反比例函数中的“K”值

《反比例函数中的“K ”值》教学设计

一、内容和内容解析 1.内容

反比例函数中“K ”的探究 2.内容解析

例函数是继一次函数、二次函数又进一步学习的一基础函数，反比例函数的

概念的给出也只是描述性的说“形如)0(≠=k x

y 函数，总感觉有点不通透，而

反比例函数的图像、位置、性质也由K 值来决定，况且近些年中考反比例中已知K 值求面积，已知面积求K 的值或函数解析式的考查越趋频繁，故作此探究.希望能为中考学子带来一点浅益.基于以上初衷，我确定本课的教学重点是通过探

究、理解并掌握反比例函数形如)0(≠=k x

y 函数K 的几何意义.

二、目标和目标解析 1.目标

（1）理解并掌握反比例函数中∣K ∣的几何意义；（2）能灵活运用∣K ∣的几何意义求图形面积； 2.目标解析

达成目标（1）的标志是：过双曲线上任意一点P(x,y)向x 、y 轴分别作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于K

达成目标（2）的标志是：能够独立完成目标检测当中相应的变式拓展训练. 三、教学问题诊断分析

在探究反比例函数的几何意义与K 的关系时会遇到这样的问题：

（1）过反比例函数图像上点P(x,y)作x 、y 轴分别作垂线段后所围成的矩形

、y 轴分别作垂线段后所围成的矩形面积还会相等？，存怀疑心态. 基于以上分析，本节课的难点：对x 的理解以及学会从图形与图象上分析信息.

四、教学支持条件分析根据本课的内容的特点，为了更加直观形象地突破重难点，借助多媒体课件，使实例背景更形象、更逼真，使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，为更好的实现教学目标服务. 五、教学设计

1.复习旧知兴趣引入

问题1：我们学习了哪函数？

师生活动：教师提出问题，了解学生对反比例函数知识的掌握情况. 教师追问1：反比例函数的解析式是什么？，比例系数是什么？

师生活动：学生回答)0(≠=k x

y ；比例系数是K.

教师追问2：反比例函数的比例系数K 怎样确定或者说能确定什么？

师生活动：带着以上疑问来完成下表中的内容.

教师追问3：反比例函数的比例系数K除了能确定图像位置和增减性外还能确定什么呢？本节课我们来探究反比例函数中“k”值.

设计意图：通过一个个简单的问题来反比例函数上节课的内容，再运用巧妙的追问问很自然在地过渡到本节课的课题.既起到旧知回顾的作用又对后续探究提供了知识支撑.

2.合作探究共同总结

问题2：如图，是反比例函数

的图象，请思考下列问题：

教师追问1：点A(1,6)、B（3、2）、C（-3、-2）在反比例函数的图象上吗？

师生活动：考察学生是否掌握用代入法来检验某个点在不在函数的图象上.

教师追问2：能否在图上描出A(1,6)、B(3,2)、C(-3,-2)在图象的位

师生活动：给学生创造上台展示的机会.

教师追问3：

（1）过A(1,6)作x轴、y轴的垂线AM

、AN

,垂足为M

、N

则

=_______;AN

=_______;矩形AM

的面积=_______.

（2）过B（3、2）作x轴、y轴的垂线BM

、BN

,垂足为M

、N

则反比例函

数

图象所在象限性质y＝

(k≠

k＞0 图象在____象限

在每个象限内，y随x

增大而_____

k＜0 图象在____象限

在每个象限内，y随x

增大而_____

BM 2=_______;BN 2=_______;矩形BM 2ON 2的面积=_______.

（3）过C(-3,-2)作x 轴、y 轴的垂线CM 2、CN 2,垂足为M 2、N 2则CM 2=_______;CN 2=_______;矩形CM 2ON 2的面积=_______.

（4）过双曲线上P(x,y)作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N 则PM=_______;PN=_______;矩形PMON 的面积=_______.

过双曲线上任意一点P(x,y)向x 、y 轴分别作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于K

即：矩形面积k y x y x

S =?=?= 师生活动：展示追问3，并结合课件让学生学会准确的理解点到坐标轴的距离的概念，并能准确地在坐标轴上画出来.对于（1）到（4）可让学生自己上黑板来画，加深对x 、y 的理解便于更好地探究、总结出反比例函数中“K ”的几何意义.

