周炳坤激光原理与技术课件 第三章 高斯光束

w2 = w1
2、ABCD定律 将式（2.10.2）和式（2.10.10）代入式（2.10.7）
1 1 1 1 1 1 1 1 λ λ λ （2.10.11） = −i 2 = ( − ) −i 2 = ( −i 2 ) − = − q2 R2 πw2 R1 F πw2 R1 πw1 F q1 F
式中 q 1 和 q2 分别为入射高斯光束和出射高斯光束在薄透镜表面上的q参数。 ( R1 , w1 ) 和 ( R2 , w2 ) 分别为入射高斯光束和出射高斯光束在薄透镜表面上的球面 波曲率半径与光斑半径。式（2.10.11）与式（2.10.2）形式完全一致，即高斯光 束q参数经过薄透镜的变换规律与普通球面波经过薄透镜的变换规律完全一致。因此， q参数称为高斯光束的复曲率半径。 与式（2.10.6）类似，q参数也可表示为
由§2.2节知,傍轴光线通过光学系统的变换矩阵
⎡ r2 ⎤ ⎡ A B ⎤ ⎡ r1 ⎤ ⎢θ ⎥ = ⎢C D ⎥ ⎢θ ⎥ ⎦⎣ 1⎦ ⎣ 2⎦ ⎣
⎡ A B⎤ ⎡1 L⎤ TL = ⎢ ⎥ = ⎢0 1⎥ ⎣C D⎦ ⎣ ⎦
而焦距为F的薄透镜对傍轴光线的变换矩阵为
（2.10.3）
当光线在自由空间(或均匀各向同性介质)中行进距离L时，其变换矩阵为
1 1 λ = −i 2 q0 R (0) πw0
因此得到：
π w 02 q0 = i = if λ
（2.9.12）
结论：可以根据实际情况，选用三组表达方式中的任一组来表示高斯光束 特征。用 w0 或
w(z )及R(z)来描述高斯光束比较直观，用q参数研究高斯光
束的传输规律比较方便。
§ 3.1.4高阶高斯光束（自阅）
பைடு நூலகம்
（2.10.4）
⎡ A B⎤ ⎡ 1 0⎤ TF = ⎢ ⎥ = ⎢− 1 1⎥ ⎣C D⎦ ⎢ F ⎥ ⎣ ⎦
（2.10.5）
依次，球面波的传播规律式（2.10.1）及式（2.10.2）可以统一地写成
AR1 + B R2 = CR1 + D
播规律按式（2.10.6）由傍轴光线变换矩阵T确定。
（2.10.6）
（2.9.4） （2.10.8）
q0由(2.9.12)表示
这表示了式中高斯光束q参数在自由空间中的传播规律。式中
q 0 ≡ q (0 ) =
同理可以得到 q ( z ) = q + z 1 1 0 1
2 iπ w 0
λ = if
（2.10.9)
q2 ( z 2 ) = q0 + z 2 = q1 + ( z 2 − z1 ) = q1 + L
式中R(z) 和ω (z)由式（2.9.6）和式（2.9.4）表示 2 πw0 2 R ( z ) = z[1 + ( ) ] λz z λz 2 w( z ) = w0 1 + ( ) 2 = w0 1 + ( ) f πw0 将上面两式带入（2.10.7）式即可得到
2 πw0 q( z) = i + z = q0 + z λ
第三章
§3.1高斯光束的基本性质及特征参数 §3.2高斯光束的q参数的变换规律 §3.3高斯光束的聚焦 §3.4高斯光束的准直 §3.5高斯光束的自在现变换与稳定球面腔 §3.6光束衍射倍率因子
§ 3.1高斯光束的基本性质及特征参数
§ 3.1.1基模高斯光束
根据共焦腔的行波场所表示的高斯函数,沿Z轴方向传播的高斯光束可表示为
λ 2 L ( R1 − L )( R2 − L )( R1 + R2 − L ) w0 = （ ） π ( R1 + R2 − 2 L )
4
（2.9.3）
L( R1 − L)(R2 − L)(R1 + R2 − L) f = ( R1 + R2 − 2L) 2
2
本节高斯光束以束腰（ ）处作为相位计算的起点，行波场的高斯光 束是以 Z = − f 处作为相位计算起点。
1、用束腰半径 w0（或f）及束腰位置表征高斯光束 由式（2.9.1）与式（2.9.2）及ψ（z）式可知：一旦腰斑 w0及其位置确 定了，高斯光束的结构也就确定了。由f与 w0 的关系也可用f与束腰位置来表征 高斯光束。
