诱导公式2
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cos2α
∵tanα＝－43，
∴cos2α－1 sin2α＝t1a－n2tαa＋n2α1＝1－－43－2＋4312＝－275.
点评：①对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 这三个式 子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式 为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；②关于 sinα，cosα 的齐次式，注 意化为关于 tanα 的式子．
B．－15
1 C.5
3 D.5
解析：∵sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝Hale Waihona Puke ×15－1 ＝－35.答案：A
4．已知 tanα＝12，且 α∈π，32π，则 sinα 的值是(
)
A．－
5 5
5 B. 5
25 C. 5
D．－2 5 5
解析：∵α∈π，32π，∴sinα＜0，排除 B、C.
提供了一种重要的方法．
2．三角函数诱导公式 f2kπ＋α(k∈Z)的本质 三角函数诱导公式 f2kπ＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变， 符号看象限．
对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即
诱导公式的左边为2π·k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当 k 为奇数时， 右边的函数名称正余互变；当 k 为偶数时，右边的函数名称不改变， 这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将 α“看成”锐角(可能并不 是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然 后分析π2·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数 (原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同
名函数值，前面加上一个把 α 看成⑲______时原函数值的符号；
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
答案：①sin2α＋cos2α ②csoinsαα ③sinα ④－sinα ⑤－ sinα
诱导公式的应用是：一是求任意角的三角函数值，其一般步骤： ①负角变正角，再写成 2kπ＋α，0≤α＜2π；②转化为锐角.
题型探究 题型一 同角三角函数的基本关系的应用 例 1 已知 α 是三角形的内角，且 sinα＋cosα＝15. (1)求 tanα 的值； (2)把cos2α－1 sin2α用 tanα 表示出来，并求其值．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋2245＝4295， 又 sinA＞0，cosA＜0， ∴sinA－cosA＞0，∴sinA－cosA＝75.② ∴由①，②可得 sinA＝45，cosA＝－35，
4 ∴tanA＝csoinsAA＝－535＝－43.
归纳总结 •方法与技巧 1．同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变 名、变式． 2．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的 影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要 根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
解析：由已知，
得sin3Aco＝sA＝2sin2Bc， osB. ②
①
①2＋②2，得
2cos2A＝1，得
cosA＝±
2 2.
①当 cosA＝ 22时，cosB＝ 23， 又 A、B 是三角形的内角，
∴A＝π4，B＝6π.
∴C＝π－(A＋B)＝172π.
当
cosA＝－
22时，cosB＝－
变式探究 2 (1)设 f(a)＝12＋sinsinπ2＋α＋αccooss3π2π－＋αα－－csoins2π2π＋＋αα
(1＋2sinα≠0)，求 f－263π的值． (2)化简 sinnπ＋23π·cosnπ＋43π(n∈Z)．
4．证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法：由较 繁的一边向简单一边化简：(2)左右归一法，使两端化异为同； 把左右式都化为第三个式子；(3)转化化归法：先将要证明的结 论恒等变形，再证明．
5．解三角函数问题时常用方法有：代入法、消元法、转 化化归法、方程与分类讨论思想方法等．
6．已知一个角的某一函数值，求该角的其它三角函数值 时，可以利用构造直角三角形，结合该角的范围求值．
3．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，
常用方法有：(1)弦切互化法主要利用公式 tanx＝csoinsxx化成正弦、 余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ
＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋tan12θ＝tan4π＝…. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
＝sinπ＋23π·cosπ＋43π ＝－sin23π·cos3π
＝－sinπ3·cos3π
＝－
23×12＝－
3 4.
∴原式＝－
3 4.
题型三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合 例 3 在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cosA ＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．
变式探究 1 已知 sinθ，cosθ 是方程 4x2－4mx＋2m－1＝0 的两个根，32π＜θ＜2π，求 θ.
sinθ＋cosθ＝m， 解析：sinθ·cosθ＝2m4－1，
Δ＝16m2－2m＋1≥0，
代入(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ，得 m＝1±2 3， 又32π＜θ＜2π，∴sinθ·cosθ＝2m4－1＜0，即 m＝1－2 3，
解析：(1)f(α)＝sinα·ctaonsααs·i－nαtanα＝－cosα.
(2)∵cosα－32π＝－sinα， ∴sinα＝－15，cosα＝－ 525－12＝－25 6， ∴f(α)＝25 6.
点评：熟练应用诱导公式是解答本题的关键．诱导公式应 用原则是：角化正、大化小、化到锐角为终了．
诱导公式
考纲点击 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoinsxx＝tanx.
