广东金融学院微积分期末自测必考题及答案

f1 ( zdx xdz) f 2 (dz dy) f2 zf 1 dy dx dz 1 xf1 f 2 1 xf1 f 2
所以,
f2 zf 1 z z . , 1 xf1 f 2 1 xf1 f 2 y x
必考题讲评
z x
2 1 f11 f 21 2 f 22 . y y
1 1 1 ( f 21 f 22 ) y y y
一、二元函数的极值 5. 求函数 f ( x , y ) e x y ( x 2 2 y 2 ) 的极值.
解 解方程组
x y 2 2 x y f x ( x , y ) e ( x 2 y ) 2 xe 0, x y 2 2 x y f ( x , y ) e ( x 2 y ) 4 y e 0 y
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D
7.8
D
二重积分习题课
9. 计算 x 2 y 2 d , 其中D是由心脏线
r a(1 cos )和圆r a所围成的区域 (取圆外部 ).
解

D
x y d
2 2
d
2

a (1 cos )
1 2 3 a [(1 cos )3 1]d 3 2
必考题讲评
计算下列各题
2 z z z 2 1.设 函 数 z x l n( x 2 y ),求 , , . x y xy 2 z x 解： 2 x l n (x 2 y ) ; x x 2y
z 2x2 ; y x 2y
2 2 x ( 2 ) 8 xy 2 x 2 z 2x . 2 2 x 2 y ( x 2 y) ( x 2 y) x y

0
y
r2
x 2 y 2 d
2 2 0
2 0 2 cos
d r dr d 0
D
r 2 dr
o
r 2 cos θ
8 2 ( ). 3 3
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7.8
(1)
解
二重积分习题课
f ( x, y)dx
X型
D
11.改换下列二次积分的积分次序:
B 2 AC 64e 4 72e 4 8e 4 0,
而 A<0, 由极值的充分条件, 知点(–4,–2)为极大值点, f (–4,–2)= –8e–2 是函数的极大值.
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13
z z 3 1. 确定的z=f(x,y)满足方程 2 x y 证二（全微分法） d[F ( x 2z, y 3z )] 0
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o
7.8
10. 计算
2 2
二重积分习题课
x y d , 其中D是由不等式 x y 4,
2 2

D
2
2
x y 2 x及y 0确 定 的 区 域 .
解 曲线 x 2 y 2 4 的极坐标方程为 r =2. 2 2 x y 2 x 的极坐标方程为 r 2 cosθ , 曲线
D
y d dx
0
1
x
2
x
x ydy
0
D
1
6 . 55
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x2 8.计算 y 2 dxdy, 其中D是由 x 2, y x 及xy 1 D
所围成的区域.
解 选择直角坐标
2 2 x x x2 dxdy 1 dx1 2 dy 2 y x y D 2 2 2 x 3 x ( x x )dx dx 1 1 1 y x 9 . 4
得驻点(0, 0), (–4, –2). 求函数的二阶偏导数，
f xx ( x , y ) e x y ( x 2 2 y 2 4 x 2),
f xy ( x , y ) e
x y
( 2 y x 2 x 4 y ),
2 2
f yy ( x , y ) e x y ( x 2 2 y 2 8 y 4).
ye xy xe xy dz z dx z dy. e 5 e 5
必考题讲评
z z 3.由z f ( xz, z y )确定的隐函数 z z( x , y ), 求 , . x y
解1： (公式法)
设F z f ( xz, z y ),则
Fx f1 z , Fy f 2 , Fz 1 f1 x f 2 ,
复习
微积分
导数 一 微分 元 微分 微 不定积分 积 积分 分 定积分 多 元 微 积 分 无穷级数 微分方程
微 积 分
差分方程
微分 积分
偏导数
全微分
二重积分
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2 z z z 2 1.设 函 数 z x ln(x 2 y ),求 , , . x y xy 2.函数z z( x, y ) 由e xy 5 z e z 0确定,求dz. z z 求 , . 3. 由z f ( xz, z y )确定的隐函数 z f ( x, y ), x y 2 x z z 4.设z f ( x, )( f具有二 阶连续偏导数 ), 求 , , z y x y x 2 5. 求函数 f ( x , y ) e x y ( x 2 2 y 2 ) 的极值.

