浅谈二重极限的若干计算方法

浅谈二重极限的若干计算方法
二重极限是多元函数理论基础，在高等数学和数学分析中都做了介绍，对于二重极限重点是它的计算方法，虽然许多学者对此做了归纳，但由于二重极限的复杂性，他们的归纳都不是很全面，因此，本论文在已有的基础上对二重极限的计算方法做了较为全面阐述，使得二重极限的计算更为简便、快捷．
1 二重极限定义
设函数(,)f x y 在区域D 内有定义，000(,)p x y 是D 的内点，如果对于任意的正数ε，总存在
正数σ，使得对于D 内适合不等式00p p σ<=<的一切点(,)p x y 都有
(,)f x y A ε-<成立，则称常数A 为函数(,)f x y 当00,x x y y →→时的二 重极限，记作
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y A →=．
2 二重极限的求法
2.1 定义验证法
先求出一个累次极限，再用定义验证该累次极限是否为二重极限，或先猜出二重极限的值，再用定义验证．
例1 设2
2
331(,)()sin
f x y x y x y
=++，33
(0)x y +≠，求(,)(0,0)lim (,)x y f x y →． 解 00
limlim (,)0x y f x y →→=，事实上对任意(,)(0,0)x y ≠
22222233
1
(,)0()sin
f x y x y x y x y x y
-=+≤+≤++
0,ε∀>取σ=
,x y σσ<<时，有2
2
33
1
()sin
0x y x y ε+-<+
即
(,)(0,0)
lim (,)x y f x y →=0．
例[1](278280)
2P - 求
(,)(0,)sin lim
x y c xy
x → (0)c ≠．
解
sin sin sin sin 11xy xy cx cx xy xy cx cx
-=-+-
其中
sin sin sin sin sin sin xy cx c xy c cx c cx y cx
xy cx cxy
-+--= sin sin sin sin c xy c cx c cx y cx
cxy cxy --=
+(第一个分式用微分中值定理)
cos sin ()c cx c y xy cx cxy cx y
ζ-=
-+⋅（ζ介于,x y 间） 进而有
sin sin sin (cos )xy cx c y cx xy cx y cx
ζ--≤+ 由于0sin lim
1x xy
xy
→=，所以只要x 足够小就可使得
sin 2cx cx ≤． 又因为lim
1y c
c
y
→=，故对任意0,0εσ>∃>，当0,0x y σσ<<<<时，恒有sin 1,126
cx c cx y εε
-<-<， 从而
sin sin sin sin sin sin sin 111(12)62
xy xy cx cx xy cx cx xy xy cx cx xy cx cx εε
ε-=-+-≤-+-<++= 即
(,)(0,)sin lim
x y c xy
c x →=．
由上两例可知定义验证法求二重极限要求所给函数的某个累次极限等于二重极限或者能够观察出已知函数的二重极限，因此该方法局限性较强，只适用于一些简单的二重极限的计算．
2.2 利用连续函数的定义 二元函数
(,)f x y 的定义域为,D 000(,)P x y D ∈且为D 的聚点，若
00)
00(,)(,lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续．所以，可用定义计算连续函数
的二重极限．
例3 求 2
2
3
4
lim(7)x y x xy y →→-++．
解由
22(,)(7)
f x y x xy y =-++为连续函数且
(3,4)20
f =得
2234
lim(7)20x y x xy y →→-++=．
只要所给函数为连续函数就可以用连续函数的定义求二重极限，但一般情况下所给函数都比较复杂，因此在解题时很少用到该方法．
2.3 利用四则运算法则
如果当00(,)(,)x y x y →时有(,)f x y A →，(,)g x y B →，则
(,)(,)f x y g x y A B ±→±；(,)(,)f x y g x y A B ⋅→⋅；
(,)(0)(,)f x y A
B g x y B
→≠．
例4 求22
123lim ()x y xy x y x y →→++．
解 22
12
3lim ()x y xy x y x y →→++221
2
12
lim(3)
10lim()
3
x y x y xy x y x y →→→→+=
