matlab：最小二乘法线性和非线性拟合资料

输出拟合多项式系数
输入同长度
拟合多项
a=[a1, …am , am+1] (数组)） 的数组X，Y
式次数
2. 对超定方程组 R n m a m 1yn 1(m n )，用 aR\ y
可得最小二乘意义下的解。
3.多项式在x处的值y可用以下命令计算：
y=polyval（a，x）
14
例 对下面一组数据作二次多项式拟合
超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1r12a2 r1mamy1 (nm) rn1a1rn2a2rnmamyn
即 Ra=y
其中
r11 r12 r1m
a1
y1
R , a , y
rn1 rn2 rnm
am
yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。 n
如果有向量a使得 (ri1a1ri2a2rim amyi)2达到最小， i1
RTRa=RTy
的解：a=(RTR)-1RTy
11
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
f=a1+a2x +
xi 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 yi 1.978 3.28 6.16 7.34 7.66 9.58 9.48 9.30 11.2
即要求 出二次多项式:
f(x)a1x2a2xa3
中 的 A(a1,a2,a3) 使得:
11
[f (xi)yi]2 最小
i1
15
解法1．用解超定方程的方法
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
x 1 2 4 7 9 1 2 1 3 1 5 1 7 f 1 .5 3 .9 6 .6 1 1 .7 1 5 .61 8 .81 9 .62 0 .62 1 .1
y
+
+
+
+
+ (xi +i,yi)
+
+
y=f(x) +
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
6
拟合与插值的关系
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
x12 x1 1 此时 R
1）输入以下命令：
Biblioteka Baidu
x121
x11
1
x=0:0.1:1;
y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
10
线性最小二乘法的求解
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
其中
Ra=y
（3）
r1(x1)rm(x1)
a1
y1
R
, a , y
r1(xn)rm(xn)
am
yn
定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解 ，且即为方程组
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
2
10
MATLAB(aa1)
c(t) c0ekt
101
c, k为待定系数
0
10
0
2
4
6
8
5
曲线拟合问题的提法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有 数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
MATLAB(cn)
7
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
5
已已已已已 10
25
已已已已已 20
15
已已已已已已已
linest
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
15
已已已已已已已
nearest
20
25
25
已已已已已 20
15 spline
10 已已已已已已已
求600C时的电阻R。
1100 1000
900 800
设 R=at+b a,b为待定系数
700
20
40
60
80
100
4
拟合问题引例2
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
n
n
记 J(a1,a2,am)
2 i
[f(xi)yi]2
i1
i1
nm
[ akrk(xi)yi]2 (2) i1 k1
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
9
线性最小二乘法的求解：预备知识
++
++
f=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
f=a1+a2x+a3x2
++ +
+ +
f=a1+a2/x +
+++ +
f=aebx
+
+
++ +
+ f=ae-bx + + ++
12
用MATLAB解拟合问题
1、线性最小二乘拟合 2、非线性最小二乘拟合
13
用MATLAB作线性最小二乘拟合
1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序: a=polyfit(x,y,m)
数学建模与数学实验
拟合
1
实验目的
1、直观了解拟合基本内容。 2、掌握用数学软件求解拟合问题。
实验内容
1、拟合问题引例及基本理论。 2、用数学软件求解拟合问题。 3、应用实例 4、实验作业。
2
拟合
1. 拟合问题引例 2.拟合的基本原理
3
拟合问题引例1
已知热敏电阻数据：温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
8
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x)
（1）
其中 a1,a2, …am 为待定系数。
第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：