设计意图：探究的设置主要是考虑到学生的实际情况和知识掌握水平自我进行调控，在设计中力争设置多梯次、低门槛把学生带入到愿动手探究的阵营中来. 3.针对练习巩固提高

(1)如图，点B 在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，横坐标为1，过点B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为A ，C ，则矩形OABC 的面积为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

(2)如图2，某反比例函数的图像过点M ，MA ⊥x 轴于点A.且MB ⊥y 轴于点B,若矩形MAOB 的面积O 为2，求反比例函数表达式?

(3)如图,点A,B 是双曲线 x

y 3

=上的点，过点A 、B 两点分别向x 轴、y 轴作

垂线，若S 阴影=1，则S 1+S 2=________

师生活动：教师展示练习老师重点关注学生解题情况，对学生解题中出现的思维障碍及时的进行点拨与疏通.同时要注意学生解题逻辑思维的培养和解题规范性上作严格要求，若学生未能完成的老师可加以示范.

设计意图：针对问题设置练习，首先换了一解析式，换一函数图象是否还

-2 M

O 图1

能运用k 的意义来解决.同时设置不同题型增加了解题的趣味性也培养学生思维的迁移能力.

4.变式拓展总结推广

问题3 通过前面的探究我们得到下图的矩形存在怎样的关系？

(1)S 红__S 蓝__S 紫__S 绿=________ (3)连接AO 则S △AOM 1=________ (4)连接CO 则S △COM 3=________ (5)连接PO 则S △POM=________

结论：过双曲线上任意一点P(x,y) 作x 轴（或Y 轴）的垂线，与坐标

原点围成的面积为21

即：三角形面积k

xy S 21

21==

师生活动：本活动重点关注学生在观察矩形的分割的过程中得到的三角形在位置、形状上有怎样的变化.同时引导分割后的三角形怎样求得面积？并关注学生能否自己总结出三角形的面积与k 关系.若不能，教师可以（1）问加以点拨提示后让学生自己去完成后面的内容并加以总结.

设计意图：把反比例函数图象上的点与坐标原点围成三角形面积放在围成的

矩形面积之后来探究符合学生的认知规律，使探讨变得更简单，同时也进一步让学体会数学形结合的思想与分割、补全的方法. 5.针对练习巩固提高

（1）如图,点P 是反比例函数x

y 2

=图象上的一点,PD ⊥x 轴于D.则△POD 的

面积为 .

（2）已知点A 是反比例函数x

y =

上的点，过点A 作 AP ⊥x 轴于点P ，已知△AOP 的面积3，则k 的值是（）

A. 6

B. -6

C.-3

D. 3

（3）如图,B 在x

y 10

=上，AB ⊥y 轴，点P 在x 轴上，则△APB 的面积是_____

师生活动：教师引导学生回忆本节课所学知识，在活动中教师应重点关注：

对于第(1)题有多少学生做出来，达成的目标如何？(2)题利用面积求函数K 值时怎样确定K 的符号？(3)学生利用“等底等高”来求三角形的面积,掌握解题技巧，提高解题能力.

设计意图：设置该练习除了对所学知识起到巩固以外，在题型也作了相应的变换其目的是要打破学生的固定思维模式培养学生的发散思维. 6.总结收获畅谈体会

总结1：如图反比例函数x

y 12

=与正比例函数y=kx 相交于点A 、点B.

(1)点A 与点B 关于_____对称，等的线段有________.

(2)若点A 的坐标是(x,y)，则点B 的坐标是_________

(3)AC ⊥x 轴，则△OAC 的面积是____ (4)连接BC ，则

△OBC 的面积是_________， △ABC 的面积是__________ △ABD 的面积是_________ 四边形ADBE 的面积是_______

总结2：

（1）过双曲线上任意一点P(x,y)向x 、y 轴分别作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于K

即：矩形面积k y x y x S =?=?= （2）过双曲线上任意一点P(x,y)作x 轴（或Y 轴）的垂线，与坐标原点围

成的面积为2

K 即：三角形面积k xy S 2121==

总结3：

（1）数形结合的思想（2）分割补全

设计意图：加强培养学学会总结，养成系统整理所学习知识的习惯.提高学习的效率.

