东北大学材料科学基础课件10

根据边界条件
x ,
2
x Dt
,C C2
可以得到
x ,
2
x Dt
,C C1
C 20 Ae2dBA
B 2
C 10 Ae2d BA
B
2
上式利用了高斯误差积分
e2 d
0
2
由上可解A与B
AC1CHale Waihona Puke Baidu,BC1C2
2
将A与B代入式(10-14)得
CC 1C 2C 1C 2 2 e2d (10-15)
2
2
0
上式中
2 e 2 d
0
定义为误差函数，记为erf(β),
该函数具有如下性质：
erf(0)=0;
erf(∞)=1; erf(- β)=- erf(β)。
其他不同β值所对应的erf(β)值可查误差函数表。
引入误差函数后，对于无限长扩散偶的情况，第二扩 散方程的解可写为
C C1 C2 C1 C2 erf()
将式(10-11)与(10-12)代入式(10-9)
2t
dC
d
D 1 4Dt
d2C
d2
d 2C
d2
2
dC
d
(10-11) (10-12)
(10-13)
令P=dC/dβ，则有dP/P=-2 βd β，积分得
P dC Ae2
d dC Ae2d
再积分得
C Ae2dB (10-14) 0
采用变量代换的方法及上述边界条件(或初始条件) 对扩散方程进行求解，确定C(x,t)的表达式。
为了将C=C(x,t)转化为C=C(β)的单变量关系，从 而将偏微分方程转化为常微分方程，首先令
x
2 Dt
根据上述变量代换，得到
C t d dC t 2t d dC
2 xC 2 x(d dC x)4D 1td d2C 2
2
2
C1 C2 C1 C2 erf x
2
2
2 Dt
(10-16)
C C1 C2 C1 C2 erf()
2
2
C1 C2 C1 C2 erf x
2
2
2 Dt
✓ 对于焊接面，x=0, β=0, erf(β)=0, C=(C1+C2)/2。
10.1.1 菲克第一扩散定律及应用
菲克第一定律：在单位时间内通过垂直于扩散方向单 位截面积的物质流量（称为扩散通量）与该截面处的 浓度梯度成正比
J D C x
(10-1)
各点浓度不随时间变化的一维稳态扩散时
J D dC dx
(10-2)
J D C x
各参量意义：
J：扩散通量，单位kg/(s·m2 )或原子数/s·m2
如果扩散系数不随浓度变化，C与lnr的关系是 线性的；如果扩散系数随浓度变化，C与lnr的 关系不是线性的。
10.1.2 菲克第二扩散定律及应用
在菲克第一扩散定律的基础上利用扩散物质质量平衡原理
定律表达式
C (DC) t x x
(10-8)
当D为常数时
三维情况下
C t
D
2C x 2
(10-9)
D：扩散系数，m2/s，它的物理意义，在数值上 等于əC/əx =1时的扩散通量。
C：扩散组元的体积浓度，单位kg/m3或体积原子 数m-3
əC/əx（dC/dt）：扩散组元浓度沿X方向的变化 率--浓度梯度
负号：扩散方向与梯度方向相反，扩散由高浓度 区向低浓度区进行。
扩散第一定律的应用
将一个由纯铁制成的空心圆柱体置于炉子的恒 温区进行加热保温，并在圆柱体内通入渗碳气 体，圆柱体外通脱碳气体，这样碳原子就会从 圆柱体内壁渗入而从圆柱体外表面逸出。
10.1 稳态扩散和非稳态扩散的经典理论
固态材料中的扩散虽然比气体和液体中的慢，但 也控制着固态材料中的一些重要物理化学过程。
合金成分均匀化、钢的化学热处理、金属的扩散 焊接等与扩散有关
从浓度变化角度来定义固体中的扩散： 稳态扩散—扩散过程中各点的浓度不随时间改变 非稳态扩散—扩散过程中各点的浓度随时间变化
DdC q
dr 2rlt qD(2lt)ddC r D(2lt)ddIC nr
r
(10-4)
qD(2lt)ddC r D(2lt)ddIC nr
r
式中l，t为已知值，q可以通过测定由炉内流出 的脱碳气体中碳的增量求得，故只要测出沿圆 柱体横截面不同r处的碳浓度，做出C-Inr曲线便 可求得扩散系数D。
经过一定时间后，这种碳原子的扩散将达到稳 定状态，即沿圆柱体横截面从内到外各点的浓 度值不再随时间变化，此时，单位时间内扩散 通过圆柱体壁的碳量q/t为一恒定值。
若圆柱体的长度为l，则碳原子经过圆柱体半径 为r处由内向外的扩散通量为
Jq 1 q
t 2rl 2rlt
(10-3)
由式(10-2)与式(10-3)得
C t x(D x C x) y(D y C y) z(D z C z) (10-10)
定律表达式的推导
在一沿x方向扩散的 系统中考虑一个横截 面积为A，厚度为dx 的微小体积元。体积 元两端浓度，和流入 流出的扩散通量如右 图所示。
C
0
x1
x2
J J1
J2
(a) x
(b)
0
J1 A J2 dx
将此扩散偶加热至足够高的温度保温，溶质原子在 浓度梯度的作用下将进行扩散。
由于合金棒很长，且固态下原子扩散很慢，因此在扩散 过程中棒两端的浓度不受影响而保持恒定
确定其初始条件和边界条件为：
初始条件：
t=0, x<0, C=C2
x>0, C=C1
边界条件：
t0, x=-∞，C=C2
x= ∞, C=C1
x (c)
单位时间内扩散物质流入体积元的质量(或原子数） =J1A
单位时间内扩散物质流出体积元的质量(或原子数） =J2A
单位时间内扩散物质在体积元内积存的质量（或原 子数）=J1A-J2A
由于体积元很小，所以
J2AJ1A ( J x A )dxJ1A J xA dx
J1AJ2AJxAdx (10-5)
从另一角度看，单位时间内体积元中扩散物质的 积存量又可用浓度随时间的变化来描述，即
(CAdx)CAdx
t
t
(10-6)
由(10-5)和(10-6)得到
C J
t
x
(10-7)
CJ(DC) (10-8) t x x x
10.1.2.1 无限长物体中的扩散
设A、B分别表示两根很长、且截面相同的均匀固溶 体合金棒。A浓度为C1，B的浓度为C2 ，且C2 〉 C1 。 将A、B两合金棒对焊在一起制成扩散偶，并使焊合 面垂直于x轴（棒的轴线），其所在位置取为坐标原 点（x=0）。