EOF分析及其应用(教学课件)
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分析表明，南亚夏季风的爆发主要体现在降 水的突然增加和季风雨带的快速推进上，雨 带的时空分布有突变的特点。
第1 模态——降水量的突然增加。 第2 模态——从南向北的快速推进过程。 第3模态——东西分布型态，及在季风爆发
后印度半岛降水快速增加的过程。 第4模态——印度次大陆东海岸降水的准双
周振荡型态。
EOF分析及其应用
中国气象科学研究院
1
一、引 言 经验正交函数（EOF）方法：最早由统计学家
pearson（1902）提出，由Lorenz（1956）引入 气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对 象，由于对计算条件要求甚高，直到20世纪60年代 后期才在实际工作中得到广泛应用。 近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析 方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF （REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量 EOF（CEOF）方法。
z11 z12 z1n
V
v21
vm1
v22 vm2
v2m
vmm
Z
z 21
zm1
z 22 zm2
z2n
zmn
v j (v1j ,v2 j ,,vmj )T
是第j个典型场，只是空间的函数。
6
第t个空间场可表示为
x1t v11
v12
v1m
x2t
19
第1 模态——降水量的突然增加
20
降水量的第2 模态 -从南向北的快速推进过程
21
降水量的第3 模态
东西分布型态，及在季风爆发后印度半岛降水快速增加 的过程
22
降水量的第4 模态 印度次大陆东海岸降水的准双周振荡型态
23
我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及 其与大尺度气候异常的关系
i1 t 1
i 1
i 1
12
五、重要参数 第i个特征向量对X场的贡献率
m
i i
i
i 1
前p个特征向量对X场的贡献率
p
i i i1 i
m
i
i 1
13
六、计算步骤
1）根据分析目的，对原始资料矩阵X作距 平或者标准化处理；
2）由X求协方差矩阵 A XXT ； 3）求实对称矩阵A的全部特征值 h、特征
2
EOF分解的优点
1，没有固定的函数； 2，能在有限区域对不规则分布的站点进行分解； 3，展开收敛快，很容易将变量场的信息集中在几个模
态上； 4，分离出的空间结构具有一定的物理意义；
EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于 GCM资料的分析和数值模式的设计。现在， EOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出 现在大气科学研究的文献中。
3
二、EOF分析方法原理
将某气候变量场的观测资料以矩阵形
式给出
x11 x12 x1n
X
x21
xm1
x22 xm2
x2n
xmn
m是空间点（观测站或网格点）， n是时间序列长度（观测次数）。
4
气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函
数Z和空间函数V两部分,即
X VZ
或者
p
将东亚500 hPa 风场,温度场,降水量场进 行经验正交分解,得到它们的主要模态的 时空变化特征。结果表明东亚风场EOF 的主要模态与我国温度,降水量的EOF 的 主要模态对应,其第一EOF 模态与盛夏温 度,降水量的关系密切。
24
1951 - 2004 年500 hPa 7 - 8 月平均风场EOF 分解的第一特征向量 图(a)和标准化的时间权重系数(b) (图中斜直线是回归线)
v21
z1t
v22
z
2t
v2m
z
mt
xmt vm1
vm2
vmm
或者
xt v1 z1t v2 z2t vm zmt
7
上式表明，第t个场可以表示为m个空间 典型场，按照不同的权重线性叠加而成。V 的每一列表示一个空间典型场，由于这个场 由实际资料确定，故又叫经验正交函数。
向量Vh，h=1~H（通常使用Jacobi法）；
14
4）将特征值作非升序排列（通常使用 沉浮法），并对特征向量序数作相应变动；
5）根据 h ,h=1~H和X总方差，求出全 部 h 、Ph , h=1~H；
6）由X及主要 Vh 求其时间系数 Zh 、
h=1~H，主要的数量由分析目的及分析对象
定； 7）输出主要计算结果。
15
七 经验正交函数的物理意义
特征向量以及时间系数的分析。
vv第一特征向量（第一空间典型场）是与n 张X图平均最相似的，或者说具有与所要展开的 资料矩阵的n个样本最相似的特征。比如：若原 始资料矩阵是7月份50年实测将水场（非距平 场），则第一特征向量就可以解释为这50年的 平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺 度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征 向量就解释为与50年夏季距平场最相似的特征 场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区 和旱区。
16
八、时空转换问题
当 m n 时，先求出 X T X 的特征值，
然后求 XX T 的特征向量，这种方法叫时
空转换。
令 X T X 的特征值为 i，其特征向量
为 u i ， XX T 的特征值也为 i ，其
特征向量为 vi
17
vi Xui i
V v1, v2 ,, vm
Z VTX
18
南亚夏季风爆发前后降水量时空变化特征
xit vik zkt vi1 z1t vi2 z 2t vip z pt k 1
i 1,2,, m t 1,2,, n k 1,2,, p
含义：场中第i个格点上的第t次观测值，可以 看作是p个空间函数 vik和时间函数 的zki 线性组合 。
5
其中，
v11 v12 v1m
上述分解要求满足下列两个条件：
8
v
T i
ห้องสมุดไป่ตู้
v
j
p
vkivkj
k 1
0 1
i j i j
性
质
Z
i
Z
T j
n
zit z jt
t 1
0 i
i j i j
i, j 1,2,,m
9
三、分解方法
XX T VZZTV T
A XX T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理， 一定有
V T AV
或者 A VV T
10
V的列就是A的特征向量， 是A的
特征值组成的对角矩阵。
Z VTX
m
zit
vki xkt
k 1
Z就是时间系数矩阵，zit 第i个格点上的 第t 个时间系数。
11
四、误差估计和计算
X Xˆ mVp .p Zn
Xˆ 是拟合场.