六、目标检测设计

（1）如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y 轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（）

设计意图：考察能否结合图形的面积得来确定K值.

（2）如图，点A是反比例函数y＝－6

(x＜0)的图象上的一点，过点A作□

ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上，则□ABCD的面积为( )

A．1 B．3 C．6 D．12

设计意图：考察能否利用分割补全的数学思想与K的几何意义来确定□ABCD 的面积.

（3）下列图形中，阴影部分面积最大的是( )

A. B. C. D.

设计意图：考察能否选择题中如何采用已掌握技巧快速找到准确的答案.

（4）如图，A是双曲线上的点，过点A作AE交x轴于点E,作AF交y轴于点F,AE、AF与双曲线分别交于点B、C则四边形ABOC的面积是______

设计意图：再一次考察能否利用分割补全的数学思想与K的几何意义巧求阴影部分的面积.

（5）如图，反比例函数y＝k

(k＞0)的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F

两点，若E是AB的中点，S

△BEF

＝2，则k的值为．

设计意图：同学们是否会巧设E点坐标，从而得出B点的纵坐标，再反代入

反比例函数y＝k

(k＞0)中即可求出F点的坐标再结合三解形的面积公式求得K

的值.

反比例函数中“K”与面积专题4

专题四反比例函数中“K”与面积一:问题背景反比例函数y＝k x 中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数y＝k x 图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数|k|,由此基本图形带来的衍生图形也很多，他们与K都有固定的结论。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用这些基本图形，会给解题带来很多方便。二：基本图形 S四边形PEOF =|K| S△ABO=|K|

S△ABM=|K| S△ABC=2|K| S四边形ABCD=2|K| S△AOC=S四边形ACEF

2、如图A,B是函数y=的图象上关于O原点对称的任意两点,AC∥Y 轴,BC∥X轴,△ABC的面积记为S,则S=_________ 3、如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向X轴、Y 轴作垂线段，若S 阴影=1，则S 1 +S 2 =________

4、如图，点A是反比例函数y＝k x 图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值 5、如图,点A在函数y=的图象上,点B在函数y＝k x (x﹥0)的图象上,连接AB,AB垂直x轴于点M,且AM︰MB=1︰2,则 6、如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴， C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则 S ABCD

7、双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是 _____。 8、(陕西2011中考)如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=和y=的图象交于点A和点B，若点C 是x轴上任意一点，连接AC、BC，则S△ABC=____ 。 9、如图，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=的图象上，点B在y轴上，若将△OAB沿x轴正方向平移，当点B落在反比例函数的图象上时，点A 的坐标为_____。。

应用反比例函数中k的几何意义解题举例

反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积一般地，如图1，过双曲线上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AM 、AN ，，所得矩形AMON 的面积为：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|. 又∵y=x k ，∴xy=k. ∴AMON S 矩形=|k|.∴||2 1 k S AOM = ?. 这就是说，过双曲线上任一点，做X 轴、Y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k 的几何意义，明确了k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题： 1、求函数的解析式例1如图2所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx =+的图象与反比例函数9 y x = 的图象在第一象限相交于点A ．过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点B 、C ．如果四边形OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．解析四边形OBAC 是正方形及反比例函数9 y x =的图象在第一象限相交于点A ，则正方形OBAC 的面积为：S ＝xy ＝9，所以正方形的边长为3，即点A 的坐标（3，3，）。将点A （3，3，）代入直线得y=3 2 x+1。 2.特殊点组成图形的面积例2如图3，点A 、B 是双曲线3 y x = 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．解析由A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等， ∴S 1+S 阴影＝S 2+S 阴影＝xy ＝3. ∵1S =阴影， ∴12S S +=2＋2＝4。例3如图4，A 、B 是函数2 y x = 的图象上关于原点对称的任意图2 图3

