多项式的分裂域

环同构: F[x] F[x], |F = ,
保持不可约多项式,
(p(x))
记
=
p(x).
(2) 域同构: F F, 不可约p(x)F[x],

F() F()
p() = 0, p() = 0,
域同构: F() F(),
() = , |F = .
三. 代数扩域与超越扩域
定义1.5 设域F, K满足F K, K.
若0f(x)F[x] s.t. f() = 0,
则称为F上的代数元. 满足f() = 0的次数最低的多项式 f(x)F[x]称为在F上的极小多项式.
若不是F上的代数元则称为F上的
超越元.

第四章 多项式的分裂域

第四章 多项式的分裂域
§3 有限域
命题3.4 (1) GF(pn)的子域形如GF(pm),
其中m|n.
(2) m|n, GF(pn)中pm元子域GF(pm)
有且仅有一个. (3) GF(pn)的pt元子域GF(pt)含有ps元
子域GF(ps) s|t.
例1 GF(712).
GF(712) GF(74) GF(76)
定理2.5 域F, 正次数 f(x)F[x]有分裂域.

第四章 多项式的分裂域
定义2.6 F, K1, K2——域 F K1, F K2
: K1 K2 ——F-同构
一一映射 保持加法 保持乘法
(a) = a, aF
§2 分裂域

第四章 多项式的分裂域
§2 分裂域
命题2.7 (1) 域同构: F F
[K : F] = |Gal(K/F)|.

第四章 多项式的分裂域
§5 Galois基本定理
§5 Galois基本定理
F——域, CharF = 0 f(x) F[x] —— deg f(x) > 0 K——f(x) 在F上的分裂域
= {域L | F L K } = {群H | {e} H Gal(K/F) }
GF(72) GF(73)
GF(7)

第四章 多项式的分裂域
§3 有限域
命题3.5 有限域GF(pn)的非零元关于乘法构成
一个pn1阶循环群.
引理3.6 设(G, ·, e)为有限Abel群, m = max{o(g) | gG},
则gm = e, gG.
定理3.7 GF(pn)是Zp上的单扩域. 定理3.8(Wedderburn) 有限除环必是(有限)域.
二. 扩域的次数
§1 扩域
定义1.3 [K:F] = dimFK ——扩域K的F-次数 [K:F] = n ——K为F的n次扩域 [K:F] = ——K为F的无限次扩域
命题1.4 设域F, H, K满足F H K, 则
[K:F] = [K:H][H:F].

第四章 多项式的分裂域
§1 扩域
第四章 多项式的分裂域
§1 扩域
定义1.6 设域F, K满足F K.
若K中的元素都是F上的代数元,
则称K为F的代数扩域.
若K中存在F上的超越元,
则称K为F的超越扩域.
四. 一般域上的一元多项式
定义1.7 导式
f(x) = anxn + an1xn1 + … + a1x + a0
f (x) = nanxn1 + (n1)an1xn2 + …

第四章 多项式的分裂域
§1 扩域
例2 和e都是Q上的超越元.
(1) 欧几里德(古希腊, 约-335~-275): 是一个常数; (2) 阿基米德(古希腊, 战-28国7~(-427162)~:-2213) .14; (3) 刘战徽国(约-472625~~-2约212)9秦5)(之-2前21:~-2063); (4) 尼拉堪三塔国((印22度0~,2约651)5晋~1(266世5~纪42)确0)信是无理数; (5) 詹姆斯·格雷明戈朝里((1苏36格8~兰16, 4146)38~1675)首次证明:
H1 H2 Inv(H1) Inv(H2). (3) L是F上的正规扩域 Gal(K/L) Gal(K/F);
H Gal(K/F) Inv(H)是F上的正规扩域.
(4) L是F上的正规扩域
Gal(L/F) Gal(K/F)/Gal(K/L).

则F是Zp的扩域. (3) 若有限域F的特征为素数p,
[F : Zp] = n, 则|F| = pn. (4) 若有限域F的特征为素数p, |F| = pn,
则F是xpn x在Zp上的分裂域.
问题: 素数p, 正整数n, 有限域F s.t. |F| = pn?

第四章 多项式的分裂域
§3 有限域
命题3.2 素数p, 正整数n,
xpn x在Zp上的分裂域F满足|F| = pn.
定理3.3 (1) 有限域F的元素个数必为形如pn
的整数, 其中p = CharF.
(2) 素数p, 正整数n, 有限域F s.t.
|F| = pn, 而且在同构的意义下是
唯一的.
Galois域: GF(pn)
Galois群: Gal(K/F) = {K的全体F-自同构}

第四章 多项式的分裂域
§4 正规扩域
定理4.5 F——域, CharF = 0 f(x) F[x] —— deg f(x) > 0
K——f(x)在F上的分裂域
M = {1, …, m}——f(x)的全体互异根
Gal(K/F), M, ()M, i.e.
(7) 设f(x)在F[x]中不可约, CharF = 0, 则f(x)无重根.
(8) 若F的特征为素数p, 则(f(x)+g(x))p = f(x)p + g(x)p.

