初三数学培优卷(垂径定理+圆中的角)

垂径定理+圆中的角

重点题型：

【例】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD它们的交点E到圆心0的距离等于1,则AB2 CD2=( )

2、如图，O O的半径为10cm G是直径AB上一点，弦CD经过点G, CD= 16cm, AE丄CD于E, BF丄CD于F,求AE— BF 的值。

第2题图

A 28 B、26

C、18 、35

练习1、如图, Rt△ ABC中，/ C= 900, AC= 3, BC= 4,以点C为圆心，CA为半径的圆与AB BC分别交于点D E,求AB AD的长。

B

O

F

3、如图，AB 为O O 的直径，点 C 在O O 上，/ BAC 的平分线交 BC 于D,交O O 于E ,且AC =6, AB = 8,求 CE 的长。

弦AB 的长为6, M 是弦AB 上的一动点，则线段的 ）

B. 4< OM < 5 D. 4 V OM V 5

圆中的角度问题

例?如图，在等腰厶 ABC 中，AC = BC, / C = 1000

，点P 在厶ABC 的外部，并且 PC = BC 求/ APB

的度数。

、选择题:

2、已知AB 、AC 与O O 相切于B 、C ,Z A = 50°,点P 是O O 上异于B 、C 的一动点，则 / BPC 的度数是（

）

A 、 65°

B 、 115°

C 、65° 或 115°

D 、130° 或 50°

4.圆O 的直径为10,

的长的取值范围是（

A. 3< OM < 5 C. 3v OM V 5

OM

4、如图，AB 是O O 的直径，DB 、DC 分别切O O 于B 、C ,若/ ACE = 25°,则/ D 为（）

B 、550 65 A

O

C

D

A B

D

A B A

O

C X

B

D 填空题

C 是O O 上的三个点,

A E D

O A B B C P

B

A D

第5题图

5、如图，O O 经过O O i 的圆心 :

)

6、如图，四边形 C

第6题图

BC 平分/ ABO 时，能得出结论 ABCD 内接于O O ,贝U X

7 D

700

7、 如图，A 、B 写一个）。 8、 如图，AB 是O O 的直径，C 、D 、E 都是O O 上的点，则/ 1 + Z 2 = 弓

1800

=180° -2： '=:■ :O 1 2

O 1，/ ADB = ■■ , /ACB ='，则［与'之间的关系是（

E C

第4题图

D 、

（任

第7题图 第8题图 第9题图

A 、500 C 、60

B

C

1

尹―)

上

\ V ---------------------------- 1

C 9、如图，PA 切O O 于点A , / APB 交 AB 于点

D ，则/ ADP =

PO 交O O 于C ,延长 PO 交O O 于点B , PA = AB , PD 平分

11、如图，O O l 与。。2为两个等圆，在O 。2上，。2在O 上，O 与O 。2交于A 、B 两点，过B 的直线交O O l 于C ,交O 02于D ，过C 作O O l 的切线CE 与过D 作O O 2的切 线DE 交于E ,则/ E =

_____________________________ 。

三、计算题或证明题：

12、如图，已知 P 为O 0外一点，PA 、PB 分别切O 0于A 、B , 0P 与AB 相交于点 M , C

13、如图，O O 1与O 02交于A 、B 两点，点 0i 在O 02上，O O 2的弦O i C 交AB 、O O 1于 D 、E 。求证：

2

(1) AO i =O i DO i C (2) E ABC 的内心。 14、如图，已知 AD 是厶ABC 夕卜角/ EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D ，延长DA 交 △ ABC 的外接圆于点 F ，连结FB 、FC 。 (1) 求证：FB = FC

;

A

(2)FB2二FA FD ；

(3)若AB是厶ABC的外接圆的直径，/ EAC = 120°, BC = 6cm，求AD的长。

15、如图，O O的直径AB = 6, P为AB上一点，过P作O O的弦CD，连结AC、BC,设竺=7十

4忑

/ BCD = m/ ACD，当AP 时，是否存在正实数m，使弦CD最短？若存在，

请求出m的值；若不存在，请说明理由。

16、如图，在△ ABC中，AD为/ BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于F,交AE于点M，且/ B = Z CAE , EF : FD = 4 : 3。

(1)求证：AF = DF ;

(2)求/ AED的余弦值；

(3)如果BD = 10，求△ ABC的面积。

答案

离等于1，则AB2 CD2=( )

A 28

B 、26

C 、18

D 、35

分析：如图，连结OA OC过O分别作AB CD的垂线，垂足分别为CN^ ND

?/ OM L MN MEL EN CN= ND

2 2 2

二OM 2 ON -OE2

从而

OA2 _AM 2 OC2 -CN2 =OE2

即22 -(AB)222 -(CD)2 =12

2 2

二AB2 CD2=28 故选A o

1、AB= 5, AD= 18 ；

5

2、解：连结OC过点O作OML CD于M贝U CM= MD M N,贝U AM= MB

A

C

O N

E

M

D

例2图

三、计算题或证明题：12、提示：连结 OA OA 2=OM OP = OC 2

, / / O 是公共角，△ OC WA OPC

13、略证：(1)连结，OB ，由 OA = OB 可得/ OAD=Z OCA / AOD 是公共角，OAD

1 1

1 1

OCA; (2)连结 AE 、BE 由/ ABE = — / AQC = —

/ ABC /

BAE=— /

BQE = — /

BAG

2 2

2 2

? (7

4 . 3 1)k = 6，解得 k 二 6 ~ 3 ??? OF = OA- AP = 3-6 ?3 =整

2 2 2

在 Rt △ POD 中, cos / PO =

OD

3

■. 3

，?/ PO = 30，/ ACD= 15

?/ AB 为O O 的直径，?/ ???/

BCD= 900

— 150

= 750

? m = 5，即存在正实数

?/ CD= 16, AB = 8,在 Rt △ OMC 中，因 OC= 10 ? OM = .OC 2 -CM 2 = ...102 - 82丄6 ?/ AE 丄 CD BF 丄 CD ，OML CD ，? AE// OM/ BF

? AE AG OM 一 OG ? AE — BF …OM=

BF BG

，OM _ OG

AG - BG 2OG o OG OG ??? AE— BF = 2OM= 12

3、提示：连结 c r\

OE 由BE = EC 得OE 垂直平分BC 于F ，

AB 为直径，则/ ACB= 900

，BC =

.AB 2 - AC 2

= 2.7 o ? CF = 7 ， EC = (. 7) 1 AC = BC = PC,联想到圆的定义，画出以点

22

C 为圆心，AC 为半径的圆，问题

解：??? AC = BC, PC = BC

? A 、B P 三点在以C 为圆心，AC 为半径的圆上

1

若P 、C 在AB 的同侧，则/ APB= / ACB

2

???/

ACB= 1000

,「./ APB= 500

若 P 、C 在 AB 的异侧，则/ APB= 1800

— 50= 130° 一、选择题：ACCAD1、填空题：

6 、140°;

1200

7、OC// AB 等；8、

些卫，又

OM OC

14、( 1) (2)略；(3) 4. 3 cm 。 15、解： 的弦最短。? BP 7 4.3，设 AP = k , AP

连结OD 设存在正实数 CP 丄AB 于P o

m ，则在O O 中过P 点的所有弦中，只有垂直于直径

则 BP = (7 4. 3)k ，又 AB = 6

ACB= 900

???/

BCD=

m ，使CD 弦最

短。

P

分析：注意条件 则得以解决。

900

; 9、450

; 10、1; 11、