2、用w(z)和R(z)表征高斯光束 由（2.9.4）和（2.9.6）式得到： πw 2 ( z ) 2 − 12 w 0 = w ( z )[1 + ( ) ] λR(z)
为光学系统
⎡ A B⎤ ⎢C D⎥，就可以追踪到通过光学系统的高 ⎣ ⎦
§ 3.2.3用q参数分析高斯光束的传输问题
已知： w 0 , l , F 求 ：l c 处之 wc 和
Rc
解:据式（2.10.8）和式（2.10.11）可列出 Z=0处： (0) = q0 q B处：
=
2 iπw0
λ
A处：q A C处： qC
结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R来描述，它的 传
§ 3.2.2高斯光束q参数的变换规律———ABCD公式
一、高斯光束q参数在自由空间中的传播规律 根据式（2.9.9）表示的q参数的定义
λ 1 1 = −i q(z) R(z) πw 2 ( z )
（2.10.7）
（2.9.6）
λ λ λ λ 2 w( z ) θ 0 = lim =2 = 0.6367 =2 = 1.128 （2.9.7） πw0 πf z w0 f z =→∞
结论：高斯光束在其传输轴线附近可以近似看作是一种非均匀球面波。其曲率 中心 不断改变，但横向振幅与强度保持高斯分布特性，等相位面始终为球面。
§ 3.1.3基模高斯光束的特征参数
λ R ( z ) 2 −1 z = R ( z )[ 1 + ( ) ] πw 2 ( z )
3.高斯光束的 q 参数 (2.9.1)式可改写为
（2.9.8）
因此给定了某位置(z)，就可得到w(z) 和R(z)，及 w0 ,也就确定了高斯光束
λ r2 1 z −ik [ −i 2 ] −i[ kz−arctg ] 2 R ( z ) πw ( z ) f
参数 q(z) 将高斯光束的两个基本参数 w(z) 和 R(z) 统一在了一个参数里了，
⎧ 1 ⎫ 1 = Re ⎨ ⎬ R(z) q(z) ⎭ ⎩ ⎧ 1 ⎫ π 1 Im ⎨ = − ⎬ w 2(z) λ q(z) ⎭ ⎩
由于 q ( 0 )
（2.9.11）
= q 0 , w( 0 ) = w0 , R ( 0) → ∞ , 由(2.9.9)式可以得到
z =0
§ 3.1.2基模高斯光束在自由空间的传输规律
式（2.9.1）和式(2.9.2)描述了高斯光束在自由空间中的传输规律，由此可 以得到高斯光束的基本性质： 2 1.基模高斯光束横向场振幅按高斯函数 1 心值的 e 的点所定义的光斑半径为
− r
e
w2( z )
分布振幅降落到中
w ( z ) = w0 1 + (
z 2 λz 2 ) = w0 1 + ( ) 2 f πw0
（2.9.4）
光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展 ，在 2.基模高斯光束的相移特性的相移因子
z = 0 处， w( z ) = w0达到极小值。
（2.9.5）
r2 z Φ 00 ( x , y , z ) = k ( z + ) − atctg 2R f
§ 3.2
高斯光束q参数的变换规律
§ 3.2.1普通球面波的传播规律
一、普通球面波的传播规律
图（2.10.1）普通球面波在自由空间的传播 如图普通球面波，曲率中心为0，曲率半径R(z)的传播规律为
R1 = R ( z1 ) = z1
R2 = R ( z 2 ) = z 2 R 2 = R1 + ( z 2 − z1 ) = R 1 + L
λ w(z) = w0
（2.9.2）
π w0 2 f = , w0 = λ
λf π
f 称为高斯光束的共焦参数或瑞利长度； R（z）为与传播轴线相交与z点的高斯光束等相位面的曲率半径。 当z等于f时， （z） 2w0 w = 对于一般稳定球面腔（R 、 2、 ）所产生的高斯光束w 及f与 R 、 2、 的关系为 0 1R L 1R L
该式与普通球面波在自由空间中的传播规律式（2.10.1）形式完全一致.
