数值计算方法-复习-第六章
数值计算方法复习
第三章 常微分方程的差分方法 熟练掌握欧拉法及改进的欧拉法的思想及算法的 求解过程. 求解过程 熟练掌握龙格-库塔法的思想及求解过程 库塔法的思想及求解过程. 熟练掌握龙格 库塔法的思想及求解过程 第四章 方程求根的迭代法 熟练掌握迭代法收敛的判定方法． 熟练掌握迭代法收敛的判定方法． 熟练掌握牛顿法的思想及求解过程. 熟练掌握牛顿法的思想及求解过程 熟练掌握弦截法及快速弦截法的思想及其求解过程. 熟练掌握弦截法及快速弦截法的思想及其求解过程 第五章 线性方程组的迭代法 熟练掌握雅可比迭代的求解过程及收敛的判定方法． 熟练掌握雅可比迭代的求解过程及收敛的判定方法． 熟练掌握塞德尔迭代的求解过程及收敛的判定方法． 熟练掌握塞德尔迭代的求方程组的直接法 熟练掌握约当消去法的思想及其求解方法． 熟练掌握约当消去法的思想及其求解方法． 熟练掌握高斯消去法的思想及其求解方法． 熟练掌握高斯消去法的思想及其求解方法． 熟练掌握选主元消去法的思想及其求解方法． 熟练掌握选主元消去法的思想及其求解方法． 熟练掌握追赶法的思想及其求解方法． 熟练掌握追赶法的思想及其求解方法． 熟练掌握平方根法的思想及其求解方法． 熟练掌握平方根法的思想及其求解方法．
数值计算方法复习
引言: 了解算法的构成要素. 了解算法的构成要素 掌握有效数字的概念及求解方法. 掌握有效数字的概念及求解方法 第一章 插值方法 熟练掌握拉格朗日插值方法的思想及求解思路. 熟练掌握拉格朗日插值方法的思想及求解思路 熟练掌握牛顿插值方法的思想及求解思路. 熟练掌握牛顿插值方法的思想及求解思路 掌握埃特金方法的思路及对低阶多项式的构造方法. 掌握埃特金方法的思路及对低阶多项式的构造方法. 第二章 数值积分 掌握解决数值积分问题的基本思想及代数精度的概念. 掌握解决数值积分问题的基本思想及代数精度的概念 熟练掌握牛顿-柯斯特公式及其思想 柯斯特公式及其思想. 熟练掌握牛顿 柯斯特公式及其思想 熟练掌握复化求积公式的的思想及求解过程. 熟练掌握复化求积公式的的思想及求解过程 熟练掌握龙贝格加速公式. 熟练掌握龙贝格加速公式
(完整word版)《数值计算方法》复习资料全
《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
三例题例1设x*= =3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即解因为x1m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a=2，相对误差限1x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n=3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr ==0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, n=4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n=6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x 1,x 2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算方法复习要点
第一章引论计算方法解决问题的主要思想计算方法的精髓：以直代曲、化繁为简1、采用“构造性”方法构造性方法是指具体地把问题的计算公式构造出来。
这种方法不但证明了问题的存在性，而且有了具体的计算公式，就便于编制程序上机计算。
2、采用“离散化”方法把连续变量问题转为求离散变量问题。
例：把定积分离散成求和，把微分方程离散成差分方程。
3、采用“递推化”方法将复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。
由于递推算法便于编写程序，所以数值计算中常采用“递推化”方法。
4、采用“近似代替”方法计算机运算必须在有限次停止，所以数值方法常表现为一个无穷过程的截断，把一个无限过程的数学问题，转化为满足一定误差要求的有限步来近似替代。
算法的可行性分析时间复杂度、空间复杂度分析算法的复杂性（包含时间复杂性和空间复杂性）。
时间复杂度是算法耗费时间的度量。
算法的空间复杂度是指算法需占用存储空间的量度算法的可靠性分析良态算法、病态算法一个算法若运算过程中舍入误差的积累对最后计算结果影响很大，则称该算法是不稳定的或病态算法，反之称为稳定算法或良态算法。
误差的来源1、模型误差我们所建立的数学模型是对实际问题进行抽象简化而得到的。
因而总是近似的，这就产生了误差。
这种数学模型解与实际问题的解之间出现的误差，称为模型误差。
2、观测误差观测到的数据与实际数据之差。
3、截断误差数学模型的准确解与计算方法的准确解之间的误差。
4、舍入误差由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，每次计算又会产生新的误差，这种误差称为舍入误差。
绝对误差、相对误差定义2 记x*为x的近似数，称E(x)=x-x*为近似数x*的绝对误差，|E(x)|为绝对误差限。
定义3 称Er(x)=(x-x*)/x为近似数x*的相对误差。
实际运算时也将Er*(x)=(x-x*)/x*称为近似数x*的相对误差。
“四舍五入”：即尾数是4或以下则舍去，尾数是6或以上则进1，如果尾数是5，则规定：前面一位数字是偶数则舍去，奇数则进1。
(完整)数值计算方法复习
2016计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项3. 会Jacobi 迭代、Gauss —Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵,谱半径,收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式；斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报-校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；（复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论（一）考核知识点误差的来源类型;绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。
