张量分析第一章

自由指标:无重复出现的指标,取值域1,2,3(三维空间中)
哑标: 重复出现一次且仅重复一次的指标为求和指标或
为哑标.
如 ai jia'j
ar
r b
a1b1
a2b2
a3b3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
aibi
a1 11a1' 21a2' 31a3'
aii a11 a22 a33
14
几个注意事项:
(1)求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是 一种约定的求和标记.
b)c
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1.2 恒等式 ijkist js kt jt ks
张量分析与连续介质力学
授课对象:工程力学本科生 学时: 48 任课教师： 任会兰 副教授
1
连续介质力学 研究对象:大量粒子构成的系统的宏观力学行为.
可视为连续体
统计平均值
宏观物理量随物质点的变化而改变----场(应力 场,应变场,速度场,位移场和温度场……
连续体模型—固体,流体
2
1)变形几何和运动学 研究连续介质变形的几何性质,确定物体各部分空
r b
)
r m(b
ar
)
mar
r mb
10
(4)矢量的点积
标量
ar
r b
a1b1
a2b2
a3b3
ab a b cos
点积满足
a b
b
a
a
(b
c)
a
b
a
c
11
(5)矢量的叉积
e1 e2 e3 a b a1 a2 a3
b1 b2 b3
(a2b3 a3b2 )e1 (a1b2 a2b1)e3 (a3b1 a1b3)e2
a a1e1 a2e2 a3e3
矢量大小
a a12 a22 a32
9
1.1.2 矢量和,差与积
(1) 矢量和 (平行四边形法则)
a
b
b
a
(a
b)
c
a
(b
c)
(2)矢量差
a
b
a
(b )
(3) 矢量与标量的积满足结合律和分配律
ma
r
r
m(nb ) (mn)b
a
m(ar
第五章 本构方程
本构概念,本构方程遵循的一些理论
5
考核方法：平时作业和出勤情况占 30％； 期末考试占70％。
参考书目： 1) 冯元祯，连续介质力学导论,重庆大学出版社 2) 吕洪生等编著，连续介质力学基础，国防科技
大学出版社
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第一章 连续介质力学的数学基础
重点掌握: 1. 张量的概念 满足坐标变换规律 运算法则 2 .证明一些恒等式 3 .梯度,散度,旋度等概念
aibi a jbj aijbj aikbk
(2)连续介质的研究对象是三维连续体,
i, j, k 取值范围为1,2,3
15
(3) 同一项中重复出现的指标不能超过两次.
(a11 a22 a33 )(b11 b22 b33 ) aiibii
应写成 aiibjj
(4)同一等式中,同一文字指标在其中的一项单独出现, 则它在其他某项内重复出现,对该项也不求和.
第二章 应力分析
主要掌握:应力张量,应力张量的对称性,变换规律,主应力,主 方向,剪应力,应力偏张量等
第三章 连续介质运动学
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主要掌握:物质坐标与空间坐标,物质导数,随波导数,速度张 量,速度分解定理等.
第四章 连续介质力学基本定律
三大守恒定律:质量守恒,动量守恒,能量守恒,状态方程,熵 不等式,热力学两大定律.
fi Tii
f1 T11 f2 T22
f3 T33
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(5) 不能改变某一项的自由标,但所有项的自由标可以 改变.
如 a ji xi bj
akixi bj akixi bk
Wrong Right
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(6) Kronecker 符号 Delta
ij
ij
1 0
i j i j
几个重要式子:
7
第一章 连续介质力学的数学基础
1.1 矢量
1.1.1矢量的概念
在三维欧几里得空间内, 具有大小和方向 的有向 线段.
矢量的表示
粗体字或字母上箭头
矢量相等
大小和方向相同
单位矢量
大小为1
零矢量
大小为0
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图形表示
矢量 ar (a1, a2 , a3)
分量: ai
x1
x3 a
a
O
a az
ax
x2
ay
用三个有序数组表示
Aijij Aii Ajj A11 A22 A33
ijij ii 11 22 33 3
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ijai 1 ja1 2 ja2 3 ja3 aa12
a3
j 1 j2 j3
aj
ds2 dx2 dy2 dz2 dxidxi ijdxidx j
ij jk ik
aiij a j
用置换符号可写成
ar
r b
cr
(ijk
ajbk )
(ci )
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1.1.5三矢量之积
三矢量标量积(混合积)
ar
r (b
cr )
(aieri ) (ijk
bjck
)eri
ijk aibjck
a1 a2 a3 b1 b2 b3
c1 c2 c3
bxc
a c b
三矢量叉积
a
(b
c)
(a
c)b
(a
xi x j
xi, j
ij
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例: Aijbj
分量形式:
Ai1b1 Ai2b2 Ai3b3
uii
u11 u22 u33
k
1 2 3
xk
x1 x2 x3
xi Cij z j
x1 C11z1 C12 z2 C13z3 x2 C21z1 C22 z2 C23z3 x3 C31z1 C32 z2 C33z3
注意:
a
b
b
a
axb
O
b
a -axb
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(6)并矢
定义
arbr
ai
r eibj
r ej
ai
bj
rr eiej
rr 展开共9项， ei e j 可视为并矢的基
ai bj 为并矢的分解系数或分量
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1.1.3 Einstein求和约定
在同一项内的一个指标的重复,将表示对该指标 在它的范围上遍历求和.
间位置的变化及各邻近点距离的变化;研究随时间变化 的物理量的时间变化率. 2)连续介质满足的物理基本定律
质量守恒,动量守恒,能量守恒,热力学基本定律 3)连续介质的本构方程
描述各种连续介质模型对外部作用的响应;
3
课程内容
第一章 连续介质力学中的数学模型
主要掌握:张量的概念,张量的表示方法以及张量的运算规律等
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1.1.4 置换符号 {ijk }
1, 当 i, j, k 是1,2,3的偶排列
123,231,312
ijk
-1,当 i, j, k 是1,2,3的奇排列
132,321,213
0,当 i, j, k 中有取值相同者.
1
1
3
2
3
2
偶排列
奇排列
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矢量叉积
rr
r
r
r
a b (a2b3 a3b2 )e1 (a1b2 a2b1)e3 (a3b1 a1b3)e2