第二章 函数插值与曲线拟合
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1 s i s 1 n 2
x x2 xs x xs 1 , x xs xs 1 x, s 2,3,...n 2 xs x xs 1 , x xs xs 1 x, s 2,3,...n 2 x xn 1
算法A：1、输入a，b，c的值； 2、判断b2-4ac≥0，则转向第四步，否 则执行下一步； 3、输出无实根标志，转步6； 4、按公式求解两实根； 5、输出x1和x2的值； 6、结束。 程序也可以用程序流程图表示。
算法B：P82 是比较两者的异同点？哪种算法更好？
n x i a0 yi n 1 xi a1 yi xi ... ... n 2n a xi n yi xi
m xi ... 2 x x i i ... ................. n 1 xn xi ... i
n x xj i 0 j 0 xi x j
n
P x l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2 ...... ln x yn yi ( j i)
4、算法核心
问题：需要计算任意插值点x处的值P； 分析过程：推广例子中，样点数为 n+1个，基 函数为n+1个，基函数的方次数为n。？ 大家先回忆下用 C语言编程求下列运算是如何 进行的？ 1+2+…+n 1*2*3….*n 主体思路：利用循环
x x1 x x2 x x0 x x2 x x0 x x1 P x y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
参数分析：有哪些参数？ 样点个数（n+1个，输入参数）； 样点值xi和yi（实型数组x[n+1]和y[n+1]，输入 参数）； 基函数的方次数（n-整型变量，输入参数）； 需要求的插值点（x-实型变量，输入参数）； 插值点的函数值（y-实型变量，输出参数）；
高次方程插值函数优点：应用时比较方便； 缺点：随着插值方次 n的提高，插值函数的 逼近程度也有所提高，当n很大时，可能出 现插值的不稳定性，即计算出的函数值远 远偏离原函数值，就越不可靠。实际计算 中次数高于5，6次的就很少用了。 为了提高精度并避免插值的不稳定性，常 采用三点分段抛物线插值。
回归关系——应用统计关系所找出的有关已知 离散样点之间的统计规律性。 回归分析——回归关系的理论与计算方法的总 称； 回归系数——通过回归分析得到； 2 n P x a a x a x ... a x 回归方程—— 0 1 2 n 最小二乘法——通过回归分析，使所得到的回 归方程与已知离散样点之间误差按最小二乘法 的度量标准为最小的分析计算方法。
x xi 1 x xi 2 x xi x xi 2 x xi x xi 1 y x yi yi 1 yi 2 xi xi 1 xi xi 2 xi 1 xi xi 1 xi 2 xi 2 xi xi 2 xi 1 i2 x x j yk k i j i xk x j
2、计算机算法的重要性质
（1）有穷性。算法必须在有穷步之后结束。 （ 2 ）确定性。算法的每一步都有确切、无二 义的定义。 （3）输入。算法具有0个或0个以上的输入。 （4）输出。一个算法必须有1个或多个输出。 （ 5 ）可行性。实施了的算法可以达到预期目 标。 具有上述 5 个特征才叫做算法。一般的计算机 算法可用框图或伪代码表示，这是算法的形式 实体。
假如水处理过程中某一变量或参数变化遵从一 个未知函数规律 y=f(x) ，通过实验或其他手段 获得这个变量或参数的一组观测数据，也称为 离散样点。可以用两种方法求解： （ 1 ）观测数据的误差比较小。可以当做准确 值处理； （ 2 ）观测数据的误差比较大，以至于不可能， 也不必要把它作为准确值来处理，只要所估计 的函数尽可能的靠近这些样点就可以了。
1、基本思想
已知某函数关系y=f(x)的一组观测数据，(xi, yi)， i=1,2,…m 。要求在某特定函数中找出一个函 数P(x)作为y=f(x)的近似函数，使得在xi上的误 差按某种度量标准最小，这就是曲线拟合。 （有m个样点）
Ri P xi yi , i 1, 2,...m
与高次方程插值的区别？
用 一 维 数 组 a[n] 存 放 n 个 样 点 ， 用 二 维 数 组 b[n][L]存放不同函数对应的样点终值，用一维 数组y[L]存放不同函数对应的插值结果； 具体函数分析P95
返回
实质——用一个适当的函数关系式P(x)来表 示若干个已知离散样点之间内在规律的数 据整理方法； 适宜 —— 观测数据本来就含有不可避免的 误差情况。它不要求所作函数严格地通过 样点，而只是尽可能地靠近样点，这常常 可能达到减少误差的目的。相反，强求所 作的曲线通过样点，反而有可能使曲线保 留误差，影响拟合精度。
3、算法的种类和描述
