(完整版)导数压轴题
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导数压轴题
4
(1) 当a = 3时，求f(x)的极值点.
1 3
(2) 若 f(x)为2，2上的单调函数，求a 的取值范围.
ax 2— 2ax + 1 e
［解析］行’(x)二
丹 1 + ax
4 1
3
(1)当 a = 3时，若 f'(x)= 0,则 4x 2 — 8x + 3= 0? x 1 =㊁，x 2 —
：X1 — 是极大值点，x 2 — 2是极小值点.
(2)记 g(x)— ax 2— 2ax + 1，则
2
g(x) — a(x — 1) + 1— a ，
1 3
••g(x)>0或 g(x)<0对 x € 2，2 恒成立, 1
又g(x)的对称轴为x — 1,故g(x)的最小值为g(1)，最大值为g 2 . 1 4
由 g(1) >0 或 g 2 W 0? 03,
4
•的取值范围是03.
10. (能力挑战题)函数 f(x) — xln x — ax 2— x(a € R).
vf(x)为3，3上的单调函数，贝U f ' (x)在 刁3上不变号,
9.(能力挑战题)设f(x) = 1 + ax 1 2,
其中a 为正实数. 1 + ax 2 2
>0,
⑴若函数f(x)在x= 1处取得极值，求a的值.
(2)若函数f(x)的图象在直线y= —x图象的下方，求a的取值范围.
⑶求证：2 0133 4 012<2 0122 013
［解析］⑴函数定义域为(0,+%), F(x)= In x—2ax,
■-'f(x)在x= 1处取得极值，
.•.f' (1) = 0,即一2a= 0,.°.a = 0.
•••f' (x) = In x,
当x€ (0,1)时，f' (x)<0,
当x€ (1 ,+x)时，f' (x)>0,
•■•f(x)在x= 1处取得极值.
⑵由题意，得xln x—ax2—x< —x,
•'•xln x—a点<0.
(0,+^),
In x
a>v
In x
设h(x)=—,
1 —In x
则h' (x) = —x—
入
令h' (x)>0,得0 •••h(x)在(0, e)上为增函数; 令h' (x)<0,得x>e, •■•h(x)在(e,+x)上为减函数. 3 a> . e 1 •■•h(x) max= D In x ⑶由(2)知h(x) = p 在(e ,+^)上为减函数, 入 •••h(x)>h(x + 1), In x ln x + 5 6 .•— > ----- x x + 1 ' -■.(x + 1)ln x>x ln(x + 1), •n x x + 1 >l n(x + 1)x , •••x x + 1 >(x + 1)x . 令 x = 2 012,得 2 0122 013>2 0132 012 ax 11. 已知函数 f(x) = ln(1 + x) — (a € R). 1 — x 2 x — 2 + a x + 1 — a 2 , 6 + x 1 — x 由 f ' (x) = 0,得 x 2 — (2 + a)x + 1 — a = 0, (1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 若数列｛a ｝的通项公a m = 1 2 0132m 1 •k a 1 a 2 …a m <3(m € N ). ［解析］(1)由题意，函数的定义域为(一1,1)U (1, + 013 (m € N *)，求证： 1 %), f ' (x)二 — 1 + x 2' 1 a 当a < 0时，注意到 >0, 产0, 1 + x 1 — x 所以f ' (x)>0,即函数f(x)的增区间为(—1,1), (1 , + )，无减区间; 当 a>0 时，f ' (x) = 1 1+ x 1— x a + 2 —、/a2+ 8a a+ 2+、/a2+ 8a 此方程的两根X1= 2 ，X2= 2 ，其中一1 f' (X)<0? X1 即函数f(x)的增区间为(-1 , X1), (X2,+x)，减区间为(X1,1), (1 , X2). 综上，当a< 0时，函数f(X)的增区间为(一1,1)(1,+x)，无减区间; 当a>0时，函数f(x)的增区间为(-1, X1),(X2,+X)，减区间为(X1,1), (1, X2), a + 2-、/a2+ 8a 其中X1二2 ---------- a + 2+ a2+ 8a x2= 2 x ⑵当a= 1时，由(1)知，函数f(x) = ln(1 + x)- 在(0,1)上为减函数, 1 - x x 则当0 1 - x X 即ln(1 + X)< 1-x 令 * ^013^ 加N*)，则 1 + ______________________