可以证明误差
mn
m
p
Q
(xit xˆit )2 i i
第1 模态——降水量的突然增加。 第2 模态——从南向北的快速推进过程。 第3模态——东西分布型态，及在季风爆发
后印度半岛降水快速增加的过程。 第4模态——印度次大陆东海岸降水的准双
周振荡型态。
EOF分析及其应用
中国气象科学研究院
1
一、引 言 经验正交函数（EOF）方法：最早由统计学家
pearson（1902）提出，由Lorenz（1956）引入 气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对 象，由于对计算条件要求甚高，直到20世纪60年代 后期才在实际工作中得到广泛应用。 近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析 方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF （REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量 EOF（CEOF）方法。
z11 z12 z1n
V
v21
vm1
v22 vm2
v2m
vmm
Z
z 21
zm1
z 22 zm2
z2n
zmn
v j (v1j ,v2 j ,,vmj )T
是第j个典型场，只是空间的函数。
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第t个空间场可表示为
x1t v11
v12
v1m
x2t
19
第1 模态——降水量的突然增加
20
降水量的第2 模态 -从南向北的快速推进过程
21
降水量的第3 模态
东西分布型态，及在季风爆发后印度半岛降水快速增加 的过程
22
降水量的第4 模态 印度次大陆东海岸降水的准双周振荡型态
23
我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及 其与大尺度气候异常的关系
i1 t 1
i 1
i 1
12
五、重要参数 第i个特征向量对X场的贡献率
m
i i
i
i 1
前p个特征向量对X场的贡献率
p
i i i1 i
m
i
i 1
13
六、计算步骤
1）根据分析目的，对原始资料矩阵X作距 平或者标准化处理；
2）由X求协方差矩阵 A XXT ； 3）求实对称矩阵A的全部特征值 h、特征
2
EOF分解的优点
1，没有固定的函数； 2，能在有限区域对不规则分布的站点进行分解； 3，展开收敛快，很容易将变量场的信息集中在几个模
态上； 4，分离出的空间结构具有一定的物理意义；
EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于 GCM资料的分析和数值模式的设计。现在， EOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出 现在大气科学研究的文献中。
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二、EOF分析方法原理
将某气候变量场的观测资料以矩阵形
式给出
x11 x12 x1n
X
x21
xm1
x22 xm2
x2n
xmn
m是空间点（观测站或网格点）， n是时间序列长度（观测次数）。
4
气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函
数Z和空间函数V两部分,即
X VZ
或者
p
将东亚500 hPa 风场,温度场,降水量场进 行经验正交分解,得到它们的主要模态的 时空变化特征。结果表明东亚风场EOF 的主要模态与我国温度,降水量的EOF 的 主要模态对应,其第一EOF 模态与盛夏温 度,降水量的关系密切。
24
1951 - 2004 年500 hPa 7 - 8 月平均风场EOF 分解的第一特征向量 图(a)和标准化的时间权重系数(b) (图中斜直线是回归线)
v21
z1t
v22
z
2t
v2m
z
mt
xmt vm1
vm2
vmm
或者
xt v1 z1t v2 z2t vm zmt
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上式表明，第t个场可以表示为m个空间 典型场，按照不同的权重线性叠加而成。V 的每一列表示一个空间典型场，由于这个场 由实际资料确定，故又叫经验正交函数。
向量Vh，h=1~H（通常使用Jacobi法）；
14
4）将特征值作非升序排列（通常使用 沉浮法），并对特征向量序数作相应变动；
5）根据 h ,h=1~H和X总方差，求出全 部 h 、Ph , h=1~H；
6）由X及主要 Vh 求其时间系数 Zh 、
h=1~H，主要的数量由分析目的及分析对象
定； 7）输出主要计算结果。
15
七 经验正交函数的物理意义
特征向量以及时间系数的分析。
vv第一特征向量（第一空间典型场）是与n 张X图平均最相似的，或者说具有与所要展开的 资料矩阵的n个样本最相似的特征。比如：若原 始资料矩阵是7月份50年实测将水场（非距平 场），则第一特征向量就可以解释为这50年的 平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺 度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征 向量就解释为与50年夏季距平场最相似的特征 场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区 和旱区。
16
八、时空转换问题
当 m n 时，先求出 X T X 的特征值，
然后求 XX T 的特征向量，这种方法叫时
空转换。
令 X T X 的特征值为 i，其特征向量
为 u i ， XX T 的特征值也为 i ，其
特征向量为 vi
17
vi Xui i
V v1, v2 ,, vm
Z VTX
18
南亚夏季风爆发前后降水量时空变化特征
xit vik zkt vi1 z1t vi2 z 2t vip z pt k 1
i 1,2,, m t 1,2,, n k 1,2,, p
含义：场中第i个格点上的第t次观测值，可以 看作是p个空间函数 vik和时间函数 的zki 线性组合 。
5
其中，
v11 v12 v1m
上述分解要求满足下列两个条件：
8
v
T i
ห้องสมุดไป่ตู้
v
j
p
vkivkj
k 1
0 1
i j i j
性
质
Z
i
Z
T j
n
zit z jt
t 1
0 i
i j i j
i, j 1,2,,m
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三、分解方法
XX T VZZTV T
A XX T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理， 一定有
V T AV
或者 A VV T
10
V的列就是A的特征向量， 是A的
特征值组成的对角矩阵。
Z VTX
m
zit
vki xkt
k 1
Z就是时间系数矩阵，zit 第i个格点上的 第t 个时间系数。
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四、误差估计和计算
X Xˆ mVp .p Zn
Xˆ 是拟合场.
可以证明误差
mn
m
p
Q
(xit xˆit )2 i i