导体中的静电场
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§2-1静电场中导体的基本性质
1. 导体的物质结构：正自离由子电晶子格
导体在电结构上的重要特征：具有大量的自由电子 静电平衡条件：
静电平衡时，导体內部场强处处为零，每个 均匀导体都是等势体。
高斯定理
环路定理
静电平衡条件 库仑定律 叠加原理
讨论有导体存在的静电 现象,导体内外的电荷分 布，及电场的分布.
0
E , 0
写成矢量式即：E
0
en
结论：带电导体表面附近的场强与该表面的电 荷面密度成正比；场强方向垂直于表面。
（适用于孤立导体、处在外电场中的任意导体）
注意： 导体表面附近的场强E是导体上的所有电荷、及 周围其它带电体上的电荷所激发的合场强。
外电场及导体分布的影响已在 中体现出来了。
例如：一个带电为q，半经为R的球，在球外侧P点
处的场强是：
E
q
4 0R2
0
显然，E是整个球面上的电荷激发的；
如果再在这导体球的邻近处放一点电荷q1， 这时P点的场强E’由q,q1,及q1在球面上的感应电 荷共同激发的。 这时，在P点的场强E’和邻
近P点球面上的点荷面密度 ' 都有了变化，尽管
如此，但它们仍满足
E'
'
0
电荷在导体表面上分布的规律：
电荷守恒定律
2. 静电平衡
静电感应的过程是导体达到静电平衡的过程：
(10-8—10-10s)
当导体不带电、不受外电场的作用时，金属导体中大 量的自由电子和晶格中的正电荷相互中和，整个导体或其 中任一部分都是呈电中性的。这时，在导体中正负电荷均 匀分布，除了微观热运动外，没有宏观电荷运动。
导体的静电感应过程
当导体板放入一均匀静电场中，不管原来的电场分布 怎样，该导体在达到静电平衡时，它内部的场强都等 于零。因为进入导体内部的外电场被感应电荷所激发 的电场抵消了。
同时，因为导体上出现感应电荷，也将对原来的外电 场产生影响、并改变电场在空间的分布。
wenku.baidu.com
达到静电平衡时
电场中的球形导体
静电感应的过
程是正负电荷重新 分布的过程，当达 到静电平衡时，电 荷分布就确定了。 ∴只须考虑电荷分布。
（1）和导体自身的形状有关 （2）和附近其它带电体、及其分布有关。
特例：
对孤立的带电导体来说，电荷在其表面上的分布 全部由自身的形状决定。要定量地研究电荷的分 布是比较复杂的，但根据实验现象的分析可定性 得出，孤立带电导体表面的电荷分布规律如下：
对形状不规则的带电导体来说，电荷在它外 表面的分布是不均匀的，它与导体表面的曲率有 关，在表面凸出、而尖锐（曲率较大处），电荷 面密度较大；在表面平坦的地方（曲率较小）， 面电荷密度较小；在表面凹进去的地方（曲率为 负），面电荷密度更小。
(2)空心导体,空腔内没有电荷
(a)由高斯定理可证： 导体内壁无电荷；
(b)用反证法证明: 内表面任意点静电荷为零；
如果内表面带等量、异号的静电荷，那 么电场线从+q指向-q，两点间的电势为：
2
V E dl , 沿电场线积分
1
与导体是等势体矛盾。 ∴内表面处处无电荷。
电荷只能分布在导体的外表面上。
电荷密度分别为： R
Q
4R2
,
r
q
4r 2
,
R Qr2 r r qR2 R
结论：电荷密度和曲率半径成反比。
即曲率半径愈小电荷面密度愈大。
如果两个球相距不远，两球所带电荷的相互影响 不能忽略，这时每个球不能看作孤立导体，两球表面 上的电荷分布也不再均匀。同一球面上的曲率半径虽 然相同，但电荷密度却不再相同。
围绕⊿S 作一个扁平的圆柱形闭合面，使圆 柱的轴线垂直于导体表面，而它的上下两个底面 平行于导体表面，上底面通过P点，下底面在导体 内部。
∵导体表面的场强与表面垂直， 圆柱侧面与场强平行， ∴通过侧面的E通量等于0；
又∵导体内部场强为0，通过下底 面的E通量为0；应用高斯定理：
E d S ES S ,
当把一个不带电的导体放入静电场，在最初极短暂的 时间内（约10-8s的数量级）,导体内会有电场存在，这个 电场将驱使体内的自由电子相对晶格作宏观的定向运动， 从而引起导体中正负电荷的重新分布，结果使导体的一端 带正电荷，另一端带负电荷，这就是静电感应。
空间任意一点的场强是一切电荷的合场强。
导体的静电感应过程
发拉第圆筒实验，证实以上论证是正确的。
§2-2 导体表面的电场与电荷分布
尖端效应
根据高斯定理求解.
