高数复习资料全(打印版)

高等数学（本科少学时类型） 函数与极限 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） 数列的极限

○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列

{}n x ，

证明{}lim n x x a

→∞

=

【证明示例】N -ε语言

1．由

n x a ε

-<化简得

()εg n >，

∴

()N g ε=⎡⎤⎣⎦ 2．即对

>∀ε，

()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N

n >时，始终有不等式

n x a ε

-<成立，

∴{}a

x n x =∞

→lim

函数的极限

○

0x x →时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数

()x f ，

证明

()A

x f x x =→0

lim

【证明示例】δε-语言

1．由

()f x A ε

-<化简得

()

00x x g ε<-<，

∴

()εδg = 2．即对

>∀ε，

()

εδg =∃，

当

00x x δ

<-<时，始终有

不等式()f

x A ε

-

<成

立， ∴()A

x f x x =→0

lim

○∞→x 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数

()x f ，

证明()A

x f x =∞

→lim 【证明示例】X

-ε语言

1．由

()f x A ε

-<化简得

()x g ε>，

∴

()εg X =

2．即对

>∀ε，

()εg X =∃，当X x >时，

始

终

有

不

等

式

()f

x A

ε-

<成立， ∴()A

x f x =∞

→lim

无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★）

函数

()

x f 无穷小

⇔()0l i m

=x f 函

数

()

x f 无

穷

大

⇔(

)∞=x f l i m ○无穷小与无穷大的相关定理

与推论（★★）

（定理三）假设

()x f 为有界

函数，

()x g 为无穷小，则

()()lim 0

f x

g x ⋅=⎡⎤⎣⎦

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若

()x f 为无穷

大，则()

1f x -为无穷小；反

之，若

()x f 为无穷小，且

()0

f x ≠，则

()x f 1-为无

穷大

【题型示例】计算：

()()0l i m x x f x g x →⋅⎡⎤⎣

⎦（或

∞→x ）

1．∵

()

f x ≤

M

∴函数

()

f x 在

x x =的任一去

心邻域()

δ,0x U

内是有界的； （∵

()

f x ≤

M

，∴函数

()

f x 在D x ∈上有界；）

2．

()0

lim 0

=→x g x x 即函数

()x g 是0x x →时的无穷

小； （

()0

lim =∞

→x g x 即函数

()x g 是∞→x 时的无穷

小；）

3

．

由

定

理

可

知

()()0

lim 0

x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦

（()()lim 0

x f x g x →∞

⋅=⎡⎤⎣⎦）

极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式

()

p x 、

()x q 商

式的极限运算 设

：

()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--n

n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1101

10则

有

()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞

=∞→0

lim 0

0b a x q x p x

m n m

n m n >=<

（

特

别

地

，

当

()()0

l i

m 0

x x f x g x →=（不定型）

时，通常分子分母约去公因式

即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值

23

3

lim

9x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，

从而可得

3≠x ，所以原式

()(23

333

lim

lim

933

x x x x x x x →→--==-+-其

中

3

x =为

函

数