第14章连续时间：一阶微分方程

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14.7 SOLOW索烙增长模型

DOMAR模型的缺陷 – 悖论 原因在于特殊的生产函数假 设3，pp.607-608
κ
K dκ = ρdK或
≡ ρ = const.或
dκ dK =ρ = ρI (t ) dt dt

生产函数
K Q = f ( K , L) = Lf ( = k ,1) = Lφ ( k ) L
− ∫ u ( t ) dt dy (t ) − c − ∫ u ( t ) dt + u (t ) y (t ) = 0 ⇒ 通解：y (t ) = e e = Ae dt 非齐次方程的解 [恰当微分方程]

dy (t ) + u ( t ) y ( t ) = w( t ) dt 通解：y (t ) = e ∫
O
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14.6 定性图解法 – 相位图 分析


相位图 – 特殊一类的一阶线性微分方程的定性性质 – 时间路径依赖关系 dy dy = f ( y ) ≡ y (t )斜率 随y变化的定性性质 dt dt 斜率为正：y(t)随时间而递增；y(t)须向右移动 斜率为负：y(t)随时间而递减；y(t)须向左移动 斜率为零：y(t) 存在瞬时均衡

& = sLφ (k ) 解K & + kL & = Lk & K & + k λL & = Lk K & = sφ ( k ) − kλ ∴k
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14.7 SOLOW索烙增长模型 – 定性分析

& = sφ ( k ) − kλ SOLOW方程 k 定性分析 Q • 部分函数 sφ ( k ) = s L • 生产函数 – 投资比例，生产函数的数乘 • 线性部分 – 劳动力增长，资本-劳动力比率的线 性函数 K K d L dt kλ = λ =
− at = 通 解 : y ( t ) Ae − at = 特解 / 定解 : y ( t ) y ( 0 ) e
dy + ay = 0 dt
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14.1 常系数和常数项的一阶线性微分方程 – 续

非齐次方程
dy (t ) + ay (t ) = b, dt
− u ( t ) dt
( A + ∫ w( t ) e ∫
− u ( t ) dt
dt )
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14.4 恰当微分方程


∂F ∂F 全微分：dF ( y, t ) = dy + Fdt ∂y ∂t 恰当微分方程
基本思想
Mdy + Ndt = 0 ⇒ F ( y , t ) = c ∂F ∂F ∂M ∂N ,N = ∧ = iff ∃F ( y , t ) s.t. M = ∂y ∂t ∂t ∂y
14.1 常系数和常数项的一阶线性微分方程

一阶线性微分方程
dy (t ) + u ( t ) y ( t ) = w( t ) dt

常系数常数项的 一阶线性微分方程
dy (t ) + ay (t ) = b，a ≠ 0 dt

齐次方程
y (t ) b d[ − 2] a a = − a[ y ( t ) − b ] dt a a2
f ( y )dy + g (t )dt = 0

可简化为线性的方程 – 贝努利方程
dy + R (t ) y = T (t ) y m , Here m ≠ 0,1 dt
（通过变换，线性化处理）
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14.5 一阶一次非线性微分方程 – 续

稳定性
lim P(t ) = lim{[ P(0) − P ]e − kt + P } = P iff j( β + δ ) > 0
t →∞ t →∞
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14.2 市场价格的动态学 – 续

经济学解释
– 超额需求导致价格上升； – 供给曲线的斜率必须超过需求曲线的斜率

here a ≠ 0
解的形式
齐次解 : yc (t ) = Ae − at b y t 常数解 : ( ) = p a a =0
b =0
b − at 通解：y (t ) = yc (t ) + y p (t ) = Ae + a 特解：y (t ) = y (t ) + y (t ) = ( y (0) − b )e − at + b c p a a

一般解
F ( y , t ) = Mdy + ψ (t ) ∫ dF ( y , t ) = Fy ( y , t )dy + Ft ( y , t )dt = 0 ⇒ ∂F ( y , t ) N = ∂t
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14.4 恰当微分方程 – 示例
第14章 连续时间： 一阶微分方程
• 动态经济学 • 微分方程刻画
– 变量的时间路径 – 变量的时间趋势
• 微分方程的解 • 内容 • • • • • • • 常系数和常数项的 市场价格的动态学 可变系数和常数项的 恰当微分方程 一阶一次非线性微分方程 定性图解法 素烙增长模型
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14.5 一阶一次非线性微分方程

仅包含一阶微分项
dy f ( y , t )dy + g ( y , t )dt = 0或 = h ( y , t ) dt

恰当微分方程
Mdy + Ndt = 0
可分离变量 – 微分项的系数仅为其原变量本身

模型
Qd ≡ Qs ≥ 0 a +γ ′ P = Qd = a − βP; a, β > 0 ⇒ 均衡价格 β +δ Q = −γ + δP; γ , δ > 0 s
• 问题1 – 均衡价格如何形成 • 问题2 – 均衡价格的稳定性
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示例 dy/dt + 2 y = 6,初试条件 y(0) = 10
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14.2 市场价格的动态学