算法的种类分为数值计算算法与非数值计算算 法。 （1）数值计算算法 主要用于科学计算，是计算机最早的应用领域。 （2）非数值计算算法 常用于数据管理、实时控制以及人工智能等领 域。逻辑判断通常在这类算法中处于主导地位， 算术运算则居于相对次要的地位。 （3）算法的描述 盒图N-S图、PDL和PAD图（ P80 ）
3、误差方程
y P x a0 a1 x a2 x ... an x = a j x
2 n j 0 n j
R
i 1
m 2 m
m
2
i
P xi yi
i 1
n 2
m
2
j Ri a j xi yi J a0 , a1 ,...an i 1 i 1 j 0
一、计算机算法
1、概要
解析解——准确解； 数值解——近似解； 算法——解决某个特定问题的一个逻辑顺 序。或是由一套明确的规则组成的若干步 骤，它指定操作的顺序，将问题按一定数 目的步骤加以解决。 科学计算——计算机解题的过程。
例子：求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两个实根。
7、减少误差的若干原则
（ 1 ）防止两个相近的数相减。以免丢失有效 数字，影响计算的精度； （ 2 ）防止大数吃掉小数。可以适当改变运算 次序； （ 3 ）防止误差的积累和影响计算速度。注意 简化算法步骤，减少运算次数； （ 4 ）使用数值稳定的算法、设法控制误差的 传播； （ 5 ）可以利用泰勒展开式估计误差。绝对误 差限和相对误差限均可以估计，P89。
5、一元三点分段抛物线插值
三点分段式抛物线插值——当样点较多时，把 插值区间分成若干小段，在每一小段使用低次 插值，而在分点出保持一定的连续性。优点： 具有较好的收敛性和稳定性。 思路如下： 已知n个插值样点x1<x2<…<xn，其对应的函数 值为y1,y2,…,yn，计算点x处的函数值时，选取 最靠近 x的 3 个样点 ，按分段二次插值（抛物 线）公式。
从以上的正规方程组的矩阵形式可以看出，需 要输出的是左侧的系数矩阵和右侧的常向量。
参数分析： 样点个数（n个-整型变量，输入参数）； 插值函数个数（L个-整型变量，输入参数）； 需要求的插值点（x-实型变量，输入参数）； 样点值（实型一维数组a[n]，用于存放需要求 插值的n个样点值，输入参数；实型二维数组 b[n][L]，n行L列，存放给定样点处的L组函数 值，输入参数）； 插值点的函数值（y[L]-实型一维数组，存放L 格插值结果，输出参数）。
m n m n k j k yi xi a j S k j Tk a j xi i 1 j 0 i 1 j 0 k 0,1,...n
Tk yi xi , S k j xi
k i 1 i 1
m
m
k j
4、正规方程组
4、数值稳定性
数值的稳定性——科学计算中的一个重要问题 是误差，同一个计算问题，采用不同算法得到 的结果，可以导致精度大不相同。 如果一个算法受误差影响较小，称为数值稳定 的，否则是不稳定的。
5、条件问题与病态概念
计算问题的条件数—— f ' x 和 xf ' x / f x 分别表示绝对误差和相对误差对计算结果影响 的程度，其值越大，影响程度越大，它是问题 固有的一种属性； 病态——如果一个计算问题，当初始数据有微 小摄动时，计算结果对之很敏感，即变化很大； 否则是良态的。
P x l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2 2 x xj i 0 j 0 xi x j
2
yi
( j i)
3、一般多项式插值（高次方程插值）
推广到一般情况，已知 n+1个样点，通过全部 样点，作 n次多Βιβλιοθήκη Baidu式插值函数，仍采用基函数 法，可以得到：
x x0 x x1 P x y0 y1 x0 x1 x1 x0
P x l0 x y0 l1 x y1
2、三点抛物线插值（二次插值）
如果已知3个样点，需要求出其中间任意插值点的函 数值时，可以采用抛物线插值法进行计算。已知三 个样点 ，求抛物线作插值函数， 满足通过这三点， 求出为：
6、误差
误差——一个量的真实值与其近似值之差。 （1）误差来源 模型误差 观测误差 截断误差——取决于计算方法； 舍入误差——取决于计算机存储器内的字长； 初值误差——采用初始数据带来的误差。 数值计算中，主要考虑截断误差、舍入误差和 初值误差。
（2）几个基本概念 绝对误差与绝对误差限——一定意义下反映近 似值的准确程度，与所讨论量的单位有关； 相对误差与相对误差限——无量纲的量，通常 用百分数表示，更准确些。
基本思想 —— 通过已知的离散样点，作一 插值函数P(x)来作为原函数f(x)的近似值； 适宜 —— 观测数据是精确的或可靠度较高 的情况； 实际应用——从求得的函数表达式中计算xi 以外的函数值。
1、二点线性插值（一次插值）
已知两个插值样点 ，通过这两点作一直线P(x)， 来作为未知函数f(x)的近似函数，即插值函数
R
i 1
m
2
i
P x y
i 1 i
m
i
2