=
+． 如果已知函数可以化成两个或多个易求极限的函数的加、减、乘、除的形式，那么就可以用四则运算法则求出已知函数的极限．
2.4 利用两个重要极限 （1） 0sin lim 1x x x →=；
（2）1lim(1)x
x e x
→∞+=． 例[2](133)
5
P 求2
sin 0
lim(1)
xy
x x y a xy →→+．
解 2
sin 0
lim(1)
xy
x
x y a
xy →→+=2
22
sin 1
1sin 00lim[(1)
]lim[(1)
]xy t y y a xy xy t t
x t y a
y a
xy t e ⋅
⋅
→→→→+=+=．
这种方法主要是根据已知函数的特点将它转化成一元函数（或部分转化为一元函数），然后利用两个重要极限再求值，计算过程比较简单，这里不再过多解释．
2.5 利用等价无穷小代换
当0,x y a →→时，有~sin ~ln(1),xy xy xy +tan ~,xy xy 21
1cos ~
()2
xy xy - arcsin ~,xy xy 1~xy e xy -．
例6 求33
(,)(0,)lim (1cos )ln(1)
x y a x y xy xy →-+．
解 33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+=22(,)(0,)lim 1cos ln(1)
x y a x y xy
xy xy →⋅-+
=22(,)(0,)2lim
21
()2
x y a x y xy
xy xy →⋅=． 例7 求20sin(3)
lim 1xy x y a
x y e →→-． 解 当0,x y a →→时， 2
2
sin(3)~3,1~xy
x y x y e xy -
故 20sin(3)lim 1xy x y a x y e →→-2003lim lim30x x y a y a
x y x xy →→→→===． 该方法主要是把已知函数的某部分用它的等价无穷小代替，使原函数化成容易计算的较简单的函数，但由于相互等价的函数很多，因此在选择用哪种形式的无穷小代替时，要具体问题具体分析．
2.6 利用夹逼定理
(,)f x y 与(,)g x y 在00(,)x y 连续且有相同的极限A ，若(,)h x y 在00(,)x y 的某邻域有(,)(,)(,)f x y h x y g x y ≤≤成立，则
00(,)(,)
lim (,)x y x y h x y A →=．
例[3](27)
8
P 求22lim
x y x y
x xy y →+∞→+∞
+-+．
解 由不等式2
2
2x y xy +≥得2222
110x y x y x y
x xy y x y xy xy x y
+++≤
≤≤≤+-++- 而11
lim (
)0x y x y →+∞
→+∞
+=，故有22lim x y x y x xy y →+∞→+∞
+-+0=．
利用夹逼定理求二重极限是计算二重极限常用的方法，解题时常常需要通过分子放大、分母缩小或分子缩小、分母放大即放缩原函数得到易求极限的函数．但由于该方法要求放缩后的函数与原函数的极限相同，这就使得放缩时有一定的约束性，因此用这种方法时要重点注意放缩过程．
2.7 利用恒等变形
如果二元函数(,)f x y 含有分式，可以让分子、分母同乘以不为零的函数，如果(,)f x y 是指数形式，可以先求它对数的极限，然后再求原函数的极限．
例9
求
22(,)lim
x y →
解
22(,)lim
x y →
(,)lim
x y →=
(,)(0,0)lim x y →=
(,)(0,0)
lim 2)x y →=
4=．
例[4](1)
10
P 求
22
22(,)(0,0)
lim ()x
y
x y x y →+．
解 令22
2
2()
x y u x y =+，则222
2
2
2
2222
2
2
ln ln()()ln()x y u x y x y x y x y x y
=+=+++ 而2222(,)(0,0)(,)(0,0)22
1
lim lim 011
x y x y x y x y x y →→==++ ，令22x y t +=则 2222(,)(0,0)
lim ()ln()lim ln 0x y t x y x y t t →→++==
所以
2222(,)(0,0)
lim
ln()0x y x y x y →+=
故
22
22(,)(0,0)
lim ()x
y
x y x y →+01e ==．
这种方法要求已知函数是含有根式的二元函数或者极限是0
1,0∞
等的未定型函数，所以很容易判断是否用该方法计算二重极限．
