力学的一项重要内容。
4
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
屋架传来 的压力
风 载
首先将外力系分解为可产生基本变形的几组外力，通 过对每一种基本变形条件下的内力、应力、变形进行分析 计算，然后再根据叠加原理，综合考虑在组合变形情况下 构件的危险截面的位置和危险点的应力状态，最后即可对 构件进行强度和刚度计算。
13
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
T
FP
弯扭组合变形
11
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
弯 扭 组 合 变 形
12
水利土木工程学院工程力学课程组
第9章 组 合 变 形
9.1 组合变形概述
组合变形的研究方法——叠加法
在小变形和线弹性范围内，构件受力变形后仍可按原 始尺寸和形状进行计算，构件上各个外力所引起的变形是 相互独立的。此时，组合变形问题就可利用叠加原理分解 为基本变形问题去处理。
心的直线，且当Iy = Iz时，中性轴 与外力的作用线垂直。