用最小二乘法求拟合曲线时，必须首先确定或 选择函数类型，即P(x)的形式。这与所讨论问 题的性质和经验有关，本内容中介绍的是用最 小二乘法对多项式进行曲线拟合的情况。
2、方法步骤
（ 1 ）根据已知离散样点绘出平滑曲线，根据 此曲线形状和态势，以及问题的性质，提出一 个与之相拟合的多项式； （2）建立该多项式的误差方程； （ 3 ）根据最小二乘法的误差理论，导出正规 方程组； （ 4 ）求解正规方程组，得到相关回归系数， 从而建立起所需要的曲线拟合多项式。
1 s i s 1 n 2
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算法A：1、输入a，b，c的值； 2、判断b2-4ac≥0，则转向第四步，否 则执行下一步； 3、输出无实根标志，转步6； 4、按公式求解两实根； 5、输出x1和x2的值； 6、结束。 程序也可以用程序流程图表示。
算法B：P82 是比较两者的异同点？哪种算法更好？
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4、算法核心
问题：需要计算任意插值点x处的值P； 分析过程：推广例子中，样点数为 n+1个，基 函数为n+1个，基函数的方次数为n。？ 大家先回忆下用 C语言编程求下列运算是如何 进行的？ 1+2+…+n 1*2*3….*n 主体思路：利用循环
x x1 x x2 x x0 x x2 x x0 x x1 P x y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
参数分析：有哪些参数？ 样点个数（n+1个，输入参数）； 样点值xi和yi（实型数组x[n+1]和y[n+1]，输入 参数）； 基函数的方次数（n-整型变量，输入参数）； 需要求的插值点（x-实型变量，输入参数）； 插值点的函数值（y-实型变量，输出参数）；
高次方程插值函数优点：应用时比较方便； 缺点：随着插值方次 n的提高，插值函数的 逼近程度也有所提高，当n很大时，可能出 现插值的不稳定性，即计算出的函数值远 远偏离原函数值，就越不可靠。实际计算 中次数高于5，6次的就很少用了。 为了提高精度并避免插值的不稳定性，常 采用三点分段抛物线插值。
回归关系——应用统计关系所找出的有关已知 离散样点之间的统计规律性。 回归分析——回归关系的理论与计算方法的总 称； 回归系数——通过回归分析得到； 2 n P x a a x a x ... a x 回归方程—— 0 1 2 n 最小二乘法——通过回归分析，使所得到的回 归方程与已知离散样点之间误差按最小二乘法 的度量标准为最小的分析计算方法。
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2、计算机算法的重要性质
（1）有穷性。算法必须在有穷步之后结束。 （ 2 ）确定性。算法的每一步都有确切、无二 义的定义。 （3）输入。算法具有0个或0个以上的输入。 （4）输出。一个算法必须有1个或多个输出。 （ 5 ）可行性。实施了的算法可以达到预期目 标。 具有上述 5 个特征才叫做算法。一般的计算机 算法可用框图或伪代码表示，这是算法的形式 实体。
假如水处理过程中某一变量或参数变化遵从一 个未知函数规律 y=f(x) ，通过实验或其他手段 获得这个变量或参数的一组观测数据，也称为 离散样点。可以用两种方法求解： （ 1 ）观测数据的误差比较小。可以当做准确 值处理； （ 2 ）观测数据的误差比较大，以至于不可能， 也不必要把它作为准确值来处理，只要所估计 的函数尽可能的靠近这些样点就可以了。
1、基本思想
已知某函数关系y=f(x)的一组观测数据，(xi, yi)， i=1,2,…m 。要求在某特定函数中找出一个函 数P(x)作为y=f(x)的近似函数，使得在xi上的误 差按某种度量标准最小，这就是曲线拟合。 （有m个样点）
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与高次方程插值的区别？
用 一 维 数 组 a[n] 存 放 n 个 样 点 ， 用 二 维 数 组 b[n][L]存放不同函数对应的样点终值，用一维 数组y[L]存放不同函数对应的插值结果； 具体函数分析P95
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实质——用一个适当的函数关系式P(x)来表 示若干个已知离散样点之间内在规律的数 据整理方法； 适宜 —— 观测数据本来就含有不可避免的 误差情况。它不要求所作函数严格地通过 样点，而只是尽可能地靠近样点，这常常 可能达到减少误差的目的。相反，强求所 作的曲线通过样点，反而有可能使曲线保 留误差，影响拟合精度。
3、算法的种类和描述
算法的种类分为数值计算算法与非数值计算算 法。 （1）数值计算算法 主要用于科学计算，是计算机最早的应用领域。 （2）非数值计算算法 常用于数据管理、实时控制以及人工智能等领 域。逻辑判断通常在这类算法中处于主导地位， 算术运算则居于相对次要的地位。 （3）算法的描述 盒图N-S图、PDL和PAD图（ P80 ）