2.8 利用变量代换
利用变量代换是把二重极限转化为一元函数的极限或化为易于计算的二重极限，如利用极坐标变换令cos ,sin x r y r θθ==，利用倒数11
,x y u v
=
=，利用两个变量,x y 的和x y t +=、平方和22x y t +=及乘积xy t =等变换．
例11 求2222
()
22(,)(0,0)lim 2sin()
x y x y x y e e x y +-+→-+．
解 22
u x y =+ 则
(,)(0,0)
lim 0x y u →=
2
2
2
2
()
22(,)(0,0)lim
2sin()
x y x y x y e e x y +-+→-+00lim lim 12sin 2cos u u u u u u e e e e u u --→→-+===． 例[4](1)
12
P 求
22222(,)(0,0)
lim
ln()x y x y x y →+．
解 cos ,sin x r y r θθ==，由(,)(0,0)x y →得0r →
22222424(,)(0,0)01
0lim
ln()lim sin 2ln 4
x y r x y x y r r θ→→≤
+=⋅⋅
而211sin 244θ≤，34444430
000484ln lim ln lim lim lim()014r r r r r r r r r r r r r →→→→⋅===-=-
所以
4401
lim ln sin 204
r r r θ→⋅⋅= 从而
22222(,)(0,0)
lim
ln()x y x y x y →+0=.
例13 求21lim(1)x x y
x y a
xy
-→∞→+
其中0a ≠．
解 2()1
1(1)
(1)
x x
xy x y
x y y
xy
xy
⋅--+=+，当,x y a →∞→时，令,xy t =相应有t →∞， 则11
lim(1)lim(1)xy t x t y a
e xy t
→∞→∞→+
=+=
2
1
lim(1)x x y
x y a xy -→∞→+ 1
[ln(1)]
()()1lim[(1)]
lim xy
x x
xy x y y
xy x y y
x x y a y a
e xy +--→∞→∞→→=+=
1lim [ln(1)]lim
1
1()1xy x x y a
y a
x xy x y y
a
a
e
e
e →∞→∞→→+
-⋅
===.
例14 求2
2
2()
lim ()x y x y x y e
-+→+∞→+∞
+．
解 222222()
2()2()22()()2x y x y x y x y x y x y x y x y e
e e e e
-++++++==-⋅ 当,x y →+∞→+∞时，令x y t +=，相应有t →+∞
则
222()2()lim lim 0x y t x t y x y t e e +→+∞→+∞→+∞+==，2222lim 22lim lim 0x y x y x x x y y y x y x y
e e e e →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞
⋅=⋅= 所以
222()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞
+ 0=．
例[5](3)
15
P 求22lim
x y y
x y →∞→∞
+．
解 11
,x y u v
=
=，当,x y →∞→∞时，有0,0u v →→ 2
2
lim x y y
x y →∞→∞
+12121222(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim ()()u v u v v u v u v u v ---→→==++` 令 cos ,sin u r v r θθ==，当0,0u v →→时，0r →+，
2322
222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0u v r r u v r r u v r
θθθθ++→→→===+ 即 22lim
0x y y
x y →∞→∞
=+．
变量代换法也是计算二重极限常用的方法，从例题的计算过程可以看出采用恰当的变量代换可以使得二重极限的计算更为简便．
综上所述，二重极限的计算与一元函数极限的求法有很多类似之处，但由于一元函数的极限至多是左、右两种方式的逼近，而二重极限是任意方向的逼近．因此，二重极限的计算比一元函数极限的计算复杂得多，在遇到求二重极限的问题时，要具体问题具体分析，找出解决问题的最恰当的方法．。