第7章__自由曲线和自由曲面分析
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第7章 自由曲线和自由曲面
现代产品设计中，对于诸如飞机、汽车、船舶等具有复杂曲面外形的产品， 需要使用自由曲线和自由曲面来描述其几何形状，以满足产品在流体动力性 能和造型方面的要求。对一般工业和民用产品而言，由于市场竞争的加剧， 在满足功能需要的前提下，以产品的造型为代表的非功能性因素，对消费者 购买趋向的影响越来越大。因此，产品设计比以往更注重造型设计，也使自 由曲线和自由曲面的应用领域更加广泛。
x(t) a0 a1t a2t2 a3t3
y(t)
b0
b1t
b2t
2
b3t
3
其中有 8 个系数可用来控制此曲线的形状。
● 易于用向量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
基于上述特点，在讨论曲线和曲面问题时通常采用参数表示。
7.1.2 基本术语
学习曲线和曲面构造，首先应了解有关的一些基本术语的含义。
工程上把形状比较复杂、不能用二次方程描述的曲线和曲面称为自由曲线和自由曲面。本节将介绍曲 面造型中最常用的一些参数曲线。
7.2.1 Hermite 曲线
大多数 CAD 系统用三次参数曲线描述自由曲线，这是因为三次参数曲线已足以保证相连曲线的二阶连 续。另外，由于高于三次的参数曲线的计算费时，且曲线上任何一点几何信息的变化都可能导致曲线形状发 生复杂的变化，因此，工程上一般采用不高于三次的参数曲线。
4. 光顺 光顺的通俗含义是使所构造的曲线光滑和顺眼，即曲线上的拐点不能太多，因为曲线拐来拐去就会不 顺眼。
通常，对于平面曲线来说，其相对光顺的条件为：曲线具有二阶几何连续、不存在多余拐点和奇异点、 曲率变化较小。
所谓几何连续性是指曲线或曲面在连接处的连接状态。零阶连续指边界重合；一阶连续指一阶导数连 续，即切线矢量连续；二阶连续指二阶导数连续，即曲率连续。
7.1.1 曲线和曲面的数学表示
数学上通常用 3 种方式表示曲线和曲面：显式表示、隐式表示和参数表示。在对自由曲线和自由曲面 的描述中主要采用参数表示。例如，自由曲线的参数表示形式为：
x x(t)
y
y(t)
(7.1)
z z(t)
为便于计算机处理，曲线上一点常用其位置向量表示，如下所示：
P(t) x(t) y(t) z(t)
(7.2)
通常，通过对参数变量的规格化，使参数 t 在闭区间[0，1]内变化（写成t 0 1），并对此区间内的
参数曲线进行研究。
用参数方程描述自由曲线具有以下优点： ● 所描述的曲线形状与坐标系的选取无关。例如，如果通过一系列型值点拟合一条曲线或由一系列控 制点（或特征点）定义一条曲线，曲线的形状仅取决于这些点本身之间的关系，而与这些点所在的坐标系无 关。
● 规格化的参数变量 t 0 1，使其相应的几何分量是有界的（即表示曲线是有界的），不需要另设
其他参数来定义其边界。
● 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为： y a0 a1x a2x2 a3x3
其中只有 4 个系数用来控制此曲线的形状。而该曲线的参数表示为：
空间三次参数曲线方程的矢量形式为：
P(t) a0 a1 t a2 t 2 a3 t3
t 0 1
(7.3)
其中，a0 、a1 、a2 、 a3 为参数方程的系数矢量，每个系数矢量均由 x 、 y 、 z 三个坐标方向上的分量 组成，如 a 0 (a0x , a0y , a0z ) 。
为了用三次参数曲线描述自由曲线段，必须根据给定条件求出式（7.3）中的各系数。 Hermite 曲线用给定曲线段的两个端点的位置矢量 P0 、 P1 ，以及两端点处的切线矢量 P0' 和 P1' 来描述一 条曲线。利用边界条件 P0 、 P1 、 P0' 和 P1' ，由式（7.3）可以得到：
可以看出，插值函数(x) 在 n 个插值节点 xi 处与 f (xi ) 相等，而在别处就用(x) 近似地代替 f (x) 。 插值要求严格通过预先给定的各个型值点。
3. 逼近 在曲线和曲面造型中，当型值点太多时，构造插值函数使其通过所有型值点是很困难的。因此，人们 采用了一种逼近的方法。所谓逼近是指寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。逼近不要求严格通过各型 值点，但要求是对所有型值点的最佳逼近。逼近的方法很多，最常用的是最小二乘法。
