组合优化问题及算法教学内容

其中xit,T为决策变量,xit=1表示产品i在第t时段加工
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一些例子
4. 装箱问题(bin packing)
如何把n个尺寸不超过1的物品装入尺寸为1的箱子，并使 所用的箱子个数最少。
5. 二维装箱问题（平面上的套裁问题）
原料的尺寸大于需求的尺寸，需求的品种尺寸可以不同， 最终的目标是在满足需求的前提下，使边角余料最小。
组合优化问题及算法
一些例子
1. 0-1背包问题
设有一个容积为b的背包，n个体积分别为
ai(i=1,2,…,n),价值分别为ci (i=1,2,…,n)的物品，如 何以最大的价值装包？
n
max ci xi
i 1
n
s.t. ai xi b
i 1
xi {0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ},
i 1, , n
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一些例子
类似可定义k-opt(k2)
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启发式算法
局部最优与全局最优
若s*满足 f(s*)()f(s),其中sN(s*)F,
则称s*为f在F上的局部(local)最小（最大）解。 若s*满足 f(s*)()f(s),其中sF,
则称s*为f在F上的全局(global)最小（最大） 解。
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启发式算法
k1
2）若 di xi dk b ，则xk=1;否则xk=0,k:=k+1; i1
3) 当k=n+1时，停止；否则，转2). (x1,x2,…,xn)为贪婪算法所得解，单位体积的价值越 大越先放入是贪婪算法的原则。
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启发式算法
简单的邻域搜索算法
给定组合优化问题，假设其邻域结构已确定， 算法为 1）任选一个初始解s0F; 2) 在N(s0)中按某一规则选一s；若f(s)<f(s0),则 s0s；否则，N(s0) N(s0)-s; 3) 若N(s0)=,停止；否则，返回2).
n
xij 1, j 1, , n
i1
xij | S | 1, 2 | S | n 2,
i, jS
xij {0,1}, i, j 1, , n, i j.
S {1,2, , n}
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一些例子
3. 有 约 束 的 机 器 调 度 问 题 ( capacitated machine scheduling)
启发式算法定义
一个基于直观或经验构造的算法，在可接受 的花费（计算时间、占用空间等）下给出待解决 问题每一个实例的一个可行解，该解与最优解的 偏离程度不一定能预计。
启发式算法是一种技术，使在可接受的计算 开销内寻找最好的解，但不一定能保证所得解的 可行性和最优性，甚至多数情况下，无法给出所 得解同最优解的近似程度。
6. 车间作业调度问题(job shop scheduling)
n个工件，J1,…,Jn在m台机器M1,M2,…,Mm上加工。每个工 件Ji有ni个工序，Oi1,…,Oini,第Oij工序的加工时间为pij，必须 按工序进行加工且每一工序必须一次加工完成。一台机器在任 何时刻最多只能加工一个产品，一个工件不能同时在两台机器 上加工，如何安排才能使最后一个完工的工件完工时间最小？
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启发式算法
算法停止时得到点的性质依赖算法初始解的 选取、邻域的结构.
只要选好初始点，就一定可以求到最优解。 对NP-hard的组合最优化问题，确定这样的初始 点非常困难。如何选初始点和如何跳出局部最优 值点以达到全局最优点是许多算法的关键。
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一些例子
7. 最大截问题(MCP,Max Cut Problem) 8. 图的顶点着色问题（GCP,Graph Colouring Problem) 9. 独立集问题（ISP,Independent Set Problem) 10.调度问题(SCP,Scheduling Problem) 11.划分问题(PAP,Partition Problem) 12.布局问题（PLP, Placement Problem)……
2. 旅行商问题(TSP，traveling salesman problem)
一个商人欲到n个城市推销商品，每两个城市i和j之
间的距离为dij，如何选择一条道路使得商人每个城市正 好走一遍后回到起点且所走路径最短。
n
min dij xij
i j
n
s.t. xij 1, i 1, , n
j1
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启发式算法
邻域概念
TSP问题解的另一种表示法为
D={S=(i1,i2,…,in)是1,2,…,n的一个排列} 可以定义它的邻域映射为2-opt，即S中的两个 元素对换。
如4个城市的TSP问题，当S=(1,2,3,4)时， N(S)={(2,1,3,4),(3,2,1,4),(4,2,3,1),(1,3, 2,4),(1,4,3,2),(1,2,4,3)}.
n个加工量为{di|i=1,2,…,n}的产品在一台机器上加工， 机器在第t个时段的工作能力为ct,求完成所有产品加工所需时
段数最少的m调in度T方案
T
s.t. xit 1, i 1, ,n
t1 n
di xit ct ,
t 1,2 ,T
i1
xit {0,1}, i 1, ,n, t 1,2, ,T
上述问题都是NP-hard问题，目前人们认为它们不存在 求解最优解的多项式时间算法，大规模情形只有尝试用一 些近似算法或启发式算法求解。
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启发式算法
邻域概念
对于组合优化问题(D,F,f),D上的一个映射： N:SD N(S)2D
称为一个邻域映射，其中2D表示D的所有子集构 成的集合，N(S)称为S的邻域。
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启发式算法
近似算法定义
记问题A的任何一个实例I的最优解和启发式 算法H解的目标值分别为zopt(I)和zH(I),若对某 个正数0，有
|zH(I)-zopt(I)| |zopt(I)|，IA 则称H是A的近似算法。
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启发式算法
背包问题的贪婪算法
1）将物品以ci/ai（单位体积的价值）由大到小的顺 序排列，不妨把排列记为{1,2,…,n},k:=1;
邻域的构造依赖于问题决策变量的表示，邻 域的结构在现代化优化算法中起重要作用。
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启发式算法
邻域概念
例如，前面例子2给出的TSP问题模型。由解空间 D={x{0,1}n(n-1)}，可以定义它的一种邻域为：
N (x) {y |yx| |yijxij|k, y D }
i,j
k为一个正整数。 TSP问题解的另一种表示法为 D={S=(i1,i2,…,in)是1,2,…,n的一个排列}