（二) 复习要求1。
了解数值分析的研究对象与特点。
2。
了解误差来源与分类,会求有效数字； 会简单误差估计. 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。
（三）例题例1. 设x =0.231是精确值x *=0。
229的近似值，则x 有2位有效数字。
例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x .例3. 3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一）考核知识点对分法;不动点迭代法及其收敛性；收敛速度； 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法;Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法. (二） 复习要求1.了解求根问题和二分法.2。
了解不动点迭代法和迭代收敛性;了解收敛阶的概念和有关结论。
3。
理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。
4。
掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形. 5.了解弦截法. (三）例题1。
为求方程x 3―x 2―1=0在区间［1.3,1.6］内的一个根，把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（ ）(A ）11,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式 (B ）21211,11kk x x x x +=+=+迭代公式(C ） 3/12123)1(,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D ）231x x =-迭代公式11221+++=+k k kk x x x x 解：在（A)中，2/32)1(21)(,11)(,11--='-=-=x x x x x x ϕϕ2/3)16.1(21->=1.076故迭代发散。
数值计算方法重点复习内容
Newton迭代方法求非线性方程组的迭代格式。
➢第七章
最小二乘问题的定义、思想及其求法；
❖广义逆矩阵 A和 最小二乘解的关系；
Householder变换的定义、性质、求法及应用；
Givens变换的定义、性质、求法及应用；
➢第八章
幂法的迭代格式及其应用； ❖反幂法的迭代格式及其应用； QR方法的思想。
《数值计算方法》重点复习内容 ➢第一章
基本概念：误差的分类、绝对误差和相对误差、
有效字；
❖误差分析的原则：避免相近的数相减等。
➢第二章
二分法及对分次数的计算； ❖不动点迭代：几何意义、迭代函数的构造、迭代
格式的收敛性判定方法。
Newton迭代及其收敛性。
➢第三章
代数插值函数的定义、存在唯一性、误差估计式； ❖Lagrange插值多项式、n次Lagrange插值基函数
➢第九章
单步法的构造方法：Taylor展开法； ❖Euler公式、 Euler预报-校正公式
和经典4阶Runge-Kutta公式及其应用；
单步法的局部截断误差、收敛阶的定义；
梯形公式、Simpson公式及其余项；
复化梯形公式、复化Simpson公式及其余项； Gauss型求积公式的定义及其特点。 数值微分的三点公式计算近似导数定理。
➢第五章
常用的向量范数和矩阵范数的定义及求法；
❖列主元Gauss消去法、Doolittle分解方法；
条件数的定义及其计算。
➢第六章
了解向量序列和矩阵序列的定义、收敛性； ❖一般迭代法的形式、收敛性判定； Jacobi、Gauss-Seidel迭代格式（包括分量形式）
的性质（习题4-4）、Newton插值多项式
《数值计算方法》复习资料
《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
三例题例1设x*= π=3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有效数字. a1=2，相对误差限εr==0.002 5x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数字，a=9，相对误差限εr＝＝0.000 056x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr＝＝0.000 000 56由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算方法 第6章复习
第6章 逐次逼近法一、考核知识点：向量范数与矩阵范数及其性质，谱半径，对角占优矩阵，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性。
简单迭代法，牛顿迭代法，割线法，收敛性。
二、考核要求：1．了解向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质，知道谱半径的定义。
2．了解对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性。
3．熟练掌握雅可比迭代法其收敛性的判断。
4．熟练掌握高斯-塞德尔迭代法其收敛性的判断。
5．熟练掌握用牛顿迭代法、割线法求方程近似根的方法。
了解其收敛性。
6．掌握用简单迭代法求方程的方法近似根的方法。
了解其收敛性。
三、重、难点分析例1 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X 的三种常用范数。
解 3max ==∞i ix X，14,612211====∑∑==ni ini i xXx X例2证明 ,1∞∞≤≤Xn X X证明 因为 11max X x x x Xn i i p i i=<==∑=∞∞=≤=≤∑Xn x n x n x i ip ni i max 1所以,1∞∞≤≤Xn X X例3 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2212A ，求矩阵A 的三种常用范数。
