大学物理习题册及解答(第二版)第一章 质点的运动

(3) 由2秒末的加速度 秒末的加速度
2 t =2
= −16m/s
2
dv a= =10 −18t dt
t =2
= −26m/s
2.一质点在 一质点在Oxy平面上运动，运动方程为 平面上运动， 一质点在 平面上运动 运动方程为x=3t, y=3t2-5(SI), 求(1)质 质 点运动的轨道方程,并画出轨道曲线 并画出轨道曲线;(2)t1=0s和 t2=120s时质点的 点运动的轨道方程 并画出轨道曲线 和 时质点的 的速度、加速度。 的速度、加速度。 解：(1)从运动方程中消去时间就得到轨道方程 从运动方程中消去时间就得到轨道方程
s = v2t
h = H 2,
1 ∴ H' = H 2
Qd s d h
2
2 H2
= −4 H < 0
所以上条件为Ｓ极大的条件
5．河水自西向东流动，速度为10km/h．一轮船在水中航行，船 相对于河水的航向为北偏西300，相对于水的航速为20km/h．此 时风向为正西，风速为10km/h．试求在船上观察到的烟囱冒出 的烟缕的飘向．（设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度）
dθ 则其切向加速度为 a = Rα = R = 0.1m/ s dt
2 t 2
π 1 θ = + t (SI) 4 2
2
2
6 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路 程S随时间的变化规律为 S = v 0 t + 1 2 bt 2 ，其中v0和b都是正的常 量．则t时刻齿尖P的速度大小为v0 + bt，加速度大小为 .
v1 = 2 gh
h
v v2
因为完全弹性碰撞，小 S 2 1 球弹射的速度大小为: v2的方向是沿水平方向，故小球与斜面碰撞后作平抛运动，弹出 的水平距离为:
υ = υ = 2 gh
H
H'
式中t = 2( H − h) g s = 2 gh × 2( H − h) g = 2 h( H − h)
ds H − 2h = 据极值条件 =0 dh h(H − h)
α
，该
1 2 (A) α R (B) 2
分析
4π
α
(C)
2π
α
(D) 条件不够，不能确定
1 2 ∆θ = αt 2
8. 某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同速率从北偏东 30° 方 向 吹 来 ， 试 问 人 感 到 风 从 哪 个 方 向 吹 来 ？ （A）北偏东30° (B)南偏东30° (C)北偏西30°(D)西偏南30°．
= (3 + 6 x 2 )dx υdυ = adx
∫
υ
0
υdυ = ∫ (3 + 6 x 2 )dx
0
x
υ = 6 x + 4 x3
2．一质点沿半径为R的圆周运动，其路程S随时间t变化的规律为： (S I)，式中b、c为大于零的常数，且b2>R c． S = bt − 0.5ct 2 （ 1 ） 质 点 运 动 的 切 向 加 速 度 at ＝ -c(m/s2) , 法 向 加 速 度 an ＝
υ
2
= −ktdt
υ
0
1 2 − + = − kt υ υ0 2
1
1
2. 下列说法中，哪一个是正确的？ (A) 一质点在某时刻的瞬时速度是2m/s，说明它在此后1s内一 定要经过2m的路程． (B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大． (C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零． (D) 物体加速度越大，则速度越大． 3． 在相对地面静止的坐标系内, A、B 二船都以3m/s 的速率匀 速行驶, A 船沿x轴正向, B船沿y轴正向,今在船 A 上设置与静 止坐标系方向相同的坐标系 ( x、y方向单位矢量用i，j表示 ), 那么在 A 船上的坐标系中, B 船的速度（以 m/s 为单位）为
N 30° V人地 W V风人 V风地 E
S
二、填空题
v ∆r v v = lim 1. 在表达式 ∆t →0 中，位置矢量是 ；位移矢量是 。 ∆t 2 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为s=5+4t-t2(SI),则小球运 动到最高点的时刻是 2s 。 分析：求极值的问题 3 一质点沿直线运动，其坐标x与时间t有如下关系：
1
消去t得轨道方程为 y M
o
o r r dr （2） υ = = −ωA sinωt i + ωA cosωt j dr t r r r dυ r a= = −ω A cosωt i − ω A sinωt j = −ω r dt
x y + 2 =1 2 A1 A2 r
2
（椭圆）
1 2
r
x
2
2
2
1
4 2 2 2 2 4
dy dx vy = = 6t (2) vx = = −3, dt dt r r r r r t1=0s时 时 时 v = −3i (m/ s) t1=120s时 v = −3i + 720 j (m/ dvx dvy ax = = 0, ay = =6 dt dt r 2 a(t = 0s) = a(t =120s) = 6 j (m/ s )