两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（） A ．2S = B ．4S = C ．24S << D ．4S > 解析 ∵A 、B 是函数2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点， ∴△ABC 的面积记为S ＝4S △AOD =4×2 1 xy=4. 3、求字母的值例4如图5，直线y=mx 与双曲线y= x k 交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是（） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 解析 ∵直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，已知A,B 两点关于原点O 对称，所以ABM S ?=2S △AOM =2×2 1xy=xy=2 ∴k=2。例5如图6，已知双曲线)0k (x k y ＞= 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．解析：由双曲线)0k (x k y ＞= 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，设点D 的坐标（x,y ），又DE ∥BA, ∴点B 的坐标为（2x,2y ）， ∵△OBC 的面积3, ∴ 21OA.AB=21 ×2x×2y=2xy=2k=3, ∴k=2 3 . 4、求线段的长度例6如图7，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x = 的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为（保留根号）．解析：∵AOB △的面积为1，图 5 图6

反比例函数中K与面积(一)

反比例函数中与K 有关的面积问题（经典题组训练学案+林建华微课视频）【知识梳理】 1.如图（1），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线段，垂足分别是点A 、B ，则矩形OAPB 的面积是. 2.如图（2），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点A ，则△APO 的面积是. 3.如图（3），这些矩形的面积相等吗？ 4.如图（4），这些三角形的面积相等吗？【熟练运用】 1.如图（5），点P 在反比例函数x y 3-= 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，则矩形PMON 的面积为. 2.如图（6），点P 在反比例函数x y 2= 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，则△DPO 的面积为. 3.如图（7），双曲线x y 2-=和x y 1=在x 轴上方的图像，作一平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，则△AOB 的面积为.

【拓展提升】 1.如图（8），过反比例函数x y 2= （x ＞0）图像上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得（） A. S 1＞S 2 B. S 1＝S 2 C. S 1＜S 2 D. S 1与S 2 的大小不确定 2.如图（9），A 、B 是函数x y 1= 图像上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC 垂直x 轴于点C ，BD 垂直x 轴于点D ，如果四边形ADBC 的面积分别为S ，则（） A. S ＝1 B. 1＜S ＜2 C. S ＞2 D. S ＝2 【知识归纳】

反比例函数k的几何意义试题汇编

2016年12月07日反比例函数K的几何意义一．选择题（共30小题） 1．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（） A．36 B．12 C．6 D．3 2．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S =2，则k的值为（） △AOB A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为（） A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6 4．如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）

A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 5．如图，反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为（） A．2 B．4 C．5 D．8 6．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 7．如图，P，Q分别是双曲线y=在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC 的面积为S3，则有（） A．S1=S2≠S3B．S1=S3≠S2C．S2=S3≠S1D．S1=S2=S3

反比例函数中K与面积

（经典题组训练学案+林建华微课视频）【知识梳理】 1.如图（1），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线段，垂足分别是点A 、B ，则矩形OAPB 的面积是 . 2.如图（2），点P （m,n ）在反比例函数x k y = 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点A ，则△APO 的面积是 . 3.如图（3），这些矩形的面积相等吗？ 4.如图（4），这些三角形的面积相等吗？【熟练运用】 1.如图（5），点P 在反比例函数x y 3-= 的图象上，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，则矩形PMON 的面积为 . 2.如图（6），点P 在反比例函数x y 2= 的图象上，过点P 向x 轴作垂线，则△DPO 的面积为 . 3.如图（7），双曲线x y 2-=和x y 1=在x 轴上方的图像，作一平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，则△AOB 的面积为 . 【拓展提升】 1.如图（8），过反比例函数x y 2= （x ＞0）图像上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得（）

A. S 1＞S 2 B. S 1＝S 2 C. S 1＜S 2 D. S 1与S 2 的大小不确定 2.如图（9），A 、B 是函数x y 1 图像上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC 垂直x 轴于点C ，BD 垂直x 轴于点D ，如果四边形ADBC 的面积分别为S ，则（） A. S ＝1 B. 1＜S ＜2 C. S ＞2 D. S ＝2 【知识归纳】