1
0
dy
y
y
y x2
Y型
y
则积分限为 0 x 1, x 2 y x ,
dy f ( x , y )dx dx （2） dx f ( x , y )dy
1
1
x
2
0
1
0
y
0
x
f ( x , y )dy
π
sin x
0
sin
x 2
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7.8
（2 ）
x 4.设z f ( x , )( 其 中f具 有 一 、 二阶连续的偏导数 ) y 2 z z z x 解： 令u x , v , 求 , , 2. y x y x
2z ( f f 1 ) 1 2 2 x y x
f11 f12
1 f1 f 2 ; y x z f 2 ( 2 ); y y

D
y
r2
x 2 y 2 d
d r d r d r 2 dr
2 2 2 cos



D2

2 2 0
D1
r 2 cos θ
2 0
1 3 2 1 2 32 8 2 8 3 r 2cos d r 0 d (1 cos )d d 3 2 3 0 3 0 3 2 8 1 3 4 8 2 2 ( sin sin ) 0 ( ). 3 3 3 3 3
2
必考题讲评
2.函数z z( x , y ) 由e xy 5 z e z 0确定,求dz.
解： 两边求全微分
d( e
e
xy
xy
5z e ) 0 ,
z
z
d( xy ) 5dz e dz 0
e xy ( ydx xdy) 5dz e zdz 0 z xy ( e 5 )dz e ( ydx xdy),
22 a ( ). 9 2
3
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2
a
r rd r
7.8
10. 计算
2 2
二重积分习题课
x y d , 其中D是由不等式 x y 4,
2 2

D
2
2
x y 2 x及y 0确 定 的 区 域 .
解 曲线 x 2 y 2 4 的极坐标方程为 r =2. 2 2 x y 2 x 的极坐标方程为 r 2 cosθ , 曲线
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在点(0, 0)处, 有A=2, B=0, C= –4， B 2 AC 8 0,
12
一、二元函数的极值
5. 求函数 f ( x , y ) e x y ( x 2 2 y 2 ) 的极值.
由极值的充分条件知, 点(0, 0)不是极值点. 在点(–4,–2) 处, 有A 6e 2 , B 8e 2 , C 12e 2 ,
z f2 . y 1 xf1 f 2
必考题讲评
3.由z f ( xz, z y )确定的隐函数 z z( x , y ), 求
z z , . x y
解3： (全微分形式不变性和全微分公式)
方程两边求全微分 ,则
dz d [ f ( xz, z y )] f1d ( xz) f 2d ( z y )
必考题
6.设F(x–2z, y–3z)=0, F(u,v)可微, 证明由方程所确定的 z=f(x,y) 满足方程
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z z 2 3 1. x y
必考题
7.
x
D
y d , 其中 D是由 y x 及y x 所围成的区域 .
2
x2 8.计算 2 dxdy, 其中D是由 x 2, y x 及xy 1 y D
z z , . x y
解2：(直接法) 方程两边对x求偏导, 则 z z z f1 ( z x ) f 2 x x x
z zf 1 , x 1 xf1 f 2
方程两边对y求偏导, 则 z z z f 1 ( x ) f 2 ( 1) y y y
所围成的区域. 9. 计算 x 2 y 2 d , 其中D是由心脏线
D
r a(1 cos )和圆r a所围成的区域 (取圆外部 ). 2 2 2 2 x y d , 10. 计算 其中D是由不等式 x y 4,
x y 2 x及y 0确 定 的 区 域 .
6 . 设Fwenku.baidu.comx–2z, y–3z)=0, F(u,v)可微, 证明由方程所
F1d(x - 2z ) F2d(y - 3z ) 0
F1 (dx - 2dz ) F2(dy - 3dz ) 0
z F1 F2 , z 所以 , x 2F1 3F2 y 2F1 3F2 z z F1 F2 2 3 从而有 2 3 1. x y 2F1 3F2 2F1 3F2
F1 F2 dz dx 2F1 3F2 2F1 3F2
7.
x yd , 其中D是由y
D
x 及y x 2 所围成的区域.
2 2 y x 0 , y x 0, 将积分区域看作 X型, 解
则积分限为 0 x 1, x 2 y x ,
x
所以,
z Fx zf 1 zf 1 , x Fz 1 xf1 f 2 1 xf1 f 2
z Fy f2 . y F 1 xf1 f 2 z
必考题讲评
3.由z f ( xz, z y )确定的隐函数 z z( x , y ), 求
二重积分习题课
sin x
11.改换下列二次积分的积分次序:

π
0
dx
x sin 2
f ( x , y )dy
解
X型
0 1
Y型,
f ( x, y )dx dy
0 1 πarctan y arcsin y

dy
π
2 arcsin y
f ( x, y )dx
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12.判定下列交错级数的敛散性,当级数收敛时要确定 是绝对收敛，还是条件收敛 . n 1 ln(n 1 ) n n 1 ( 2 ) ( 1 ) ; ( 1 ) ( 1 ) ; n n 1 n1 1 n 2 n n n 1 2 lim l imn ( 1 ) 解： 因为 n 1, n n 1
2 2
16:14:23
D
必考题
11.改换下列二次积分的积分次序:
(1)
dy
0
1
y
y
f ( x , y )dx; （2）0 dx sin x f ( x , y )dy
2
π
sin x
12.判定下列交错级数的敛散性,当级数收敛时要确定 级数是绝对收敛还是条件收敛。 n n 1 ln(n 1 ) n 1 ( 2 ) ( 1 ) . ( 1 ) ( 1 ) ; n n 1 n1 n 2