•
分析：刚体上某质点的运动可看为随质心的 平动和绕质心转动的合成
B
•
C• O
•
υA =υC + Rω
υB = υ + (Rω)
2
C
2
υ0 =υC − Rω
三计算题 1．有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为 x=5t2-3t3（SI）．试求(1)在第2秒内的平均速度；(2)第 2秒末的瞬时速度；(3)第2秒末的加速度．
第一章 质点的运动（一） 质点的运动（
一、选择题
1 某质点作直线运动的运动学方程为x＝3t-5t3+6(SI)，则 该质点作 (A)匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (B)匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向． (C)变加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (D)变加速直线运动，加速度沿x轴负方向．
2
上式表明：加速度恒指向椭圆中心。
质点在通过图中M点时，其速率是增大还是减小？
x = A cos ωt y = A sin ωt
1 2
at
M
y
Q
a
o
Ｖ an
P
o
x
（3）当t=0时，x=A1，y=0，质点位于图中P点 质点位于
π t= 2ω
时， x = A1 cos
π π
2
= 0, =A
v 2 一质点在某瞬时位于位矢 r ( x , y ) 的端点处，其速度大小为 的端点处，
dr (A ) dt v
(C ) d r dt
v dr (B) dt
(D )
dx 2 dy 2 ( ) +( ) dt dt
3 质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小为(v表 示任一时刻质点的速率)
(A )
dυ υ ( C) + dt R
dυ dt
(B)
2
υ
2
υ (D) + d t R
2
R dυ
4
2

1/ 2
4 质点作曲线运动， S表示路程，at表示切向加速度，下列表达式中，
dυ (1) =a dt dS =υ (3) dt
r r r a υ r 表示位置矢量， 表示速度， 表示加速度，
(A) 3i + 3 j
(B) - 3i + 3 j (D) 3i − 3 j
(C) - 3i − 3 j
二、填空题
1.一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为 a = 3 + 6 x 2 (SI), 如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置的速度 为 ．
dυ dυ dx dυ Qa = = =υ dt dx dt dx
2
y = A sin
2
质点位于图中的Q点,
2
显然质点在椭圆形轨道上沿反时针方向运动。 而在M点，切向加速度的方向与速度的方向相反。 所以，质点在通过M点速率减小。
4. 如图，有一小球从高为H处自由下落，在途中h处碰到一个45o的 光滑斜面与其作完全弹性碰撞(且碰后速度大小不变，方向变为水 平向右)。试计算斜面高 H’为多少时能使小球弹得最远？ 解：小球与斜面碰撞时的速度为:
1．某物体的运动规律为
υ
1 2 (A) υ = kt + υ0 2
1
(B) (D)
1 2 υ = − kt + υ0 2
1 2 1 = − kt + υ 2 υ0 1
(C)
υ
=
1 2 1 kt + 2 υ0
dυ = − kυ 2 t 解: Q dt υ dυ t ∫ 2 = ∫ − ktdt
υ0
∴
dυ
(b − ct)2 /R (m/ s2 ) ． (b ± Rc ) / c (s) 时at＝ an。 （2）质点经过t＝ dS dv 2 速率为： 解：速率为： v = = b − ct at = = −c (m/s ) dt dt
dS at = 2 = −1.2t = −1.2m/ s2 dt
1 dS (20 − 0.6t 2 )2 an = = = =1.88m/ s2 R R dt R
2 2
2
υ
a = a + a = 2.23m/ s
2 t 2 n
2
an tanϕ = = −1.5667 at
8. 半径为R的圆盘在固定支撑面上向右滚动，圆盘质心C的运动速 度为 ，圆盘绕质心转动的角速度为 ，如图所示.则圆盘边 缘上A点的线速度为 ；B点的线速度为 ；O点的 线速度为 . A
(2) (4)
dυ = at dt
（B） 只有(2)、(4)是对的． （D） 只有(3)是对的．
dr =υ dtr
（A）只有(1)、(4)是对的． （C）只有(2)是对的．
5 以下五种运动形式中，a保持不变的运动是 (A) 单摆的运动． (D) 抛体运动． (E) 圆锥摆运动． (B) 匀速率圆周运动． (C) 行星的椭圆轨道运动．
v r
v ∆r
x = A e − β t cos ω t (SI)
(A,β皆为常数) (2) 质点通过原点的时刻 .
