工程数学线性代数题库及答案
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一、判断题
1.若A , B 为n 阶对称阵，则AB 也是对称阵。 （ b ）
2.整个向量组线性无关,则部分向量组线性无关。 （ a ）
3.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ）
4.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ）
5.若A 的顺序主子式都大于0，则A 正定。 （ bA ）
6.部分向量组线性无关,则整个向量组线性无关。 （ b ）
7.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ）
8.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ）
9.若实对称阵A 的特征值全大于零，则二次型T f X AX = 是正定的。 （ a ）
10.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。 （ a ）
11.设1α是线性方程组AX b =的两个不同的解，2α是齐次线性方程组0=AX 的解，则12+αα 是对应的线性方程组=AX b 的解。 （ bA ） 12.若A 可逆,则1A - 也可逆。 （ a ） 13.设12
,s ηηη 是非齐次线性方程组AX b =的s 个不同的解， 12
,s k k k 为实
数，满足121,s k k k ++= 则1122
x k k ηη=+s s k η+也是它的解。
（ a ）
14. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 （ a ） 15. {}
112
12
12(,),0,T n n n V x x x x x x x R x x x ==∈++=设满足则1V 是向量
空间。 （ a ）
16.A 和T A 具有相同的特征值。 （ a ） 17.若A 可逆,则*A 也可逆。 （ a ）
18.若实对称阵A 的特征值全大于零，则二次型T f X AX = 是正定的。 （ a ）
二、选择题 1．行列式
1202
1
k k -≠-的充分必要条件是（ C ）
.1
.3
.13.13A k B k C k k D k k ≠-≠≠-≠≠-≠且或
2．设A 与B 都是n 阶方阵，则必有（ C ）
1
11
....()
A A
B A B B AB BA
C AB BA
D A B A B
---+=+==+=+
3．设12,s ααα……均为n 维向量，下列结论不正确的是（ ）
121122
12.,0,s s s s A k k k k k k αααααα+++≠若对于任意一组不全为零的数……，都有……，则……线性无关。
12121122.,,0s s s s B k k k k k k αααααα+++若……线性相关，对于任意一组不全为零的数……，都有……＝。
12.,.s C S ααα……线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 12.,s D ααα……线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。
4．设A , B 为同阶可逆方阵，则必有（ D ） .A AB BA = 1..B P P AP B -=存在可逆方阵，使 ..T C C C AC B =存在可逆方阵，使
..D P Q PAQ B =存在可逆方阵和，使
5．正定实二次型的矩阵是（ ）
A .实对称且所有元素为正
B .实对称且对角线上元素为正数
C .实对称且各阶顺序主子式为正数
D .实反对称且行列式值为正数
6．A 是三阶矩阵，特征值为1230,1,1λλλ==-=,其对应的特征向量分别是
123,,ξξξ ,设123(,,)P ξξξ=,则有1P AP -=（ ）
1.10A ⎛⎫ ⎪-
⎪ ⎪⎝
⎭
1
.
01B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
.1
1C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
.11D ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
7．行列式21
200111
k k =-的充分条件是（ ）
.23.23.23
.23
A k k
B k k
C k k
D k k ===-=-=-===-或或或或
8．设A 是n 阶可逆方阵，A 是*A 的伴随矩阵，则（ ）
1***
*
1
..
..n n
A A A
B A A
C A A
D A A
--====
9．若向量组12,s ααα……的秩为r ，下列结论不正确的是（ C ） 12.,s A r ααα……中至少有一个个向量的部分组线性无关。
1212.,,s s B r αααααα……中任何个向量的线性无关部分组与…… 可相互线性表示。
12.,.s C r ααα……中个向量的部分组皆线性无关 12.,1.s D r ααα+……中个向量的部分组皆线性相关
10．矩阵（ ）是二次型22112263x x x x ++的矩阵。
1112..13431315..3313A B C D -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
11．已知12,ββ是AX b =的两个不同的解，12,αα是其对应的齐次方程组0AX =的基础解系，12,k k 是任意常数，则（ ）是AX b =的通解。