二、高斯光束 q 参数通过薄透镜时的变换规律———ABCD定律 1.高斯光束通过薄透镜变换后仍为高斯光束
如图入射高斯光束，分析出射光束。 （1）球面波 M 1 ( R1 ) ，反射球面波 M（R2） 满足式（2.10.2） 2 （2）由于是薄透镜，所以有两侧光斑面积相等 （2.10.10） （3）高斯光束为曲率中心和曲和率半径不断改变的球面波，但每一球面波经 薄透 镜变换时都能按照式（2.10.2）和式（2.10.10）得到一个对应的球面。因 此入射高斯光束经薄透镜变换后仍为高斯光束。如图。
= q0 + l = qB + lC
1 1 1 = − qB qA F
（2.10.13）
由上式，当已知w 0 , l , F 时，对于给定的
lC ，均可由上式得到 qC 。从而得到
w C , R C 。由式（2.10.13）得到
2 2 π w0 2 2 π w0 ) ) F ( l(F − l) − ( λ λ （2.10.16） +i q C = lC + F 2 2 πw0 2 πw0 2 (F − l)2 + ( ) (F − l)2 + ( ) λ λ 1.C在腰斑 R C → ∞，据式（2.9.11） Re⎧ 1 ⎫ = 0 由（2.10.16）式得 ⎨ q ⎬ ⎩ C⎭ 2 πw0 2 l(F − l) − ( ) λ lC + F =0 2 πw0 2 (F − l)2 + ( ) λ
—几何相移
描述了高斯光束在（
x, y, z ）处相对与原点（ 0,0,0 ）的相位滞后。
z f zλ
ψ （ z ）= arctg ( ) = arctg (
kz
的附加相位超前 kr 2 ——表示与横向坐标(x,y)有关的相位移动，表明高斯光束的等相位面是 2R 以R为半径的球面
πω
2 0
) ——高斯光束在空间行进z相对几何相移
2 πw0 2 R ( z ) = z[1 + ( ) ] λz
（2.9.6）
由该式可得到 当z=0时R(z)→∞ ,表明束腰处的等相位面为一平面 当z=±∞时R(z)→∞,表明离束腰无限远处的等相位面亦为平面，且曲率中心 就在束腰处 当z=±f时|R(z)|=2f,且|R(z)|达到极小值； 当0<z<f时，R(z)>2f,表明等相位面的曲率中心在[-f,∞]之间 当z>f时,z<R(z)<z+f,表明某相位面的曲率中心在[-f,0]之间 1 3.定义在基模高斯光束强度的 2 点的远场发散角 e
Aq 1 + B q2 = Cq 1 + D
这是高斯光束经任何光学系统变换时服从的ABCD公式。式中 对傍轴光线的变换矩阵。 当λ→∞时，波动光学就过渡到几何光学，q→R。 意义：只要知道了光学系统的变换矩阵 斯光束的q参数。由式（2.9.11）得到R, W。
（2.10.12）
⎡ A B⎤ ⎢C D⎥ ⎣ ⎦
r2 w2 ( z ) z r2 − i[ k ( z + ) − arctg ] f 2R
c ψ 00 x , y , z ） （ = e w( z )
−
e
（2.9.1）
式中：C为常数因子，其余各符号的意义为
r
k
2
= x
=
2
2 π
+ y
2
z 2 1+ ( ) f f2 f 2 z f R = R ( z ) = Z [1 + ( ）] = f ( + ) = z + z f z z
（2.10.1）
二、傍轴球面波通过薄透镜时的变换
,o 二个球面波的曲率中心o ' ,形成几何光学的物像关系
1 1 1 + = u v F
式中u为物距，v为像距，F为薄透镜焦距，由于 u = R1,−v = R2。所以上式可写成
1 1 1 = − R 2 R1 F
（2.10.2）
——其意义为物方有一曲率半径为R1 的球面波(不论是均匀的还是非均匀的)入射到 薄透镜上，则薄透镜就将此入射球面波变换成像方的新的曲率半径为R 2 的球面波
c ψ 00 ( x, y, z) = e w( z)
e
定义新参数q(z): 1 1 λ = − i q(z) R(z) πw 2 (z) 上式可简写成
(2.9.9)
− i [ kz − arctg z ] f
c ψ 00 ( x , y , z ) = e w( z)
r2 1 − ik 2 q
e
(2.9.10)