考点梳理 1.同角三角函数的基本关系式 基本关系式：①__________＝1，tanα＝②__________. 2．诱导公式
变式探究 3 在△ABC 中，sin(π－A)－cos(π－A)＝15. (1)求 sinA·cosA； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tanA 的值．
解析：(1)∵sinA＋cosA＝15， ∴两边平方得 1＋2sinAcosA＝215， ∴sinA·cosA＝－1225. (2)由(1)sinAcosA＝－1225＜0，且 0＜A＜π， 可知 cosA＜0，∴A 为钝角， ∴△ABC 是钝角三角形．
∴sinθ＋cosθ＝m＝1－2 3，sinθ·cosθ＝－ 43， 又∵32π＜θ＜2π，∴sinθ＝－ 23，cosθ＝12， ∴θ＝53π.
题型二 诱导公式的应用
例 2 已知 f(α)＝sin－π－tanα－cosα－2ππ－sαinta－nπ－－αα＋ π； (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值．
解析：(1)方法一，联立方程sinα＋cosα＝15， ① sin2α＋cos2α＝1， ②
由①得 cosα＝15－sinα. 将其代入②，整理得 25sin2α－5sinα－12＝0.
∵α 是三角形的内角，∴csionsαα＝＝45－，35. ∴tanα＝－43.
方法二，∵sinα＋cosα＝15， ∴(sinα＋cosα)2＝152，即 1＋2sinαcosα＝215. ∴2sinαcosα＝－2245. ∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2245＝4295. ∵sinαcosα＝－1225＜0 且 0＜α＜π，
＝ 1 π＝ 3. tan6
(2)当 n＝2k(k∈Z)时，
原式＝sin2kπ＋23π·cos2kπ＋43π ＝sin23π·cos43π
＝sinπ3·－cos3π
＝ 23×－12
＝－
3 4.
当 n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝sin2k＋1π＋23π·cos2k＋1π＋43π
解析：(1)∵f(a)＝－1＋2ssiinnα2α＋－scinoαsα－＋cocso2αsα
＝2s2insαinc2oαs＋α＋sincoαsα
＝csoinsαα11＋＋22ssiinnαα ＝ta1nα，
∴f－236π＝tan－1 236π＝tan－14π＋π6
由
tanα＝csoinsαα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得
sinα＝－
5 5.
答案：A
5．若ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2，则 sin(θ－5π)·sin32π－θ等于(
)
4 A.3
B．±130
3 C.10
D．－130
解析：由ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝2，可得 tanθ＝3，
•失误与防范
1．利用同角三角函数基本关系式化简求值时，涉及两个 同角基本关系 sin2α＋cos2α＝1 和 tanα＝csoinsαα，它们揭示同一角 α 的各三角函数间的关系，需要在复习中通过解题、理解、掌 握．尤其是利用 sin2α＋cos2α＝1 及变形形式 sin2α＝1－cos2α 或 cos2α＝1－sin2α 进行开方运算时，要注意符号判断．
∴sinα＞0，cosα＜0. ∴sinα－cosα＝75.
由ssiinnαα＋－ccoossαα＝＝1575，， ∴tanα＝－43.
∴sinα－cosα＞0. 得scionsαα＝＝45－，35.
sin2α＋cos2α (2)cos2α－1 sin2α＝scions22αα＋－csoins22αα＝cos2cαo－s2αsin2α＝t1a－n2tαa＋n2α1
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1 的值为( ) A．1 B．2sin2α C．0 D．2
解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)·cosα＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 答案：D
3．已知 sinα＝ 55，则 sin4α－cos4α 的值为(
)
A．－35
⑥sinα ⑦cosα ⑧cosα ⑨cosα ⑩－cosα ⑪cosα ⑫－cosα ⑬sinα ⑭－sinα ⑮tanα ⑯tanα ⑰－tanα ⑱－tanα ⑲锐角
考点自测
1.sin210°等于( )
3 A. 2
B．－
3 2
1 C.2
D．－12
解析：sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12. 答案：D
3 2.
又 A、B 是三角形的内角，
∴A＝34π，B＝56π，不符合题意．
综上，A＝π4，B＝π6，C＝172π.
点评：已知角 α 的三角函数值求角 α 的一般步骤是：①由 三角函数值的符号确定角 α 所在的象限；②据角 α 所在的象限 求出角 α 的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角 α 的一 般表达式．
∴sin(θ－5π)sin32π－θ＝(－sinθ)(－cosθ) ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ ＝tanta2θn＋θ 1 ＝130. 答案：C
疑点清源
1.同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例 如：∵sinα＝yr，cosα＝xr，∴sin2α＋cos2α＝x2＋r2 y2＝1. (2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符 号，需要根据角 α 的范围进行确定． (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角 函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又
∵tanα＝－43，
∴cos2α－1 sin2α＝t1a－n2tαa＋n2α1＝1－－43－2＋4312＝－275.
