练习册 第12章《真空中的静电场》答案

第12章 真空中的静电场 参考答案

一、选择题

1(D)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)， 二、填空题

(1). 电场强度和电势，0/q F E

=，l E q W U a

a

??==00d /(U 0=0).

(2). ()042ε/q q +， q 1、q 2、q 3、q 4 ；

(3). 0，λ / (2ε0) ； (4). σR / (2ε0) ；

(5). 0 ； (6).

???

? ??-π00

114r

r q

ε ； (7). －2×103 V ； (8).

???? ??-πa b

r r q q 1140

0ε

(9). 0，pE sin α ； (10). ()i a x A

2

+-.

三、计算题

1. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在

直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．

解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一

电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：

()204d d x d L q E -+π=ε()2

04d x

d L L x

q -+π=ε 总场强为

?+π=L

x d L x L q E 0

2

0)(d 4－ε()d L d q +π=04ε

方向沿x 轴，即杆的延长线方向．

2．一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，

L

P

d E O

沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如图所示．试求圆心O 处的电场强度．

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 d q = λd l = 2Q d θ / π 它在O 处产生场强

θεεd 24d d 2

0220R

Q

R

q E π=π= 按θ 角变化，将d E 分解成二个分量：

θθεθd sin 2sin d d 2

02R

Q

E E x π== θθεθd cos 2cos d d 2

02R

Q

E E y π-=-=

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

??

?

???-π=??π

ππθθθθε2/2/0202d sin d sin 2R Q

E x ＝0

2022/2/0202d cos d cos 2R Q

R Q E y εθθθθεπ

πππ-=??

????-π-=??

所以 j R

Q j E i E E y x

202επ-=+=

3. “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R

设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为

λ，试求轴线上一点的电场强度．

解:设坐标系如图所示．将半圆柱面划分成许多窄条．d l 宽的窄条的电荷线密度为

θλλλd d d π

=π=l R

取θ位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为

θελελd 22d d 020R

R

E π=π=

如图所示. 它在x 、y 轴上的二个分量为：

d E x

=d E sin θ , d E y

=－d E cos θ

对各分量分别积分

R

R

E x 02

002d sin 2ελ

θθελπ

π=π=?

0d cos 2002=π-=?πθθελ

R

E y

场强 i R

j E i E E y x

02

ελπ=

+=

4.

实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E

垂

直于地面向下，大小约为100 N/C ；在离地面1.5 km 高的地

方，E

也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C ．

(1) 假设地面上各处E

都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；

(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量0ε＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2)

解：(1) 设电荷的平均体密度为ρ面如图(1)(侧面垂直底面，底面?S 平行地面)底面处的

场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电场强度

通量为：

??E

·S d ＝E 2?S -E 1?S ＝(E 2-E 1) ?S 高斯面S 包围的电荷∑q i ＝h ?S ρ 由高斯定理(E 2－E 1) ?S ＝h ?S ρ /ε 0

∴ () E E h

1201-=ερ＝4.43×10-13 C/m 3

(1)

(2) 设地面面电荷密度为σ．由于电荷只分布在地表面，

所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2)

由高斯定理 ??E

·S d =∑i 0

1q ε

-E ?S =

S ?σε0

1

∴ σ =－ε 0 E ＝－8.9×10-10 C/m

3

5. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为

ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R )， A 为一常量．试

求球体内外的场强分布．

解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的

电荷为

r r Ar V q d 4d d 2π?==ρ

在半径为r 的球面内包含的总电荷为

403d 4Ar r Ar dV q r

V π=π==??ρ (r ≤R) 以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/4εAr r E π=π?

得到 ()0214/εAr E =， (r ≤R )

方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里．

在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有 0422/4εAR r E π=π?

得到 ()20424/r AR E ε=， (r >R ) 方向沿径向，A >0时向外，A <0时向里．

6. 如图所示，一厚为b 的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为ρ＝kx (0≤x ≤b )，式中k 为一正的常量．求：

(2)

(1) 平板外两侧任一点P 1和P 2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P 处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？

解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方

向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E ． 作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S ，如图所示．

按高斯定理

∑?=?0ε/d q S E S

，即 0

2

2d d 1

2εερεkSb

x x kS

x S SE b

b

=

=

=

?