第四章 多项式的分裂域
§2 分裂域
§2 分裂域
一. 单扩域
命题2.1 (1) 设K = F(), 为F上的代数元,
在F 的极小多项式为p(x),

第四章 多项式的分裂域
§4 正规扩域
定理4.3 设F, K为域, F K, CharF = 0.
K为F的正规扩域K为F上的分裂域.
定理4.4 F的有限次扩域K都是单扩域.
K
1, 2, …, n
f(x)在F上的分裂域 f(x) F[x]
=
F
(x1)(x2)…(xn)
CharF = 0

第四章 多项式的分裂域
§4 正规扩域 一. 正规扩域的定义与性质 定义4.1 F——特征为0的域
K——F的有限扩域 K为F的正规扩域: 不可约p(x)F[x],
若K s.t. p() = 0, 则p() = 0 K.
§4 正规扩域
定义4.2 , F-共轭: 在F上的极小多项式相同

第四章 多项式的分裂域
定义2.8 F, F, K, K ——域.

F
K
域同构
域同构
F K
§2 分裂域
F

K
F
——的开拓
K
第四章 多项式的分裂域
§2 分裂域
命题2.9 域同构: F F,
环同构: F[x] F[x], |F = ,
(
记
f(x)) =
Gal: ; L Gal(K/L)
Inv: ; H {K | H, = }

第四章 多项式的分裂域
§5 Galois基本定理
Gal: ; L Gal(K/L)
Inv: ; H {K | H, = }
(1) Gal, Inv是 与 之间互逆的一一对应. (2) L1 L2 Gal(K/L1) Gal(K/L2);
=
1 2 (1) (2)
… …
m (m)
为M的一个置换.

第四章 多项式的分裂域
§4 正规扩域
: Gal(K/F) Gf = { | Gal(K/F)}

=
1 2 (1) (2)
… …
m (m)
定理4.6 F——域, CharF = 0 f(x) F[x] —— deg f(x) > 0 K——f(x)在F上的分裂域
是无理数(巧妙但不严密); (6) 德顺·治拉(尼16(4法4-,11666620)~康1熙73(41)6推62断-17是23无) 理数; (7) 兰顺伯治特(16(德44,)康17熙28(~11676727))雍证正明(1是72无3-1理73数6)(不严格); (8) 勒雍让正德(17(法23,-173562)~乾18隆33()1于73167-9147年96严) 格证明: , 2; (9) 埃乾尔隆米(17特36(法)嘉, 庆18(2127~9169)0道1)光于(11887231年-18证51明) e是超越数; (10)道林光德(1曼82(德1)咸, 1丰85(21~815913)9同)于治1(81826年2)光证绪明(1是87超5-越19数08.)
deg p(x) = n.
则K = F() F[x]/(p(x)),
1, , …, n1是FK的一组基,
[K:F] = n.
(2) 不可约p(x)F[x], K = F() s.t.
在F上的极小多项式为p(x).
第四章 多项式的分裂域
例1 p(x) = x3 2 Q[x].
例1 Q( 2)是Q的单扩域.
§1 扩域
Q( 2) = {a+b 2 | a, b Q},
1, 2是Q( 2)作为Q-线性空间的一组基,
[Q( 2):Q] = 2,
Q( 2)是Q上的2次扩域,
f(x) = x22, g(x) = x44 Q[x],
f ( 2) = 0 = g( 2), 2是Q上的代数元, f(x) = x22是 2在Q上的极小多项式.
§2 分裂域
命题2.2 (1) 设K = F(), 为F上的超越元, 则K = F() F(x).
F[x]的分式域
(2) 域F, K = F() s.t. 为F上的
超越元.
命题2.3 设K = F(S), S = {1, …, m}, i为F上的
ni次代数元(i = 1, …, m),
(4) F[x]中的n次多项式f(x)在F中至多有n个不同的根.
(5) 设f(x)F[x], E是F的扩域, E, 则
在E[x]中, (x)2 | f(x) f() = f () = 0.
(6) 设f(x), g(x)F[x], f(x)不可约.
若f(x), Fra Baidu bibliotek(x)在F的扩域E中有公共根, 则f(x) | g(x).
第四章 多项式的分裂域
§1 扩域 一. 添加元素法 命题1.1 设K为F的扩域,
S1, S2 K, 则 F(S1)(S2) = F(S1∪S2).
K F(S) F[S]
FS
定义1.2 S为有限集——有限生成扩域F(S) S = {a} ——单扩域F(a)
§2 §3 §4 §5
第四章 多项式的分裂域
f(x),
K—— f(x)的分裂域,
K—— f(x)的分裂域,
域同构: K K, |F = .
定理2.10 域F, 正次数 f(x)F[x]有分裂域,
且在F-同构的意义下是唯一的.

第四章 多项式的分裂域
§3 有限域
§3 有限域
命题3.1 (1) 有限域的特征必为素数. (2) 若有限域F的特征为素数p,
则[K:F] n1n2 …nm.

第四章 多项式的分裂域
§2 分裂域
定义2.4 F——域 f (x) ——F[x]正次数多项式 K——F的扩域
f (x) = a(x1)…(xm) 1, …, m K F(1, …, m) ——f (x)的分裂域
例2 f(x) = x3 2 Q[x].
+ 2a2x + a1

第四章 多项式的分裂域
§1 扩域
命题1.8 对于任意的域F,
(1) F[x]是Euclid整环.
(2) f(x) = g(x)h(x) Z[x] f(x) = g(x)h(x) F[x].
(3) 设f(x) F[x], F, 则 f() = 0 (x) | f(x).