(完整版)反比例函数的K的几何意义教学设计

教学目标：（一）知识与技能 1．理解和掌握反比例函数（k ≠0）中k 的几何意义 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题（二）过程与方法 1.让学生自己尝试在的图象上任取一点P(x 、y)，过P 点分别向X 轴、Y 轴作垂线，从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形成的矩形与三角形的面积与k 的关系。 2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。（三）情感态度与价值观培养学生自主探究，合作交流的精神。学情分析：知识基础：本节课学习前，学生已经具有了函数概念的知识积累，在上一节课的学习中，学生已经掌握了反比例函数的概念。学习方法：学生已经积累的学习函数的方法有：画图象，观察图像归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变换趋势等。学生喜欢用探究式的学习方式，通过自己的分析来体验知识间的内在联系。能力水平：处在这个年龄段的学生多数可以熟练的进行抽象逻辑思维，但其辩证逻辑思维的能力水平还较低。另外，学生参与活动的积极性高，但仍然缺乏合作交流等方面的能力。教学重点、难点： 1．重点：理解并掌握反比例函数（k ≠0）中k 的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题 2．难点：学会从图象上分析、解决问题教学过程：（一）创设情境、导入新课 1、反比例函数的解析式是什么？如何确定比例系数K 的值？ 2、反比例函数的比例系数K 能决定什么？反比例函数的比例系数K 除了能确定图像位置和增减性外还能确定什么呢？ x y 6 =x k y x k y =

1.如图,点P 是反比例函数图象上的一点,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是. x y o M N p 3 -=∴k . 3||k |,|k S 矩形P m O n =∴=, ,四象限图像在二又Θ. 3 x y -=∴解析式为由题意得：本节课我们来探究反比例函数的比例系数K 的几何意义。（二）新课探究活动1：议一议如图，已知点P 是反比例函数的图象上任意一点，过P 点分别向X 轴、Y 轴作垂线，垂足分别为M 、N ，那么四边形OMPN 的面积是多少？△OMP 的面积是多少？ 1、学生讨论时出现的问题是OM 应如何表示，教师给予及时点拔，使问题得以解决。 2、学生板演解题过程，教师给予纠正。师提问：如果解析式中的k=-3呢？所形成的矩形及三角形的面积又是多少？学生计算后进上步归纳总结反比例函数（k ≠0）中k 的几何意义。师板书：反比例函数（k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积，△OMP 的面积S= ∣xy ∣= ∣k ∣ 活动2：例题讲解本例1设计的目的是让学生根据矩形的面积确定K 值，学会逆向思考问题。如果以解答题的形式出现，学生不会写格式，这时需要老师规范书写格式。在格式上注意两点地方：（1）设出反比例函数图像上的一点P （a,b ），利用点的横坐标的绝对值表示边OM ，点的纵坐标的绝对值表示边ON ，这样矩形的面积就可以用点P 横纵坐标乘积的绝对值来表示。（2）设出反比例函数的解析式根据图像的位置确定好K 的正负方便之后的取舍，将点P （a,b ）代入所设的解析式建立K 与ab 的关系。 x y 6 =x k y =2 1 21x k y = k xy S ==

反比例函数K的几何意义专题

反比例函数K 的几何意义专题一、授课目的：让学生理解反比例函数的概念及几种等价形式；能够快速绘出给定反比例函数的图像；掌握反比例函数的性质（对称性，变化趋势等），并应用解决数学问题（如比较函数值大小，求对称点坐标等）。重点掌握反比例函数)0(k ≠=k x y 中的比例系数k 的几何意义。二、考点分析：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现，常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察。所以，应该引起广大学生的重视。反比例函数中k 的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计算大题中进行考察。灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。（请学生思考，图中三角形OEF 的面积和系数k 的关系。） 2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=k x 的图象时,应注意自变量x 的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点. 例题1 (2003·三明)函数y=1 x -(x>0)的图象大致是( ) 例题2 (2003·宜昌)函数y=kx+1与函数y=k x 在同一坐标系中的大致图象是( ) y O x A y O x B y O x C y O x D y O x A y O x B y O x C y O x D