在导体表面外无限靠近表 面处任取一点P，过P作导体表 面的外法线en，如图所示， 则P点的场强为：E=E en
在P点附近的导体表面上取面积元⊿S， ⊿S 取得足够小，可认为该面元上的电荷面密度是均 匀的。
例：两个半径分别为R和r的球形导体（R>r），用 一根很长的细导线连接起来，使这个导体组带电， 电势为V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。
解：两个导体所组成的整 体可看成是一个孤立导体 系，在静电平衡时有一定 的电势值。
设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球 处所激发的电场可忽略不计。
细线的作用是使两球保持等电势，而细线上少量的 电荷在两球处所激发的电场影响也可以忽略。
因此每个球又可近似地看作孤立导体，在球表面上的电 荷分布各自都是均匀的。
设大球所带电荷量为Q，小球所带电荷量为q，则两球
的电势为：
V 1 Q 1 q , 得：Q R
4 0 R 4 0 r
qr
∴大球所带电荷量Q比小球所带电荷量q多。
证明：
3. 静电平衡时，电荷只能分布在导体表面, 导体内部不可能有未抵消的静电荷.
(1)实心导体
在导体内取一点P，围绕它作一 任意的闭合面S，在闭合面上任一 点的场强都为0，由高斯定理知： 通过这一闭合面的E通量等于0。因 此在这一闭合面内没有静电荷。
结论：当带电导体处于静电平衡状态时，导体 内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布于导 体的表面。
导体达到静电平衡的另一种过程
使原来电中性的导体带上电荷。 在刚带上电荷的瞬间，这些电荷在导体内部会引起导体中 电荷重新分布（即：电荷的宏观运动）。 如果外界不提供能量，电荷的这种宏观运动很快会停下来， 随之而来的是静电平衡状态，即：导体中没有电荷作宏观 的定向运动。
导体达到静电平衡时：E内=0
推论：（1）导体是等势体 （2）导体表面的场强⊥导体表面
1. 导体的物质结构：正自离由子电晶子格
导体在电结构上的重要特征：具有大量的自由电子 静电平衡条件：
静电平衡时，导体內部场强处处为零，每个 均匀导体都是等势体。
高斯定理
环路定理
静电平衡条件 库仑定律 叠加原理
讨论有导体存在的静电 现象,导体内外的电荷分 布，及电场的分布.
0
E , 0
写成矢量式即：E
0
en
结论：带电导体表面附近的场强与该表面的电 荷面密度成正比；场强方向垂直于表面。
（适用于孤立导体、处在外电场中的任意导体）
注意： 导体表面附近的场强E是导体上的所有电荷、及 周围其它带电体上的电荷所激发的合场强。
外电场及导体分布的影响已在 中体现出来了。
例如：一个带电为q，半经为R的球，在球外侧P点
处的场强是：
E
q
4 0R2
0
显然，E是整个球面上的电荷激发的；
如果再在这导体球的邻近处放一点电荷q1， 这时P点的场强E’由q,q1,及q1在球面上的感应电 荷共同激发的。 这时，在P点的场强E’和邻
近P点球面上的点荷面密度 ' 都有了变化，尽管
如此，但它们仍满足
E'
'
0
电荷在导体表面上分布的规律：
电荷守恒定律
2. 静电平衡
静电感应的过程是导体达到静电平衡的过程：
(10-8—10-10s)
当导体不带电、不受外电场的作用时，金属导体中大 量的自由电子和晶格中的正电荷相互中和，整个导体或其 中任一部分都是呈电中性的。这时，在导体中正负电荷均 匀分布，除了微观热运动外，没有宏观电荷运动。
导体的静电感应过程
当导体板放入一均匀静电场中，不管原来的电场分布 怎样，该导体在达到静电平衡时，它内部的场强都等 于零。因为进入导体内部的外电场被感应电荷所激发 的电场抵消了。
同时，因为导体上出现感应电荷，也将对原来的外电 场产生影响、并改变电场在空间的分布。
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达到静电平衡时
电场中的球形导体
静电感应的过
程是正负电荷重新 分布的过程，当达 到静电平衡时，电 荷分布就确定了。 ∴只须考虑电荷分布。
（1）和导体自身的形状有关 （2）和附近其它带电体、及其分布有关。