1. 点 点是构造曲线和曲面的最基本的几何元素，在曲线和曲面构造中常用的点有型值点、控制点（特征点） 和插值点，如 6.1 节所述。
2. 插值 插值是函数逼近的重要方法。其原理是：
设函数 f (x) 在区间[ a, b ]上有互异的 n 个型值点 f (xi ) （ i 1, 2, 3, , n ），基于这个列表数据，寻求 某个函数(x) 去逼近 f (x) ，使 (xi ) f (xi )（ i 1, 2, 3, , n ），则称(x) 为 f (x) 的插值函数， xi 为插值 节点。
曲线和曲面功能是目前大多数商用CAD系统（尤其是中、高端系统）的重 要组成部分，是应用CAD技术进行产品造型设计的重要手段之一。对使用 各种CAD系统的工程技术人员来说，了解和掌握有关自由曲线与自由曲面 的基本知识，是熟练运用相关工具的基础和前提。
７.1 基 本 概 念
在自由曲线和曲面的构造中会涉及到曲线、曲面的数学表示以及相关基 本术语，了解这些基本概念将有助于深入学习和理解自由曲线和曲面的构造 原理与方法。
● 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，并且不限制变量的个数，便于用户把低 维空间中的曲线或曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得人们可以用数学公式去处理几何分量，如 本章随后使用到的调和函数就具有此特点。
● 采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程序处理时不会因此中断计算。
5. 拟合 拟合没有完整的定义和数学表示，这点与插值、逼近和光顺不同。拟合是指在曲线和曲面的设计过程 中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求，在允许的范围内通过或贴近给定的型值点 或控制点序列，从而使构造的曲线或曲面光滑连续。
７.2 自 由 曲 线
在曲面造型系统中，曲线构造是曲面构造的基础，它构成了曲面的基本单元——曲面片的边界。
现代产品设计中，对于诸如飞机、汽车、船舶等具有复杂曲面外形的产品， 需要使用自由曲线和自由曲面来描述其几何形状，以满足产品在流体动力性 能和造型方面的要求。对一般工业和民用产品而言，由于市场竞争的加剧， 在满足功能需要的前提下，以产品的造型为代表的非功能性因素，对消费者 购买趋向的影响越来越大。因此，产品设计比以往更注重造型设计，也使自 由曲线和自由曲面的应用领域更加广泛。
x(t) a0 a1t a2t2 a3t3
y(t)
b0
b1t
b2t
2
b3t
3
其中有 8 个系数可用来控制此曲线的形状。
● 易于用向量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
基于上述特点，在讨论曲线和曲面问题时通常采用参数表示。
7.1.2 基本术语
学习曲线和曲面构造，首先应了解有关的一些基本术语的含义。
工程上把形状比较复杂、不能用二次方程描述的曲线和曲面称为自由曲线和自由曲面。本节将介绍曲 面造型中最常用的一些参数曲线。
7.2.1 Hermite 曲线
大多数 CAD 系统用三次参数曲线描述自由曲线，这是因为三次参数曲线已足以保证相连曲线的二阶连 续。另外，由于高于三次的参数曲线的计算费时，且曲线上任何一点几何信息的变化都可能导致曲线形状发 生复杂的变化，因此，工程上一般采用不高于三次的参数曲线。
4. 光顺 光顺的通俗含义是使所构造的曲线光滑和顺眼，即曲线上的拐点不能太多，因为曲线拐来拐去就会不 顺眼。
通常，对于平面曲线来说，其相对光顺的条件为：曲线具有二阶几何连续、不存在多余拐点和奇异点、 曲率变化较小。
所谓几何连续性是指曲线或曲面在连接处的连接状态。零阶连续指边界重合；一阶连续指一阶导数连 续，即切线矢量连续；二阶连续指二阶导数连续，即曲率连续。
7.1.1 曲线和曲面的数学表示
数学上通常用 3 种方式表示曲线和曲面：显式表示、隐式表示和参数表示。在对自由曲线和自由曲面 的描述中主要采用参数表示。例如，自由曲线的参数表示形式为：
x x(t)
y
y(t)
(7.1)
z z(t)