3.反比例函数y=k x 中k 的意义注意:反比例函数y= k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=k x (k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │. 例题1：如图，P 、C 是函数x 4 y = （x>0）图像上的任意两点，过点P 作x 轴的垂线PA,垂足为A ，过点C 作x 轴的垂线CD,垂足为D ，连接OC 交PA 于点E ，设⊿POA 的面积为S1,则S1= ,梯形CEAD 的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1 S2, ⊿POE 的面积S3和梯形CEAD 的面积为S2的大小关系是S2 S3. 例题1图例题2图例题3图例题2：如图所示，直线l 与双曲线)0(k y >= k x 交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S1，⊿BOD 的面积S2，⊿POE 的面积S3的大小：。例题3：如图所示，点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线)0x (k >= x y 上,且x2-x1=4,y1-y2=2;分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为。 4.常考题型精选 1．如果x x >，且0

反比例函数中K的几何意义专题复教案

《反比例函数中K 的几何意义专题复习》老店一中张晓彦【教学目标】一、知识与技能 1、掌握反比例函数k 的几何意义，灵活利用它解决数学问题。二、过程与方法 1、让学生自己尝试在的图象上任取一点A(x 、y)，过A 点分别向X 轴、Y 轴作垂线，从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形成的矩形与三角形的面积与k 的关系。 2、通过函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。三、情感态度与价值观通过对图像的研究，培养学生自主探究，合作交流的精神，训练学生语言组织能力和分析、解决问题的能力。【教学重点、难点】 1、重点：理解并掌握反比例函数（k ≠0）中k 的几何意义；并能利用它解决一些数学问题。 2、难点：从反比例函数图象上分析、解决问题。【教学辅助工具】多媒体导学案【教学过程】一、“猜谜”导课 k y x =x k y =

师：今天我们做一件有意思的事儿，“猜谜语”。如果你有正确答案，请迅速举手示意：1、我家有一个总管K， 2、我有一双胞胎，它们从来没有交集； 3、它们的住宿全凭管家做主。（课件显示）你猜出来了吗？生1：反比例函数。。。。。师：对，大家很聪明，那么我们今天就来研究一下这个总管K到底有管些什么？（课件显示本节课题：反比例函数中K的几何意义专题复习）二、学习目标 1、掌握反比例函数k的几何意义，灵活利用它解决数学问题。 2、通过函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。（学生默读学习目标，做到心中有数）三、自主学习，检测自我 1、如图，反比例函数 2 y x =的图像上有一点() 1,2 A： AM x ⊥轴，AN y ⊥轴，则矩形AMON 2、如图，反比例函数 2 y x =-的图像上有一点A AM x ⊥轴，AN y ⊥轴，则矩形AMON的面积。 3、如图，反比例函数 k y x =的图像上有一点(, A a AM x ⊥轴，AN y ⊥轴，则矩形AMON x

专题训练(10)反比例函数中k的几何意义(含答案)

专题训练(十) 反比例函数中k 的几何意义 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 1．如图，在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y ＝3 x (x ＞0)上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点B ，点A 运动过程中△AOB 的面积将会( ) A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．先增大后减小 D ．不变 2．如图，过反比例函数y ＝2 x (x ＞0)图象上任意两点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，连接OA ，OB ，设 AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，比较它们的大小，可得( ) A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1＝S 2 D ．S 1、S 2的大小关系不能确定 3．(鄂州中考)点A 为双曲线y ＝k x (k ≠0)上一点，B 为x 轴上一点，且△AOB 为等边三角形，△AOB 的边长为2，则 k 的值为( ) A ．2 3 B ．±2 3 C. 3 D ．± 3 4．设P 是函数y ＝2 x 在第一象限的图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点为点P ′，过点P 作PA 平行于y 轴，过点P ′作P ′A 平行于x 轴，PA 与P ′A 交于A 点，则△PAP ′的面积( ) A ．随P 点的变化而变化 B ．等于1 C ．等于2 D ．等于4 5．如图，点A 是反比例函数y ＝k x 图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC ， BC.若△ABC 的面积为3，则k 的值是( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6