?

得到 E = kb 2 / (4ε0) (板外两侧)

(2) 过P 点垂直平板作一

柱形高斯面，底面为S ．设该处场强为E '，如图所示．按高斯定理有

()0

2

2εεkSb xdx kS

S E E x

=

=+'?

得到 ???

? ??-=

'22220

b x k

E ε (0≤x ≤b )

(3) E '=0，必须是02

2

2

=-b x ， 可得2/

b x =

7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为σ．如

图所示，试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O 点的电势为零)．

'

解：将题中的电荷分布看作为面密度为σ的大平面和面密度为－σ的圆盘叠加的

结果．选x 轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x 处产生的场强为

i x

x E

012εσ=

圆盘在该处的场强为 i x R x x E ???? ??+--=2202112εσ

∴

i x R x

E E E 2

20212+=

+=εσ 该点电势为 ()2

20

2

2

2d 2x R R x

R x x U x +-=

+=?εσ

εσ

8. 一半径为R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为

ρ =Ar (r ≤R )，式中A 为常量．试求： (1) 圆柱体内、外各点场强大小分布； (2) 选与圆柱轴线的距离为l (l ＞R ) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布．

解：(1) 取半径为r 、高为h 的高斯圆柱面(如图所示)．面上各点场强大小为E 并垂直于柱面．则穿过该柱面的电场强度通量为：

?π=?S rhE S E 2d

为求高斯面内的电荷，r ＜R 时，取一半径为r '，厚d r '、高

h 的圆筒，其电荷为 r r Ah V ''π=d 2d 2ρ

则包围在高斯面内的总电荷为

3/2d 2d 30

2Ahr r r Ah V r

V

π=''π=??

ρ

由高斯定理得 ()03

3/22εAhr rhE π=π 解出 ()023/εAr E = (r ≤R )

r ＞R 时，包围在高斯面内总电荷为：

3/2d 2d 30

2AhR r r Ah V R

V π=''π=?

?ρ 由高斯定理 ()033/22εA h R r h E

π=π 解出 ()r AR E 033/ε= (r >R )

(2) 计算电势分布

r ≤R 时

??

??+==l R R

r

l r

r

r

AR r r A r E U d 3d 3d 03

20εε ()

R

l AR r R A ln 39033

30εε+-=

r ＞R 时 r

l

AR r r AR r E U l r

l

r

ln 3d 3d 0303εε=?==?

?

9．一真空二极管，其主要构件是一个

半径R 1＝5×10-4 m 的圆柱形阴极A 和

一个套在阴极外的半径R 2＝4.5×10-3

m

的同轴圆筒形阳极B ，如图所示．阳极电势比阴极高300 V ，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本

电荷e ＝1.6×10-19 C)

解：与阴极同轴作半径为r (R 1＜r ＜R 2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为λ．按高斯定理有 2πrE = λ/ ε0

得到 E = λ / (2πε0r ) (R 1＜r ＜R 2) 方向沿半径指向轴线．两极之间电势差

?

?

π-

=?=-2

1

d 2d 0

R R B

A

B A r

r

r E U U ελ 12

0ln 2R R ελπ-=

得到

()1

20/ln 2R R U U A B -=πελ

， 所以

()r

R R U U E A B 1

/ln 12?-=

在阴极表面处电子受电场力的大小为

()()1

1211

/c R R R U U e

R eE F A B ?