点评：①对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 这三个式 子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式 为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；②关于 sinα，cosα 的齐次式，注 意化为关于 tanα 的式子．
B．－15
1 C.5
3 D.5
解析：∵sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝Hale Waihona Puke ×15－1 ＝－35.答案：A
4．已知 tanα＝12，且 α∈π，32π，则 sinα 的值是(
)
A．－
5 5
5 B. 5
25 C. 5
D．－2 5 5
解析：∵α∈π，32π，∴sinα＜0，排除 B、C.
提供了一种重要的方法．
2．三角函数诱导公式 f2kπ＋α(k∈Z)的本质 三角函数诱导公式 f2kπ＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变， 符号看象限．
对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即
诱导公式的左边为2π·k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当 k 为奇数时， 右边的函数名称正余互变；当 k 为偶数时，右边的函数名称不改变， 这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将 α“看成”锐角(可能并不 是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然 后分析π2·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数 (原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号．
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同
名函数值，前面加上一个把 α 看成⑲______时原函数值的符号；
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
答案：①sin2α＋cos2α ②csoinsαα ③sinα ④－sinα ⑤－ sinα
诱导公式的应用是：一是求任意角的三角函数值，其一般步骤： ①负角变正角，再写成 2kπ＋α，0≤α＜2π；②转化为锐角.
题型探究 题型一 同角三角函数的基本关系的应用 例 1 已知 α 是三角形的内角，且 sinα＋cosα＝15. (1)求 tanα 的值； (2)把cos2α－1 sin2α用 tanα 表示出来，并求其值．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋2245＝4295， 又 sinA＞0，cosA＜0， ∴sinA－cosA＞0，∴sinA－cosA＝75.② ∴由①，②可得 sinA＝45，cosA＝－35，
4 ∴tanA＝csoinsAA＝－535＝－43.
归纳总结 •方法与技巧 1．同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变 名、变式． 2．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的 影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要 根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
解析：由已知，
得sin3Aco＝sA＝2sin2Bc， osB. ②
①
①2＋②2，得
2cos2A＝1，得
cosA＝±
2 2.
①当 cosA＝ 22时，cosB＝ 23， 又 A、B 是三角形的内角，
∴A＝π4，B＝6π.
∴C＝π－(A＋B)＝172π.
当
cosA＝－
22时，cosB＝－
变式探究 2 (1)设 f(a)＝12＋sinsinπ2＋α＋αccooss3π2π－＋αα－－csoins2π2π＋＋αα
(1＋2sinα≠0)，求 f－263π的值． (2)化简 sinnπ＋23π·cosnπ＋43π(n∈Z)．
4．证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法：由较 繁的一边向简单一边化简：(2)左右归一法，使两端化异为同； 把左右式都化为第三个式子；(3)转化化归法：先将要证明的结 论恒等变形，再证明．
5．解三角函数问题时常用方法有：代入法、消元法、转 化化归法、方程与分类讨论思想方法等．
6．已知一个角的某一函数值，求该角的其它三角函数值 时，可以利用构造直角三角形，结合该角的范围求值．
3．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，
常用方法有：(1)弦切互化法主要利用公式 tanx＝csoinsxx化成正弦、 余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ
＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋tan12θ＝tan4π＝…. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
＝sinπ＋23π·cosπ＋43π ＝－sin23π·cos3π
＝－sinπ3·cos3π
＝－
23×12＝－
3 4.
∴原式＝－
3 4.
题型三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合 例 3 在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cosA ＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．
变式探究 1 已知 sinθ，cosθ 是方程 4x2－4mx＋2m－1＝0 的两个根，32π＜θ＜2π，求 θ.
sinθ＋cosθ＝m， 解析：sinθ·cosθ＝2m4－1，
Δ＝16m2－2m＋1≥0，
代入(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ，得 m＝1±2 3， 又32π＜θ＜2π，∴sinθ·cosθ＝2m4－1＜0，即 m＝1－2 3，
解析：(1)f(α)＝sinα·ctaonsααs·i－nαtanα＝－cosα.
(2)∵cosα－32π＝－sinα， ∴sinα＝－15，cosα＝－ 525－12＝－25 6， ∴f(α)＝25 6.
点评：熟练应用诱导公式是解答本题的关键．诱导公式应 用原则是：角化正、大化小、化到锐角为终了．
诱导公式
考纲点击 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoinsxx＝tanx.