反比例函数中k的意义

反比例函数中k 的意义反比例函数x k y =(k≠0)的比例系数k 的意义，除同学们熟悉的“当k >0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 的增大而减小；当k <0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大”外，还有一个非常重要的意义，即过反比例函数x k y =(k≠0)的图像上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴所围成矩形的面积都等于k ；过反比例函数x k y =(k≠0)图像上任意一点作x 轴(或y 轴)的垂线，且连结坐标原点，与坐标轴所围成三角形的面积都等于2k . 探究1：若P (x ，y )为反比例函数x k y =(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P 作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，求矩形PMON 的面积. 分析：S 矩形PMON =xy x y PN PM =?=? ∵x k y =, ∴ xy=k, ∴ S =k . 探究2：若Q (x ，y )为反比例函数x k y = (k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q 作QA ⊥x 轴于A (或作QB ⊥y 轴于B )，连结QO ，则所得三角形的面积为：S △QOA = 2k （或S △QOB =2k ）.（本题由同学们自己试着说明理由）

说明：当k >0时，所围成的矩形的面积为k ，三角形的面积为 2k ；当k <0时，所围成的矩形的面积为-k ，三角形的面积为2k - .以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关. 应用举例：例1 如图3，在反比例函数x y 6-=（x ＜0）的图像上任取一点P ，过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，那么四边形PMON 的面积为．解：S 四边形PMON =66=-=k . 例 2 反比例函数x k y =的图像如图4所示，点M 是该函数图像上一点，MN ⊥x 轴，垂足为N.如果S △MON =2，求这个反比例函数的解析式．解：∵S △MON =2k =2, ∴k =4, ∴k=±4．又∵双曲线在第二、第四象限内，∴k ＜0， ∴k=-4， ∴所求反比例函数的解析式为x y 4-=．

反比例函数中K的几何意义

反比例函数中K的几何意义一、选择题 1、如图，P（x，y）是反比例函数y=的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积（） A、不变 B、增大 C、减小 D、无法确定 2、已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（） A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6 3、反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（） A、B、2 C、3 D、1 4、双曲线y=与y=在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接OA，OB，则△AOB的面积为（） A、1 B、2 C、3 D、4 5、如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值（） A、等于2 B、等于 C、等于 D、无法确定

6、如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（） A、B、 C、D、 7、反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（） A、﹣1 B、 C、1 D、2 8、如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y=的图象过点A，则k=（） A、3 B、﹣ C、﹣3 D、﹣6 9、如图，双曲线y=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（） A、B、C、D、

反比例函数中的“K”值

《反比例函数中的“K ”值》教学设计一、内容和内容解析 1.内容反比例函数中“K ”的探究 2.内容解析例函数是继一次函数、二次函数又进一步学习的一基础函数，反比例函数的概念的给出也只是描述性的说“形如)0(≠=k x k y 函数，总感觉有点不通透，而反比例函数的图像、位置、性质也由K 值来决定，况且近些年中考反比例中已知K 值求面积，已知面积求K 的值或函数解析式的考查越趋频繁，故作此探究.希望能为中考学子带来一点浅益.基于以上初衷，我确定本课的教学重点是通过探究、理解并掌握反比例函数形如)0(≠=k x k y 函数K 的几何意义. 二、目标和目标解析 1.目标（1）理解并掌握反比例函数中∣K ∣的几何意义；（2）能灵活运用∣K ∣的几何意义求图形面积； 2.目标解析达成目标（1）的标志是：过双曲线上任意一点P(x,y)向x 、y 轴分别作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于K 达成目标（2）的标志是：能够独立完成目标检测当中相应的变式拓展训练. 三、教学问题诊断分析在探究反比例函数的几何意义与K 的关系时会遇到这样的问题：（1）过反比例函数图像上点P(x,y)作x 、y 轴分别作垂线段后所围成的矩形、y 轴分别作垂线段后所围成的矩形面积还会相等？，存怀疑心态. 基于以上分析，本节课的难点：对x 的理解以及学会从图形与图象上分析信息. 四、教学支持条件分析根据本课的内容的特点，为了更加直观形象地突破重难点，借助多媒体课件，使实例背景更形象、更逼真，使教学更富有趣味性、生动性和互动性，从而激发学生的主动参与热情，为更好的实现教学目标服务. 五、教学设计 1.复习旧知兴趣引入问题1：我们学习了哪函数？师生活动：教师提出问题，了解学生对反比例函数知识的掌握情况. 教师追问1：反比例函数的解析式是什么？，比例系数是什么？师生活动：学生回答)0(≠=k x k y ；比例系数是K. 教师追问2：反比例函数的比例系数K 怎样确定或者说能确定什么？