问题 – 商品的市场价格的均衡，ref. Pp 46-55
• •
经济理论 – 商品的消费量Qd、供给量Qs、价格P 均衡条件 – 供给量Qd =消费量Qs
∂M ∂N 满足 须调整原方程的系数，即： ≡ ∂t ∂y ∀I (t ) ≠ 0, 有Idy + I (uy − w)dt = 0 I ∂M ∂I ∂N = = Iu = ⇒ I = Ae ∫ udt ∂t ∂t ∂y
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14.4恰当微分方程 – 一阶线性微分方程 – 续

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示例 – p634
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14.6 定性图解法

Βιβλιοθήκη Baidu
微分方程的解 –
• 有时无法求出解析表达式 • 仅须研究时间路径的定性性质，无须全部 • 自主微分方程，微分项仅与y有关而与时间无关

dy = f ( y) dt
相位图 dy/dt
A B C y

积分因子化的微分方程 求解步骤
e ∫ udt dy + e ∫ udt (uy − w)dt = 0
∂F ( y , t ) 1). F ( y , t ) = ∫ ( M = )dy + ψ (t ) = ∫ e ∫ udt dy + ψ (t ) = ye ∫ udt + ψ (t ) ∂y ∂F ( y , t ) ∂F ( y , t ) ∫ udt ′ 2). ) ⇒ ψ ′(t ) = we ∫ udt = yue + ψ (t ) ≡ ( N = ∂t ∂t 3).ψ (t ) = − ∫ we ∫ udt dt 4).F ( y , t ) = ye ∫ udt − ∫ we ∫ udt dt ≡ c ∴ y (t ) = e ∫ udt ( A + ∫ we ∫ udt dt )

可转化为线性的方程 – 贝努利方程
dy + R(t ) y = T (t ) y m , Here m ≠ 0,1 dt m − m dy y + R(t ) y1−m = T (t ) 1)除以因子y ： dt 1 dz 1− m + R(t ) z = T (t ) 2)变换z = y ： 1 − m dt dz + [(1 − m) R(t ) z − (1 − m)T (t )]dt = 0 ∴ 一阶线性的 dz + [{u = (1 − m) R(t )}z − {w = (1 − m)T (t )}]dt = 0 y = z −(1−m )
lim P(t ) = lim{[ P(0) − P ]e − kt + P } = P iff ( β + δ ) > 0
t →∞ t →∞
供应函数
需求函数
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14.3 可变系数和可变项的微分方程

一般方程

dy (t ) + u (t ) y (t ) = w(t ) dt 齐次方程
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14.7 SOLOW索烙增长模型 – 假设

SOLOW假设 • Q的固定比例用于投资 • 劳动力呈指数增长 模型 1).Q = Lf ( k ,1) = Lφ ( k ), K k = , K = kL L dK & 2). K ≡ = sQ dt & dL dt L 3). ≡ =λ>0 L L
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14.4 恰当微分方程 – 一阶线性微分方程

示例 – 把普通方程转化为恰当方程
dy 已知： + uy = w dt 转化：dy + (uy − w)dt = 0 M = 1， N = (uy − w) test if ∂M ∂N =0≠u= ∂t ∂y
14.2 市场价格的动态学 – 续

时间路径 – 给定市场供虚函数的条件下
dP = j(Qd − Qs ) = j(α − βP + γ − δP) dt dP 或整理 + j(β + δ )P = j(α + γ ) dt α + γ − j ( β +δ )t α + γ + P(t) = [P(0) − ]e = [P(0) − P ]e−kt + P β +δ β +δ α +γ k = j(β + δ ), P = β +δ
− 1 2
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14.4 恰当微分方程 – 积分因子

示例 • – 把普通方程转化为恰当方程
2tdy + ydt = 0 已知： ∂M ∂N = 2 ≠1= M = 2t N = y test if ∂t ∂y 转化: 2 ytdy+ y2dt = 0

示例
2 ytdy + y 2 dt = 0 已知： ∂M ∂N 0 ) M = 2 yt N = y test if = 2y = ∂t ∂y
2
1) F ( y , t ) = ∫ Mdy + φ (t ) = ∫ 2 ytdy + φ (t ) = y 2 t + φ (t ) ∂F ( y , t ) 2） + φ ′( t ) = y 2 = N ∂t 3)φ ′(t ) = ∫ φ ′(t ) dt = ∫ 0 dt = k 4 ) F ( y , t ) = y 2 t + k = const ∴ y (t ) = ct
发散于均衡
收敛于均衡
无任何均衡
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14.6 定性图解法 – 简单示例

以一阶线性微分方程为例
dy dy Q + ay = b; = b − ay dt dt b −at b ∴ y (t ) = [ y (0) − ]e + a a ≥0 收敛 dy b ∴ = b − ay , a ⇔ y (t ) 均衡 = ≤0 dt a 发散