高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.6 微积分基本定理 pdf版含答案

2．函数 f(x)与其一个原函数的关系
(1)若 f(x)＝c(c 为常数)，则 F(x)＝cx；
1 (2)若 f(x)＝xn(n≠－1)，则 F(x)＝n＋1·xn＋1；
1 (3)若 f(x)＝x，则 F(x)＝ln_x(x>0)； (4)若 f(x)＝ex，则 F(x)＝ex；
ax (5)若 f(x)＝ax，则 F(x)＝ln a(a>0 且 a≠1)； (6)若 f(x)＝sin x，则 F(x)＝－cos_x； (7)若 f(x)＝cos x，则 F(x)＝sin_x.
2
∫
所以 0 (2x＋3)dx＝(x2＋3x)Error!
＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.
( )x3
2x2－
(3)因为
3 ′＝4x－x2，
∫ ( ) 3
x3
2x2－
所以 －1(4x－x2)dx＝
3 Error!
( ) [ ] 33
－13 20
2 × 32－
2 × －12－
＝
3－
3 ＝3.
[ ] 1
答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：
b
∫
图(1)中 S＝af(x)dx，
b
∫
图(2)中 S＝－af(x)dx，
b
0
∫∫
图(3)中 S＝0f(x)dx－af(x)dx.
[预习导引]
1．微积分基本定理
b
∫
如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么 af(x)dx＝F(b)－F(a)．
函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差．
(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限．
跟踪演练 2 计算下列定积分：
π
(1)∫30(sin x－sin 2x)dx；
ln 2
∫
(2) 0 ex(1＋ex)dx.
解 (1)sin x－sin 2x 的一个原函数是－cos x＋
1
π
2cos 2x，所以∫30(sin x－sin 2x)dx
例 2 求下列定积分：
4
πx
∫(1) 1 x(1－ x)dx； (2)∫202cos22dx；
4
1
∫(3) 1(2x＋ x)dx.
解 (1)∵ x(1－ x)＝ x－x，
( ) 2 3 1 x － x2 又∵ 3 2 2 ′＝ x－x.
∫ ( ) 4
23 1
x － x2
∴ 1 x(1－ x)dx＝ 3 2 2 Error!
2
Error!＝
21 3a－2a2，
( ) 2 1
1 4 42
a2－ a＋
即 f(a)＝3a－2a2＝－2 3 9 ＋9
( ) 1 2 2 a－ ＝－2 3 2＋9，
2
2
∴当 a＝3时，f(a)有最大值9.
规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进
②f(x)的原函数有无穷多个，如 F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常
数 c.
跟踪演练 1 求下列定积分：
π
(1)∫20(3x＋sin x)dx；
∫ ( ) 2
1
ex－
(2) 1 x dx.
( ) 3
x2－cos x
解 (1)∵ 2
′＝3x＋sin x，
( ) π
3
x2－cos x
x－16
(4)因为 6
′＝(x－1)5，
2
∫ 所以 1(x－1)5dx
1 ＝6(x－1)6Error!
1
1
＝6(2－1)6－6(1－1)6
1 ＝6.
规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：
①求 f(x)的一个原函数 F(x)； ②计算 F(b)－F(a)．
(2)注意事项：
①有时需先化简，再求积分；
∴∫20(3x＋sin x)dx＝ 2
Error!
[ ( ) ] ( ) 3 π
π3
3π2
× 2－cos
× 0－cos 0
＝2 2
2－2
＝ 8 ＋1；
1
(2)∵(ex－ln x)′＝ex－x，
2
1
∫∴ 1(ex－x)dx＝(ex－ln x)Error!＝(e2－ln 2)－(e－0)
＝e2－e－ln 2. 要点二 求较复杂函数的定积分
1.6 微积分基本定理
[学习目标] 1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． [知识链接] 1．导数与定积分有怎样的联系？ 答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我 们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算． 2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？
要点一 求简单函数的定积分
例 1 计算下列定积分
2
2
∫∫
(1) 1 3dx； (2) 0 (2x＋3)dx；
2 3
∫ ∫ (3) －1(4x－x2)dx； (4)1(x－1)5dx.
解 (1)因为(3x)′＝3，
2
∫
所以 13dx＝(3x)Error!＝3×2－3×1＝3.
(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，
∫ ( ) 4
1
2x
＋2 x
∴ 1(2x＋ x)dx＝ ln 2
Error!
( ) ( ) 24
2
14
＋2 4
＋2
＝ ln 2
－ ln 2 ＝ln 2＋2.
规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：
(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数
不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂
1
1
＝eln 2＋2e2ln 2－e0－2e0
1
15
＝2＋2×4－1－2＝2.
要点三 定积分的简单应用
1
∫ 例 3 已知 f(a)＝ 0(2ax2－a2x)dx，求 f(a)的最大值．
( ) 2 1
ax3－ a2x2
解 ∵ 3
2
′＝2ax2－a2x，
∫ ( ) 1
21
ax3－ a2x2
∴ 0(2ax2－a2x)dx＝ 3
( ) ( ) 2 3 1
2 1 17
× 4 － × 42 －
＝3 2 2
－ 3 2 ＝－ x，(x＋sin x)′＝1＋cos x，
π
π
∴原式＝∫20(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)Error!＝2＋1.
( ) 2x
1
＋2 x
(3)∵ ln 2
′＝2x＋ x，
( ) 1
－cos x＋ cos 2x
＝
2
Error!
( ) ( ) 1 1
11
－ － －1＋
＝ 2 4－
2 ＝－4.
(2)∵ex(1＋ex)＝ex＋e2x，
( )1
ex＋ e2x ∴ 2 ′＝ex＋e2x，
ln 2
ln 2
∫
∫
∴ 0 ex(1＋ex)dx＝ 0 (ex＋e2x)dx
( )1
ex＋ e2x ＝ 2 Error!