解 4max 31==∑=∞j ij i a A，∑===ni ij ja A 114max ， 39)9)(4(36135228522822122122122===--=+-=--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=λλλλλλλλA I A A A A T T例4 已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式 （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛 （3）取5=a ,TX )101,51,101()0(=，求出)2(X 。
解 （1）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1m x x a x x x a x x x a x m m m m m m m m m （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。
7第六章 可压缩流动的数值计算方法PPT课件
The Elements of Computational Fluid Dynamics
1
整体概况
+ 概况1
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概况2
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概况3
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2
第六章 可压缩流动的数值计算方 法
同 种 格 式 要 复 杂 得 多 。 求 解 前 ， 需 解 决 4个 问 题 。
7
(1) 计 算 几 何 参 数 。 守 恒 变 量 和 通 量 中 都 包 含 几 何 参 数 ： 度 量 系 数 和 J a c o b i行 列 式 。
用中心差分计算逆变换度量系数
x
i, j
xi1, j xi1, j 2
v
G
vu v2
p
( E p )v
中 心 型 格 式 ： Lax-W endroff格 式 ， M acCormack格 式 ， Jameson格 式 。
4
6.1.1 Lax-Wendroff格式
U ˆin , j1U ˆin ,j U tˆ in ,j t 2 tU 2 ˆ in ,j 2 t2
x
i, j
xi, j1 xi, j1 2
y
i, j
yi1, j yi1, j 2
y
i, j
yi, j1 yi, j1 2
利 用 J x x 计 算 Jaco b i行 列 式 。 y y
x
1 J
y
利用
y
x
1 J 1 J
x y
计
算
正
变
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法思考题
数值计算方法思考题数值计算方法思考题第一章预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。
4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。
解对数据的微小变化高度敏感是病态的。
高精度运算可以改善问题的病态性。
用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。
用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。
两个相近数相减必然会使有效数字损失。
计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。
7．考虑二次代数方程的求解问题ax2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的bb24acx.2a与之等价地有x?对于2c?b?b?4ac2.a = 1,b = -100 000 000 ,c = 1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开x2x3e?1?x2!3!x 如果对x 9．考虑数列xi, i = 1,…, n, 它的统计平均值定义为x?1n?xi xi?1 它的标准差2?1n2(xi?x)? n?1i?1??1 数学上它等价于1n222xinx n1i11 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton法的收敛阶高于割线法；(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton法； (d)Newton法总是比割线法更节省计算时间；(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f) Newton法是有可能不收敛；(g) 考虑简单迭代法xk+1 = g(xk)，其中x* = g(x*)。
数值计算方法复习提纲PPT
b) 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则 必有: I±A可逆、 I A 1 1
1|| A||
4) 矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1||
－7－
17:40
❖ 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （★）
1) 充分条件： x=Bx+f， ||B||<1
第6章 数值积分
基本概念：
❖ 数值积分（机械求积公式）的一般形式 ❖ 求积公式的代数精度（计算、证明）
Akba
插值型求积公式：
❖ 插值求积公式的构造方法（★） 1) n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度 2) n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有 n+1次代数精度
1) 步骤
2) 估算某点的近似值：
❖ Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn] (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
－11－
17:40
Hermit插值
❖ 基本思想 ❖ 插值多项式的构造方法
1) Lagrange型构造法（基函数构造法） 2) Newton型构造法（重节点的差商）
2) f[x 0 , ,x n ] i n 0 (x i x 0 ) (x i x i f 1 ( )x i x ) i( x i 1 ) (x i x n )
f[x0,,xn]
f
(n)()
(n)!
