计算方法第六章作业

解得：1 =0.8，2 =-1.019，3 =0.2928
0 -2 2 解:雅可比法迭代矩阵为BJ =D-1 L+U = -1 0 -1 -2 -2 0 I -BJ = 3，故 BJ = max =0<1,故收敛
x1 +2x2 +-2x3 =1 （2）、 x1 +x2 +x3 =1 2x +2x +x =1 2 3 1
2、设线性方程组，考察雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代法的收敛性。 x1 +0.4x2 +0.4x3 =1 （ 1）、 0.4x1 +x2 +0.8x3 =2 0.4x +0.8x +x =3 1 2 3
0 -0.4 -0.4 解:雅可比法迭代矩阵为BJ =D -1 L+U = -0.4 0 -0.8 -0.4 -0.8 0 0.4 0.4
ห้องสมุดไป่ตู้
解:雅可比迭代法的迭代矩阵的特征方程为 展开有a11a22 2 -a12 a21 =0， 2 = a12 a21 C a11a22
a11 a21
a12 a22
=0
当C>0时， = C，当C=0时，1,2 =0，当C<0时， = Ci 综上有 J = C ，而雅可比迭代收敛的充要条件为 J <1，即 C <1.
a 0 0 -1 10 10 0 a 0 b b 解：雅可比法的迭代矩阵BJ = 10 -b 0 -b = 0 - 10 10 5 0 -a 0 a 0 0 5
I -BJ = 0.4
0.4 0.8
0.8 = -0.8 2 +0.8 -0.32

因 BJ >1,所以雅可比迭代法不收敛。高斯赛德尔迭代法矩阵为 0 -0.4 -0.4 -1 BG = D-L U= 0 0.16 -0.64 ， 0 0.032 0.672 因为 BG BG =0. 8<1 故高斯—赛德尔迭代法收敛。
高斯赛德尔迭代法矩阵为
0 -2 2 -1 2 BG = D-L U= 0 2 -3 ， I -BG = -2 . 0 0 2 1 =0，2 =3 =2,故 BG =2>1，故高斯—赛德尔迭代法不收敛。
a11 x1 +a12 x2 =b1 3、设线性方程组 ,a11 ,a22 0,证明解此方程组 a21 x1 +a22 x2 =b2 的雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法同时收敛或发散，并 求两种方法渐进收敛速度之比。
R J -ln J ln C 1 两种方法的渐进收敛速度之比为 = = = . R G -ln G ln C 2
10 a 0 4、设A= b 10 b , det A 0用a,b表示解线性方程组Ax =f 0 a 5 的雅可比迭代与高斯—赛德尔迭代收敛的充分必要条件.
3 ab 2 3ab I -BJ = , BJ = 100 10 故雅可比法收敛的充要条件是 ab < 100 3
10 高斯赛德尔法的迭代矩阵为BG = b 0 0 =0 0
2
0 0 0 -a 0 10 0 0 0 -b a 5 0 0 0 a 0 10 ab b - ， 100 10 a 2b ab 500 50
高斯赛德尔迭代法矩阵G的特征方程为
a11
a12
a21 a22
=0
将行列式展开有 a11a22 -a12 a21 =0，1 =0，2 =
a12 a21 =C， G = C a11a22
高斯—赛德尔迭代法收敛的充要条件为 G <1，即 C <1收敛 从而可知当 C <1时 J <1， G <1故二者方法均收敛。 否则当 C 1时 ， J 1 G 1故二者发散
-1
3 ab 3ab I -BG = , BG = 100 100 故高斯—赛德尔迭代法收敛的充要条件是 ab < 100 。 3