考点梳理 1.同角三角函数的基本关系式 基本关系式：①__________＝1，tanα＝②__________. 2．诱导公式
变式探究 3 在△ABC 中，sin(π－A)－cos(π－A)＝15. (1)求 sinA·cosA； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tanA 的值．
解析：(1)∵sinA＋cosA＝15， ∴两边平方得 1＋2sinAcosA＝215， ∴sinA·cosA＝－1225. (2)由(1)sinAcosA＝－1225＜0，且 0＜A＜π， 可知 cosA＜0，∴A 为钝角， ∴△ABC 是钝角三角形．
∴sinθ＋cosθ＝m＝1－2 3，sinθ·cosθ＝－ 43， 又∵32π＜θ＜2π，∴sinθ＝－ 23，cosθ＝12， ∴θ＝53π.
题型二 诱导公式的应用
例 2 已知 f(α)＝sin－π－tanα－cosα－2ππ－sαinta－nπ－－αα＋ π； (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值．
解析：(1)方法一，联立方程sinα＋cosα＝15， ① sin2α＋cos2α＝1， ②
由①得 cosα＝15－sinα. 将其代入②，整理得 25sin2α－5sinα－12＝0.
∵α 是三角形的内角，∴csionsαα＝＝45－，35. ∴tanα＝－43.
方法二，∵sinα＋cosα＝15， ∴(sinα＋cosα)2＝152，即 1＋2sinαcosα＝215. ∴2sinαcosα＝－2245. ∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2245＝4295. ∵sinαcosα＝－1225＜0 且 0＜α＜π，
＝ 1 π＝ 3. tan6
(2)当 n＝2k(k∈Z)时，
原式＝sin2kπ＋23π·cos2kπ＋43π ＝sin23π·cos43π
＝sinπ3·－cos3π
＝ 23×－12
＝－
3 4.
当 n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝sin2k＋1π＋23π·cos2k＋1π＋43π
解析：(1)∵f(a)＝－1＋2ssiinnα2α＋－scinoαsα－＋cocso2αsα
＝2s2insαinc2oαs＋α＋sincoαsα
＝csoinsαα11＋＋22ssiinnαα ＝ta1nα，
∴f－236π＝tan－1 236π＝tan－14π＋π6
由
tanα＝csoinsαα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得
sinα＝－
5 5.
答案：A
5．若ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2，则 sin(θ－5π)·sin32π－θ等于(
)
4 A.3
B．±130
3 C.10
D．－130
解析：由ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝2，可得 tanθ＝3，
•失误与防范
1．利用同角三角函数基本关系式化简求值时，涉及两个 同角基本关系 sin2α＋cos2α＝1 和 tanα＝csoinsαα，它们揭示同一角 α 的各三角函数间的关系，需要在复习中通过解题、理解、掌 握．尤其是利用 sin2α＋cos2α＝1 及变形形式 sin2α＝1－cos2α 或 cos2α＝1－sin2α 进行开方运算时，要注意符号判断．
∴sinα＞0，cosα＜0. ∴sinα－cosα＝75.
由ssiinnαα＋－ccoossαα＝＝1575，， ∴tanα＝－43.
∴sinα－cosα＞0. 得scionsαα＝＝45－，35.
sin2α＋cos2α (2)cos2α－1 sin2α＝scions22αα＋－csoins22αα＝cos2cαo－s2αsin2α＝t1a－n2tαa＋n2α1
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1 的值为( ) A．1 B．2sin2α C．0 D．2
解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)·cosα＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 答案：D
3．已知 sinα＝ 55，则 sin4α－cos4α 的值为(
)
A．－35
⑥sinα ⑦cosα ⑧cosα ⑨cosα ⑩－cosα ⑪cosα ⑫－cosα ⑬sinα ⑭－sinα ⑮tanα ⑯tanα ⑰－tanα ⑱－tanα ⑲锐角
考点自测
1.sin210°等于( )
3 A. 2
B．－
3 2
1 C.2
D．－12
解析：sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－12. 答案：D
3 2.
又 A、B 是三角形的内角，
∴A＝34π，B＝56π，不符合题意．
综上，A＝π4，B＝π6，C＝172π.
点评：已知角 α 的三角函数值求角 α 的一般步骤是：①由 三角函数值的符号确定角 α 所在的象限；②据角 α 所在的象限 求出角 α 的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角 α 的一 般表达式．
∴sin(θ－5π)sin32π－θ＝(－sinθ)(－cosθ) ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ ＝tanta2θn＋θ 1 ＝130. 答案：C
疑点清源
1.同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例 如：∵sinα＝yr，cosα＝xr，∴sin2α＋cos2α＝x2＋r2 y2＝1. (2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符 号，需要根据角 α 的范围进行确定． (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角 函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又