特例：
对孤立的带电导体来说，电荷在其表面上的分布 全部由自身的形状决定。要定量地研究电荷的分 布是比较复杂的，但根据实验现象的分析可定性 得出，孤立带电导体表面的电荷分布规律如下：
对形状不规则的带电导体来说，电荷在它外 表面的分布是不均匀的，它与导体表面的曲率有 关，在表面凸出、而尖锐（曲率较大处），电荷 面密度较大；在表面平坦的地方（曲率较小）， 面电荷密度较小；在表面凹进去的地方（曲率为 负），面电荷密度更小。
(2)空心导体,空腔内没有电荷
(a)由高斯定理可证： 导体内壁无电荷；
(b)用反证法证明: 内表面任意点静电荷为零；
如果内表面带等量、异号的静电荷，那 么电场线从+q指向-q，两点间的电势为：
2
V E dl , 沿电场线积分
1
与导体是等势体矛盾。 ∴内表面处处无电荷。
电荷只能分布在导体的外表面上。
电荷密度分别为： R
Q
4R2
,
r
q
4r 2
,
R Qr2 r r qR2 R
结论：电荷密度和曲率半径成反比。
即曲率半径愈小电荷面密度愈大。
如果两个球相距不远，两球所带电荷的相互影响 不能忽略，这时每个球不能看作孤立导体，两球表面 上的电荷分布也不再均匀。同一球面上的曲率半径虽 然相同，但电荷密度却不再相同。
围绕⊿S 作一个扁平的圆柱形闭合面，使圆 柱的轴线垂直于导体表面，而它的上下两个底面 平行于导体表面，上底面通过P点，下底面在导体 内部。
∵导体表面的场强与表面垂直， 圆柱侧面与场强平行， ∴通过侧面的E通量等于0；
又∵导体内部场强为0，通过下底 面的E通量为0；应用高斯定理：
E d S ES S ,
当把一个不带电的导体放入静电场，在最初极短暂的 时间内（约10-8s的数量级）,导体内会有电场存在，这个 电场将驱使体内的自由电子相对晶格作宏观的定向运动， 从而引起导体中正负电荷的重新分布，结果使导体的一端 带正电荷，另一端带负电荷，这就是静电感应。
空间任意一点的场强是一切电荷的合场强。
导体的静电感应过程
发拉第圆筒实验，证实以上论证是正确的。
§2-2 导体表面的电场与电荷分布
尖端效应
根据高斯定理求解.
在导体表面外无限靠近表 面处任取一点P，过P作导体表 面的外法线en，如图所示， 则P点的场强为：E=E en
在P点附近的导体表面上取面积元⊿S， ⊿S 取得足够小，可认为该面元上的电荷面密度是均 匀的。
例：两个半径分别为R和r的球形导体（R>r），用 一根很长的细导线连接起来，使这个导体组带电， 电势为V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。
解：两个导体所组成的整 体可看成是一个孤立导体 系，在静电平衡时有一定 的电势值。
设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球 处所激发的电场可忽略不计。
细线的作用是使两球保持等电势，而细线上少量的 电荷在两球处所激发的电场影响也可以忽略。
因此每个球又可近似地看作孤立导体，在球表面上的电 荷分布各自都是均匀的。
设大球所带电荷量为Q，小球所带电荷量为q，则两球
的电势为：
V 1 Q 1 q , 得：Q R
4 0 R 4 0 r
qr
∴大球所带电荷量Q比小球所带电荷量q多。
证明：
3. 静电平衡时，电荷只能分布在导体表面, 导体内部不可能有未抵消的静电荷.
(1)实心导体
在导体内取一点P，围绕它作一 任意的闭合面S，在闭合面上任一 点的场强都为0，由高斯定理知： 通过这一闭合面的E通量等于0。因 此在这一闭合面内没有静电荷。
结论：当带电导体处于静电平衡状态时，导体 内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布于导 体的表面。
导体达到静电平衡的另一种过程
使原来电中性的导体带上电荷。 在刚带上电荷的瞬间，这些电荷在导体内部会引起导体中 电荷重新分布（即：电荷的宏观运动）。 如果外界不提供能量，电荷的这种宏观运动很快会停下来， 随之而来的是静电平衡状态，即：导体中没有电荷作宏观 的定向运动。
导体达到静电平衡时：E内=0
推论：（1）导体是等势体 （2）导体表面的场强⊥导体表面