为便于计算机处理，曲线上一点常用其位置向量表示，如下所示：
P(t) x(t) y(t) z(t)
(7.2)
通常，通过对参数变量的规格化，使参数 t 在闭区间[0，1]内变化（写成t 0 1），并对此区间内的
参数曲线进行研究。
用参数方程描述自由曲线具有以下优点： ● 所描述的曲线形状与坐标系的选取无关。例如，如果通过一系列型值点拟合一条曲线或由一系列控 制点（或特征点）定义一条曲线，曲线的形状仅取决于这些点本身之间的关系，而与这些点所在的坐标系无 关。
● 规格化的参数变量 t 0 1，使其相应的几何分量是有界的（即表示曲线是有界的），不需要另设
其他参数来定义其边界。
● 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为： y a0 a1x a2x2 a3x3
其中只有 4 个系数用来控制此曲线的形状。而该曲线的参数表示为：
空间三次参数曲线方程的矢量形式为：
P(t) a0 a1 t a2 t 2 a3 t3
t 0 1
(7.3)
其中，a0 、a1 、a2 、 a3 为参数方程的系数矢量，每个系数矢量均由 x 、 y 、 z 三个坐标方向上的分量 组成，如 a 0 (a0x , a0y , a0z ) 。
为了用三次参数曲线描述自由曲线段，必须根据给定条件求出式（7.3）中的各系数。 Hermite 曲线用给定曲线段的两个端点的位置矢量 P0 、 P1 ，以及两端点处的切线矢量 P0' 和 P1' 来描述一 条曲线。利用边界条件 P0 、 P1 、 P0' 和 P1' ，由式（7.3）可以得到：
可以看出，插值函数(x) 在 n 个插值节点 xi 处与 f (xi ) 相等，而在别处就用(x) 近似地代替 f (x) 。 插值要求严格通过预先给定的各个型值点。
3. 逼近 在曲线和曲面造型中，当型值点太多时，构造插值函数使其通过所有型值点是很困难的。因此，人们 采用了一种逼近的方法。所谓逼近是指寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。逼近不要求严格通过各型 值点，但要求是对所有型值点的最佳逼近。逼近的方法很多，最常用的是最小二乘法。
1. 点 点是构造曲线和曲面的最基本的几何元素，在曲线和曲面构造中常用的点有型值点、控制点（特征点） 和插值点，如 6.1 节所述。
2. 插值 插值是函数逼近的重要方法。其原理是：
设函数 f (x) 在区间[ a, b ]上有互异的 n 个型值点 f (xi ) （ i 1, 2, 3, , n ），基于这个列表数据，寻求 某个函数(x) 去逼近 f (x) ，使 (xi ) f (xi )（ i 1, 2, 3, , n ），则称(x) 为 f (x) 的插值函数， xi 为插值 节点。
曲线和曲面功能是目前大多数商用CAD系统（尤其是中、高端系统）的重 要组成部分，是应用CAD技术进行产品造型设计的重要手段之一。对使用 各种CAD系统的工程技术人员来说，了解和掌握有关自由曲线与自由曲面 的基本知识，是熟练运用相关工具的基础和前提。
７.1 基 本 概 念
在自由曲线和曲面的构造中会涉及到曲线、曲面的数学表示以及相关基 本术语，了解这些基本概念将有助于深入学习和理解自由曲线和曲面的构造 原理与方法。
● 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，并且不限制变量的个数，便于用户把低 维空间中的曲线或曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得人们可以用数学公式去处理几何分量，如 本章随后使用到的调和函数就具有此特点。
● 采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程序处理时不会因此中断计算。
5. 拟合 拟合没有完整的定义和数学表示，这点与插值、逼近和光顺不同。拟合是指在曲线和曲面的设计过程 中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求，在允许的范围内通过或贴近给定的型值点 或控制点序列，从而使构造的曲线或曲面光滑连续。
７.2 自 由 曲 线
在曲面造型系统中，曲线构造是曲面构造的基础，它构成了曲面的基本单元——曲面片的边界。