3、误差方程
y P x a0 a1 x a2 x ... an x = a j x
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一、计算机算法
1、概要
解析解——准确解； 数值解——近似解； 算法——解决某个特定问题的一个逻辑顺 序。或是由一套明确的规则组成的若干步 骤，它指定操作的顺序，将问题按一定数 目的步骤加以解决。 科学计算——计算机解题的过程。
例子：求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两个实根。
7、减少误差的若干原则
（ 1 ）防止两个相近的数相减。以免丢失有效 数字，影响计算的精度； （ 2 ）防止大数吃掉小数。可以适当改变运算 次序； （ 3 ）防止误差的积累和影响计算速度。注意 简化算法步骤，减少运算次数； （ 4 ）使用数值稳定的算法、设法控制误差的 传播； （ 5 ）可以利用泰勒展开式估计误差。绝对误 差限和相对误差限均可以估计，P89。
5、一元三点分段抛物线插值
三点分段式抛物线插值——当样点较多时，把 插值区间分成若干小段，在每一小段使用低次 插值，而在分点出保持一定的连续性。优点： 具有较好的收敛性和稳定性。 思路如下： 已知n个插值样点x1<x2<…<xn，其对应的函数 值为y1,y2,…,yn，计算点x处的函数值时，选取 最靠近 x的 3 个样点 ，按分段二次插值（抛物 线）公式。
从以上的正规方程组的矩阵形式可以看出，需 要输出的是左侧的系数矩阵和右侧的常向量。
参数分析： 样点个数（n个-整型变量，输入参数）； 插值函数个数（L个-整型变量，输入参数）； 需要求的插值点（x-实型变量，输入参数）； 样点值（实型一维数组a[n]，用于存放需要求 插值的n个样点值，输入参数；实型二维数组 b[n][L]，n行L列，存放给定样点处的L组函数 值，输入参数）； 插值点的函数值（y[L]-实型一维数组，存放L 格插值结果，输出参数）。
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4、正规方程组
4、数值稳定性
数值的稳定性——科学计算中的一个重要问题 是误差，同一个计算问题，采用不同算法得到 的结果，可以导致精度大不相同。 如果一个算法受误差影响较小，称为数值稳定 的，否则是不稳定的。
5、条件问题与病态概念
计算问题的条件数—— f ' x 和 xf ' x / f x 分别表示绝对误差和相对误差对计算结果影响 的程度，其值越大，影响程度越大，它是问题 固有的一种属性； 病态——如果一个计算问题，当初始数据有微 小摄动时，计算结果对之很敏感，即变化很大； 否则是良态的。
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3、一般多项式插值（高次方程插值）
推广到一般情况，已知 n+1个样点，通过全部 样点，作 n次多Βιβλιοθήκη Baidu式插值函数，仍采用基函数 法，可以得到：
x x0 x x1 P x y0 y1 x0 x1 x1 x0
P x l0 x y0 l1 x y1
2、三点抛物线插值（二次插值）
如果已知3个样点，需要求出其中间任意插值点的函 数值时，可以采用抛物线插值法进行计算。已知三 个样点 ，求抛物线作插值函数， 满足通过这三点， 求出为：
6、误差
误差——一个量的真实值与其近似值之差。 （1）误差来源 模型误差 观测误差 截断误差——取决于计算方法； 舍入误差——取决于计算机存储器内的字长； 初值误差——采用初始数据带来的误差。 数值计算中，主要考虑截断误差、舍入误差和 初值误差。
（2）几个基本概念 绝对误差与绝对误差限——一定意义下反映近 似值的准确程度，与所讨论量的单位有关； 相对误差与相对误差限——无量纲的量，通常 用百分数表示，更准确些。
基本思想 —— 通过已知的离散样点，作一 插值函数P(x)来作为原函数f(x)的近似值； 适宜 —— 观测数据是精确的或可靠度较高 的情况； 实际应用——从求得的函数表达式中计算xi 以外的函数值。
1、二点线性插值（一次插值）
已知两个插值样点 ，通过这两点作一直线P(x)， 来作为未知函数f(x)的近似函数，即插值函数
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用最小二乘法求拟合曲线时，必须首先确定或 选择函数类型，即P(x)的形式。这与所讨论问 题的性质和经验有关，本内容中介绍的是用最 小二乘法对多项式进行曲线拟合的情况。
2、方法步骤
（ 1 ）根据已知离散样点绘出平滑曲线，根据 此曲线形状和态势，以及问题的性质，提出一 个与之相拟合的多项式； （2）建立该多项式的误差方程； （ 3 ）根据最小二乘法的误差理论，导出正规 方程组； （ 4 ）求解正规方程组，得到相关回归系数， 从而建立起所需要的曲线拟合多项式。