清华工程流体力学课件第三章流体动力学基础
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格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。
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将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体
质点的速度和加速度为：
uxu(a,b,c,t) t
vyv(a,b,c,t) t
wzw(a,b,c,t) t
ax u t t22 xax(a,b,c,t)
ay vt 2 t2yay(a,b,c,t)
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
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研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化
规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和 时间t的函数，例如：流体质点的三个速度分量、压强和 密度可表示为： u=u (x，y，z，t)
v=v (x，y，z，t)
（3-4）
w=w (x，y，z，t)
式中，u，v，w分别表 示速度矢量在三个坐标轴上的分量： Vuivjw k
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
v
w y
w w
z
用矢量 a表示加速度，即 aa xi ayj a zk。根
据矢量分析的点积公式aV(V•)V
式中
i
j
t k是矢量微分算子。
x y z
（3-9）
由式（3-8）可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度
由两部分组成；第一部分是由于某一空间点上的流体质点
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的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度，即式 （3-8）中等式右端的第一项 u 、 v 、 w ；第二部分是 某一瞬时由于流体质点的速度随 t空间 t点的 变t 化称为迁移加 速度，即式（3-8）中等式右端的后三项 u u 、v u 、w 等u ； 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度 x。为了y 加深对z
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第一节 描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。 由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如 速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。 根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两种不 同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是 欧拉（Euler）方法。
当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法
则，分别将式（3-4）中三个速度分量对时间取全导数，
并将式（3-7）代入，即可得流体质点在某一时刻经过某
空间点时Fra Baidu bibliotek三个加速度分量
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ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
ay
v t
u
v x
v
v y
w
v z
(3-8)
a z
w t
u
w x
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流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等 运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作 用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。 本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导 出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动 量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。
化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速
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图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动
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度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速 度。
应该注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念，
空间点指固定在流场中的一些点，流体质点不断流过空间
(3-2) (3-3)
az w t t22zaz(a,b,c,t)
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同样，流体的密度、压强和温度也可写成a、b、c、的 函数，即ρ= ρ （a，b，c，），P=P (a，b，c，)，t=t (a， b，c，)。
欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个空间点
上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即
x= x (t) y= y (t) z= z (t)
(3-6)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u d x v dy w dz
dt
dt
dt
（3-7）
现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义
为在dt时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一
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P=p (x，y，z，t) Ρ=ρ（x，y，z，t)
(3-5)
式（3-4）中，当参数x，y，z不变而改变时间t，则表 示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变， 而改变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。
x，y，z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标， 另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据流体连续介 质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每 一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产 生位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移 的变量，它也是时间t的函数：
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将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体
质点的速度和加速度为：
uxu(a,b,c,t) t
vyv(a,b,c,t) t
wzw(a,b,c,t) t
ax u t t22 xax(a,b,c,t)
ay vt 2 t2yay(a,b,c,t)
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
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研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化
规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和 时间t的函数，例如：流体质点的三个速度分量、压强和 密度可表示为： u=u (x，y，z，t)
v=v (x，y，z，t)
（3-4）
w=w (x，y，z，t)
式中，u，v，w分别表 示速度矢量在三个坐标轴上的分量： Vuivjw k
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
v
w y
w w
z
用矢量 a表示加速度，即 aa xi ayj a zk。根
据矢量分析的点积公式aV(V•)V
式中
i
j
t k是矢量微分算子。
x y z
（3-9）
由式（3-8）可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度
由两部分组成；第一部分是由于某一空间点上的流体质点
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的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度，即式 （3-8）中等式右端的第一项 u 、 v 、 w ；第二部分是 某一瞬时由于流体质点的速度随 t空间 t点的 变t 化称为迁移加 速度，即式（3-8）中等式右端的后三项 u u 、v u 、w 等u ； 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度 x。为了y 加深对z
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第一节 描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。 由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如 速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。 根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两种不 同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是 欧拉（Euler）方法。
当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法
则，分别将式（3-4）中三个速度分量对时间取全导数，
并将式（3-7）代入，即可得流体质点在某一时刻经过某
空间点时Fra Baidu bibliotek三个加速度分量
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ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
ay
v t
u
v x
v
v y
w
v z
(3-8)
a z
w t
u
w x
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流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等 运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作 用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。 本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导 出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动 量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。
化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速
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图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动
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度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速 度。
应该注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念，
空间点指固定在流场中的一些点，流体质点不断流过空间
(3-2) (3-3)
az w t t22zaz(a,b,c,t)
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同样，流体的密度、压强和温度也可写成a、b、c、的 函数，即ρ= ρ （a，b，c，），P=P (a，b，c，)，t=t (a， b，c，)。
欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个空间点
上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即
x= x (t) y= y (t) z= z (t)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u d x v dy w dz
dt
dt
dt
（3-7）
现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义
为在dt时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一
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P=p (x，y，z，t) Ρ=ρ（x，y，z，t)
(3-5)
式（3-4）中，当参数x，y，z不变而改变时间t，则表 示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变， 而改变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。
x，y，z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标， 另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据流体连续介 质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每 一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产 生位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移 的变量，它也是时间t的函数：