(1)任意时刻ｔ质点的加速度
−β t
& 解： x = − A e [ β cos ω t + ω sin ω t ](SI) a = && = Ae [(β −ω ) cosωt + 2βωsin ωt] x
6 下列说法哪一条正确？ (A) 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变． (B) 平均速率等于平均速度的大小． (C) 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成 v = (v 1 + v 2 ) / 2 ( v1 , v 2 分别为初、末速率) (D) 运动物体速率不变时，速度可以变化． 7 一质点从静止出发绕半径为R作圆周运动，角加速度为 质点走完一圈回到出发点，所经历的时间为：
−β t 2 2
质点通过原点时，x
ω t = ( 2 n + 1)
π
= Ae
−β t
cos ω t = 0
(n = 0, 1, 2,…)
2
1 t = (2n +1) /ω π 2
4 一质点沿x方向运动，其加速度随时间变化关系为a =3+2t(SI) , 如果初始时质点的速度v0 为5m/s，则当ｔ为3s时，质点的速度v =_______ 23m/s 5.一质点作半径为 0.1 m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：
a = a +a =
2 2 t n
(dυ/dt) + [(dS / dt) / R]
2 2
2
= b + (v + bt) / R
2 4 0
2
7 汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的路程 随时间的变化关系为 S = 20t − 0.2t 3 (SI) ，汽车在t=1s时的切向加速 度 ，法向加速度大小为 ，加速度的大小和方向为 和 。
r r r υ 解： 烟船 = υ烟 ( 风）地 − υ船地 r r r = υ风地 − (υ船水 + υ水地）
西
υ船水
北
υ船地
υ水地
南 东
υ烟船 υ风地
∴ υ烟船 = υ船水 = 20(m / s)
方向：南偏西30o
一、选择题
第一章 质点运动学（二） 质点运动学（
dυ = − kυ 2t ，式中的k为大于零的常 dt 数．当t＝0时，初速为υ0 ，则速度 与时间t的函数关系是
x y = −5 3
2
4
3．已知质点的运动方程为 r = A1 cos ωt i + A2 sin ωt j，其中A1，A2，ω均 为常数,（1）试证明质点的运动轨迹为一椭圆； （2）证明质点的加速度恒指向椭圆中心； （3）试说明质点在通过图中M点时，其速率是增大还是减小？
x = A cos ωt 证明： （1） y = A sin ωt 2 2
秒内的平均速度表示为： 解： （1）第2秒内的平均速度表示为： ） 秒内的平均速度表示为
∆x x(t = 2) − x(t =1) v= = = −6(m/ s) ∆t 2 −1
“-”表示平均速度 表示平均速度 方向沿x轴负向 轴负向。 方向沿 轴负向。
dx (2) 第2秒末的瞬时速度 v = 秒末的瞬时速度 =10t − 9t dt