❖ Ne推 wton插值论 f 公(x 式)的 构： P n 造(x （)★f,若 [ ）x 0, ,x k] a 0 n ,,k k n n
第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ， y ( x n 1 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ，对 y ( x n 1 ) 也在 x n 处作 Talor 展开， y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 h h h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 2 2 12 h3 y ( x n ) O(h 4 ) O(h 3 ) 12 h3 所以，梯形公式是 2 阶方法，其截断误差的主项是 y ( x n ) 。 12 y ( x n ) hy ( x n )
y k (0.9 0.1y k sin x k ) 0.1( y k 1 y k 1 sin x k 1 )
2
当 k=0，x0=1, y0=1 时，x1=1.2，有 y y (. . y sin x ) (. sin ) .
y f ( x, y ) 3.求解初值问题 欧拉法的局部截断误差是( y ( x ) y 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( ). (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
4. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (B) y c y k hf ( x k , y p ) .(A) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c ) y k ( y p y c ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (C) y c y k hf ( x k , y p ) (D) y c y k hf ( x k , y p ) y k h ( y p y c ) y k ( y p y c ) (D) 答案：
数值计算方法第2版 第6章 数值积分和数值微分
ห้องสมุดไป่ตู้
右。
梯形公式具有一次代数精度。
代数精度与节点数的关系
定理 对 于 给 定 的 n + 1 个 节 点 x k , k 0 , 1,
n
,n 总 存 在 求 积 系 数
A k , k 0 , 1,
精度。 证明此时 证 令
, n 使 求 积 公 式 ab f ( x ) d x A k f ( x k ) 至 少 有 n 次 的 代 数
A0 A1 A2 A3 3 ， A1 2 A2 3 A3 9 / 2 ， A1 4 A2 9 A3 9 ， A1 8 A2 27 A3 81 / 4 ，解之A0 3 ， A1 9 , A2 9 , A3 3 8 8 8 8
3
0
f ( x )dx (3 / 8)[ f (0) 3 f (1) 3 f (2) f (3)]
k
f ( x k ) 至 少 具 有
n
次
代 数 精 度 的 充 要 条 件 是 该 公 式 是 插 值 求 积 公 式 。
6.1.4 构造插值求积公式的步骤
1． 在[a,b]上选节点 xk 。 2． 求 f ( xk ) 和 （1） 利用 Ak 求出 Ak ，得到
b
a k
l ( x)dx ，或
k 0
6.1.3 插值求积公式
求积函数 f ( x ) 用插值多项式 P ( x ) 代替。 设已知函数 f ( x ) , 给定节点 a x0 x1 x2 L x n b 及函数值
f ( xk ) ，构造 n 次插值多项式 P ( x ) 。其对应插值型求积公式
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
2019年数值计算方法复习提纲
－5－
00:02
列主元Gauss消元法（★）
1) 选主元的必要性
2) 算法的改进
Gauss-Jordan 消元法
1) 思想、方法
2) Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵
三角分解法