-==

＝4.37×10-14

N

方向沿半径指向阳极．

四 研讨题

1. 真空中点电荷q 的静电场场强大小为 2041r

q E πε=

式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？

参考解答：

点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用． 若仍用此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的E 就有确定值．

2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布

的电场不可能是静电场．

参考解答：

证：在电场中作如图所示的扇形环路abcda ．在

ab 和cd 段场强方向与路径方向垂直．在bc 和da 段场强大小不相等（电力线疏密程度不同）而路径相等．因而 0d d d ≠?'-?=????c b a d l E l E l E

按静电场环路定理应有0d =??l E

，

此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场．

3. 如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？如果只知道电场中某点的电势，能否求出该点的场强？为什么？

参考解答：

由电势的定义： ??=零势点场点l E U d

式中E

为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，

如果只知道电场中某点的场强，而不知道路径上各点的场强表达式，不能求出该点的电势。 由场强与电势的关系：

U E grad -=

场中某点的电场强度是该点电势梯度的负值。如果只知道电场中某点的电势值，而不知道其表达式，就无法求出电势的空间变化率，也就不能求出该点的场强。

4. 从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有大量颗粒状粉尘，它们严重污染了环境，影响到作物的生长和人类的健康。静电除尘是

被人们公认的高效可靠的除尘技术。先在实验室内模拟一下

管式静电除尘器除尘的全过程，在模拟烟囱内，可以看到，有烟尘从“烟囱”上飘出。加上电源，烟囱上面的烟尘不见了。如果撤去电源，烟尘又出现在我们眼前。请考虑如何计算出实验室管式静电除尘器的工作电压，即当工作电压达到什么数量级时，可以实现良好的静电除尘效果。

参考解答：

先来看看静电除尘装置的结构：在烟囱的轴线上，悬置了一根导线，称之谓电晕线；在烟囱的四周

设置了一个金属线圈，我们称它为集电极。

直流高压电源的正极接在线圈上，负极接在

电晕线上，如右上图所示。可以看出，接通

电源以后，集电极与电晕线之间就建立了一个非均匀电场，电晕线周围电场最大。改变直流高压电源的电压值，就可以改变电晕线周围的电场强度。当实际电场强度与空气的击穿电场1

3Vmm

3-

?相近时空气发生电离，形成大量的正离子和

10

自由电子。自由电子随电场向正极飘移，在飘移的过程中和尘埃中的中性分子或颗粒发生碰撞，这些粉尘颗粒吸附电子以后就成了荷电粒子，这样就使原来中性的尘埃带上了负电。在电场的作用下，这些带负电的尘埃颗粒继续向正极运动，并最后附着在集电极上。（集电极可以是金属线圈，也可以是金属圆桶壁）当尘埃积聚到一定程度时，通过振动

装置，尘埃颗粒就落入灰斗中。 这种结构也称管式静电除尘器。 如右中图所示。 对管式静电除尘器中的电压设置，我们可以等价于同轴电缆来计算。如右下图所示，r a 与r b 分别表示电晕极与集电极的半

径，L 及D 分别表示圆筒高度及直径。一般L 为3-5m ，D 为200-300mm ，故L >>D ，此时电晕线外的电场可以认为是无限长带电圆柱面的电场。 设单位长度的圆柱面带电荷为λ。 用静电场高斯定理求出距轴线任意距离r 处点P 的场强为：

)

1(?20-----

=r r

E πελ

式中r ?为沿径矢

的单位矢量。

内外两极间电压U 与电场强度E 之关系为

?----?=b a

r r l

E U )2(d ，将式(1)代入式(2)，

积分后得:

a

b

r r U ln 20πελ-

=, 故

a

b

r r r U E ln =

.

由于电晕线附近的电场强度最大，使它

达到空气电离的最大电场强度m E 时，就可获得高压电源必须具备的电压

a

b a m r r

r E U ln ?=

代入空气的击穿电场，并取一组实测参数如下： m 15.0m,105.0,m V 103216=?==??=--b a m r r r E ,计算结果V 101.54?=U . 若施加电压U 低于临界值，则没有击穿电流，实现不了除尘的目的。也就是说，在这样尺寸的除尘器中，通常当电压达到105V 的数量级时，就可以实现良好的静电除尘效果。

静电除尘器除了上述的管式结构外还有其它的结构形式，如

板式结构等。可以参阅有关资料，仿上计算，也可以自行独立设计一种新型结构的静电除尘器。