高中数学人教A版必修必修五基本不等式PPT精品课件

和定积最大，积定和最小
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 大值__14__S_2__；
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最
小值__2___P__.
注意：①各项皆为正数；
一“正”
②和为定值或积为定值；二“定”
③注意等号成立的条件. 三“相等”
3.4基本不等式:
ab a b 2
基本不等式的几何背景
D
a2 b2
b
G aF
C
A
A
HE
D
a
Ob
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
用 a和 ba 0,b 0代替a,b会得到什么？
深 入 探究 揭 示 本 质
基本不等式：a b aba 0,b 0
已知0 x 1 ,求函数y x1 3x的最大值。
3
例
解：∵0＜x＜1 ，∴1-3x＞0
3
构造和为定值
∴y=x（1-3x）=
1• 3
3x（1-3x）
1 (3x 1 3x)2 1
32
12
凑系数
当且仅当 3x=1-3x
即x=
1 6
时 ymax=
1 12
巅 峰回眸豁然开朗
小结评价
你会了 吗？
1、本节主要学习了基本不等式的证明与 初步应用。
2、注意公式的正用、逆用、变形使用。
3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 “等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光 彩。
小结：运用 a b ab (a 0,b 0) 时要注意下面三条： 2
（1）一正：各项均为正数。
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”， 否则会出现错误。
例1：(3)有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作 为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才 智，用这36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园 的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 x +2 y= 36 矩形菜园的面积为S=xy m2
由x 2y 2 x 2y得xy 162, S xy 162
当且仅当x=2y,即x=18，y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是,162m2
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy 2
x y 2 100
2(x y) 40
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 最短最短的篱笆是40m.
结论1.两个正数积为定值，则和有最小值
例1：(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面
【基础训练3】
1、 求函数 y 1 x(x 3) 的最小值.
x3
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多 少？
例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
例题讲解
例1、(1)当x>0时，x 1 2 ，当且仅当 x
x= 1 时取等号。
2若x 0，y 0且x • y 9,则x y的最小值是 6 ，
此时x y 3 .
解： x 0，y 0 x y 2 x • y 6
当且仅当x y 3时取等号。
两个正数积为定值P，和有最小值 2 。P
积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2(x + y)= 36 , x+ y =18
矩形菜园的面积为xy m2
xy
x 2
y =18/2=9
得 xy ≤ 81
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2
结论2.两个正数和为定值，则积有最大值
利用a b 2 ab
变式：判断以下命题是否正确
(1)因为y x 4 2 x
x•
Hale Waihona Puke Baidu
4 x
4, 所以ymin
4.
错。因为x和 1 不一定是正数
x
一正
(2)设x
R ,则y
x2
8 中,当x2 x
8 x
,
x
2时,
ymin
8;
错。因为x2 • 8 不是定值
x
二定
3若0 x ,则y sinx 9 2 9 6,
sinx
所以函数的最小值是6.
错。因为sin x 9
sin x
三相等
例2、若正数x, y满足x y 18,求xy的最大值。
解法一： x 0, y 0
x y 2 xy即2 xy 18
xy 81
当且仅当x y 9时取等号。
两个正数的和为定值，积有最大值。
利用a b 2 ab
你还有其他的解法吗？
公式变形：
ab
a
2
b
2
例2、若正数x, y满足x y 18,求xy的最大值。
解法二： x 0, y 0
xy x y 2 81 2
当且仅当x y 9时取等号。
解法三分析
令xy=z,则 Z=-x2+18x， 利用二次函数求某一区间的最值
变式1、若正数x, y满足2x y 18,求xy的最大值。
2
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式的几何解释：
D
半径不小于半弦
A
aCb B
E
剖析公式应用
深 入 探究 揭 示 本 质
a b ab 2
算术平均数 几何平均数
均值不等式
基本不等式可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数.
注意：（1）不等式使用的条件不同； （2）当且仅当a=b时取等号；
注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定
例
已知x＞1，求x＋ 1 的最小值以及取得 最小值时x的值。 x 1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0 构造积为定值
∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x 1 1 1 3
x 1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
x 1
于是x＝2或x＝0（舍去）
解： x 0, y 0
2xy 2x y 2 81 2
xy 81 2
当且仅当2x y即x 9 , y 9时取等号。 2
基础练习
1、已知 2x 3 y 2( x 0, y 0) 则x y 的
1
最大值是 6 ，此时x=
,y=
。
2、正数x, y满足x y 20,则lg x lg y的 最大值是 __2__ .