1) Doolittle分解（★）
2) Crout分解（★）
00:02
第3章 线性方程组求解
线性方程组的求解方法： （★）
直接法 迭代法
直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）
Guass顺序消元法
1) 适用条件： a) 系数矩阵A是严格对角占优的矩阵
n
||aii| |aij|,A的每行主对值 角同 元行 的其 绝余 对元之 素和 的绝 ji i1 b) 顺序阶主子式为正
－16－
00:02
重点例题、习题
第一章：
例：1-1、1-2、1-14、 习题：2、8、17
第二章：
例：2-3、2-5、2-15、
第三章：
例：3-29
习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元 法、杜利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、 高斯-塞德尔迭代法求解
d) 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：对称正定
e) 若方程组的Jacobi迭代收敛并且||J||<q1，则该方程组 的Gauss-Seidel迭代也收敛
3) 能写出其迭代矩阵（★）
－9－
00:02
第4章 插值法
插值的基本概念：
插值条件、插值点
插值多项式
插值多项式的存在、唯一性：
二分法求根
基本原理 误差估计
数值计算方法总复习
数值计算方法总复习第一章算法与误差第二章非线性方程求解第三章线性代数方程求解第四章函数插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法Chap.1 （1）关于数值计算方法，What,特点一、关于《数值计算方法》数值计算方法是应用数学的一个分支，又称数值分析或计算方法，它是研究数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门科学，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。
应用计算机解决科学计算问题包括以下几个过程：提出实际问题；建立数学模型；选用数值计算方法；程序设计和上机计算。
可见数值计算方法是进行科学计算全过程的一个重要环节。
计算机计算的特点：（1）运算速度快；（2）但只能完成加、减、乘、除和一些逻辑运算。
所以，各种复杂的数学问题------→归结为四则运算------→编程指令。
把对数学问题的解法归纳为有加、减、乘、除等基本运算，并对运算顺序有完整而准确的描述的算法称为数值计算方法或简称数值算法。
研究各种算法和相关理论的一门课程。
§1.2 误差一、误差的来源数分为两类：精确数（准确数、真值）；近似数/近似值。
1）模型误差或描述误差2）测量误差（观测误差）3）截断误差（方法误差）4）舍入误差（计算误差）：数值计算关心的是截断误差（方法误差）和舍入误差（计算误差）二、误差限和有效数字1. 误差限的定义设Z 是准确值Z *的某个近似值，如果根据具体测量或计算的情况，可以事先估计出误差的绝对值不超过某个正数ε：即： |Z * - Z |≤ε则称ε为近似值的误差限。
或称在允许误差ε的情况下，结果Z 是“准确的”.2. 误差限和有效数字在表示一个近似数时，常常用到“有效数字”，有效数字和误差限都是用来定量表示误差的大小，且它们之间有对应关系。
有效数字的定义：设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯= , 其中 xi 是0到9之间的任一个数，但x 1≠0,i=1,2,3…,n 正整数，m 整数，若nm *|x x |-⨯≤-1021 则称x *为x 的具有n 位有效数字的近似值，x *准确到第n 位，x1x2…xn 是x *的有效数字。
数值计算方法 第4版 第6章 数值积分和数值微分
m 次的代数精度。
定义 求积公式
对 f (x) 1, x, x2,
ab
f
( x)dx
n
Ak
f
(xk )
k 0
, xm ，准确成立，而对于 f (x) xm1 ，不能准确成立，
则称该求积公式
ab
f
( x)dx
n
Ak
f
(xk )
k 0
具有 m 次的代数精度。
求积公式
ab
f
( x)dx
n
Ak
, xn
，使求积公式 ab
f
( x)dx
n
Ak
f
(xk )
准
k 0
A0 A1 An b a
A0
x0
A1x1
An xn
1 2
(b 2
a2)
A0
x0n
A1 x1n
An xnn
1 (bn1 n 1
an1)
这是关于Ak 的线性方程组，其系数矩阵是凡德蒙矩阵，当节点xk 互
异时， Ak , k 0,1, , n 有唯一解。即对 f (x) 1, x, x2 , , xn 求积公式
定理 对于给定的 n+1 个节点 xk , k 0,1, , n 总存在求积系数
Ak , k 0,1,
精度。
, n 使求积公式 ab
n
f (x)dx
Ak
f (xk ) 至少有
n
次的代数
k 0
证明此时 Ak , k 0,1, , n 有唯一解即可。
证 令 f (x) 1, x, x2 ,
确成立，即
a
Ak f (xk )
k 0
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顺序高斯消元法的使用条件
定理6.1：如果n阶矩阵A的顺序主子式均不为零， 即
则用高斯消元法求解方程组Ax=b时的主元素 akk(k-1) ≠0 (k=1, 2, …, n) ，也就是说能够用高斯 消元法求解该方程组的解 定义6.1：设矩阵A=(aij)n每一行对角元素的绝对 值都大于同行其它元素绝对值之和
数值计算方法
第六章 线性方程组的数值解法
6.1 引言
线性方程组的解法
直接法
将方程组的形式，根据某些计算规律，解析成另外一种 形式（例如将系数矩阵变为单位矩阵），直接求得线性 方程组的解
直接法要求存储的数据很多，因此必须应用存储容量大 的计算机
在计算过程中，会产生积累误差，因此计算精度是有限 的
任意给定的一组初始值进行试探运算，将所得 结果作为新的初始值再进行试探运算，这样反 复运算多次，不断迭代，最后获得满足精度要 求的解
13
迭代法基本原理
迭代法的实现原理
已知线性方程组
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
a21x1
+
a22 x2 + + a2n xn
x(1) , x(2) ,, x(k ) ,
当向量序列收敛到某个极限向量x*，即 lim x(k ) = x∗
k →∞
则x*是方程组Ax=b的精确解，即满足
Ax* = b
定义6.4：对线性方程组Ax=b用等价方程x= Bx
+f建立迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f，k=0,1,…，逐步 求解的方法叫迭代法。如果 lim x(k) = x * ，则称
−
i −1
aij x j(k )
j= 1
−
n
aij x j(k ) )
j= i+1
,
(i = 1, 2,, n)
23
雅可比迭代（Jacobi）
迭代求解的终止条件
取相邻两次解的每一个分量之差的绝对值中最大的
一个 max | ∆xi |≤ ε ，即
max
1≤i≤n
|
x (k +1) i
−
x (k) i
1.99985
2.99988
6 0.99996
1.99998
2.99998
由计算结果可以明显看出，高斯－塞德尔迭代法比雅
可比迭代法效果好
28
高斯－塞德尔迭代
高斯-塞德尔(Seidel)迭代公式
∑ ∑ x (k+1) i
=
1 aii
(bi
−
i−1
a x (k +1) ij j j =1
−
n
aij x j (k ) ) ,
an1x1 + an2 x2 + + ann xn = bn
其中系数矩阵非奇异，且主对角元aii≠0，(i =1,2,…,n)
21
雅可比迭代（Jacobi）
由第i 个方程解出xi ，有
=x1
1 a11
(b1
−
a12
x2
−
a13 x3
−
−
a1n
xn
)
= x2
1 a22
(b2
k →∞
迭代法收敛于x*，x*即是方程组的解，否则称
此迭代法发散
16
迭代法基本原理
迭代法对计算机的要求
可节省内存容量
对于大型的系数矩阵，只要存储其中的非零元素就可以 运算
消元法，则必须将全部aij 元素都放入内存单元
计算时间较长
迭代法收敛速度较慢（越到最后越慢），如果求解的精 度又很高，那么计算的时间是很长的
= fk
an−1xn−2 + bn−1xn−1 + cn−1xn = f n−1
an xn−1 + bn xn = f n
9
解三对角方程组的追赶法
这种方程组的系数矩阵称为三对角矩阵，非零元素 分布在主对角线及其相邻两条次对角线上
b1 c1
a2 b2 c2
A
=
27
高斯－塞德尔迭代
k
x1(k)
0 0.00000
x2(k) 0.00000
x3(k) 0.00000
1 0.30000
1.56000
2.68400
2 0.88040
1.94448
2.95387
3 0.98428
1.99224
2.99375
4 0.99782
1.99894
2.99914
5 0.99970
检验雅可比迭代公式的收敛性
解：首先将原方程组写为迭代形式的方程组，即
x1
=
20 8
+
3 8
x2
−
4
顺序高斯消元法的使用条件
n
∑ | aii |> | aij | j =1 j≠i
i = 1,2,..., n
则称A为严格对角占优矩阵。
定理6.2：设方程组Ax=b，如果A为严格对角占 优矩阵，则用高斯消元法求解时， akk(k-1)全不 为零
5
矩阵的直接三角分解
定义6.2：将矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一 个上三角矩阵U的乘积 A＝LU 称为对矩阵A的三角分解，又称LU分解
ak bk
ck
an−1 bn−1
cn−1
an
bn
针对这种方程组的特点提供一种简便有效的算法—
追赶法
10
解三对角方程组的追赶法
定义6.3：称三对角矩阵
b1 c1
a2 b2 c2
A
=
ak bk
ck
an−1 bn−1
|≤
ε
雅可比迭代法的流程图
24
高斯－塞德尔迭代
高斯－塞德尔迭代法的思想
迭代收敛时，新值xi (k+1) 比老值xi (k) 更准确 算出新值xi (k+1)后，用新值xi (k+1)代替用于后面计算
的老值xi (k) ，使每次迭代计算，都是利用“最新求 解信息” 这样，必然会使迭代求解的速度加快
将给定的方程组转化为迭代形式的方程组时，一定要按 照收敛条件去转化
17
雅可比迭代（Jacobi）
雅可比迭代过程
例6.4.1：求解方程组
1−02xx11
− 2x2 − x3 = 3 +10x2 − x3 = 15
−x1 − 2x2 + 5x3 =10
解：分别从上式三个方程中分离出x1, x2和x3
j =i +1
(i = 1,2,, n)
一般说来，高斯－塞德尔迭代法比雅可比迭代法 好，但是情况并不总是这样，也有高斯－塞德尔 迭代法比雅可比迭代法收敛得慢，甚至有雅可比 迭代法收敛但高斯－塞德尔迭代法反而发散的例 子
29
迭代收敛的条件
定理6.6：如果线性方程组
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 .a..21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ... an1x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
= x1
0.2x2 + 0.1x3 + 0.3
= x2 0.2x1
+ 0.1x3 +1.5
x3 = 0.2x1 + 0.4x2 + 2
18
雅可比迭代（Jacobi）
据此可建立迭代公式为
x= 1(k +1) x= 2(k +1)
0.2x2(k ) + 0.1x3(k ) + 0.3
直接法的计算时间是固定的、有限的
当线性方程组的维数不大，计算机的容量又较大时，适 宜采用直接解法
2
6.1 引言
间接解法
假定一组线性方程组的解，将这组解带入方程组（迭代 形式的线性方程组），得到一组新解，再把这组新解代 入方程组，然后又得到一组更新的解，反复这样代入求 解下去，直到这组解满足一定精度的时候，才结束计算
=
b2
an1x1 + an2 x2 + + ann xn = bn
写成矩阵形式为：
Ax=b
14
其中
迭代法基本原理
对给定的方程组 Ax=b ，写成等价的形式
=x Bx + f
构造一个迭代公式
x= (k +1) Bx(k ) + f
15
迭代法基本原理
当给定初始向量 x(0)，进行迭代，生成向量序列
8 0.9995
1.9995
2.9992
9 0.9998
1.9998
2.9998
20
雅可比迭代（Jacobi）
雅可比迭代的一般格式
设线性方程组
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
a
21 x1
+ a22 x2 + +
a2n xn
=
b2
0.2x1(k )
+ 0.1x3(k) +1.= 5 , k