SVM支持向量机算法的详细推导(详细到每个步骤,值得推荐)

(8.10)
式中αp≥0，称为Lagrange系数。式(8.10)中的第一项 为代价函数 φ(w)，第二项非负，因此最小化φ(w)就转 化为求Lagrange函数的最小值。观察Lagrange函数可 以看出，欲使该函数值最小化，应使第一项φ(w)↓，使 第二项↑。为使第一项最小化，将式(8.10)对W和b求 偏导，并使结果为零
人工神经网络及应用
第八章 支持向量机
主讲 何东健
BP网络及RBF网络解决了模式分类与非线性映射问题。 Vapnik提出的支持向世机(Support Vector Machine， SVM)，同样可以解决模式分类与非线性映射问题。 从线性可分模式分类角度看，SVM的主要思想是：建立 一个最优决策超平面，使得该平面两侧距平面最近的两类 样本之间的距离最大化，从而对分类问题提供良好的泛化 能力。根据cover定理：将复杂的模式分类问题非线性地 投射到高维特征空间可能是线性可分的，因此只要特征空 间的维数足够高，则原始模式空间能变换为一个新的高维 特征空间，使得在特征空间中模式以较高的概率为线性可 分的。此时，应用支持向量机算法在特征空间建立分类超 平面，即可解决非线性可分的模式识别问题。 支持向量机基于统计学习理论的原理性方法，因此需要 较深的数学基础。下面的阐述避免过多抽象的数学概念， 推导过程尽量详细。
建立非线性可分数据的最优超平面可以采用与线性可 分情况类似的方法，即对于给定的训练样本 {(X1，d1)， (X2，d2)，…，(Xp，dp)，…(XP，dP)} ,寻找权值W和 阈值B的最优值，使其在式(8.19)的约束下，最小化关 于权值W和松弛变量 ξp 的代价函数
C是选定的正参数。 与前述方法相似，采用Laglange系数方法解决约束最 优问题。需要注意的是，在引入Lagrange函数时，使 式(8.10)中的1被1-ξp代替，从而使Lagrange函数变为
p
(8.29)
则在特征空间建立超平面时无需考虑变换φ的形式。 K(X, XP)称为内积核函数。
泛函分析中的Mercer定理给出作为核函数的条件： K(X,X’)表示一个连续的对称核，其中X定义在闭区间 a≤X≤b，X’类似。核函数K(X，X’)可以展开为级数
(8.16)
即最优超平面的权向量是训练样本向量的线性组合，且 只有支持向量影响最终的划分结果，如果去掉其他训练 样本重新训练，得到分类超平面相同。但如果一个支持 向量未能包含在训练集内时，最优超平面会被改变。
利用计算出的最优权值向量和一个正的支持向量，可 通过式(8.5)进一步计算出最优偏置 b0=1－W0T Xs (8.17) 求解线性可分问题得到的最优分类判别函数为
8.2 非线性支持向量机
对非线性可分模式分类，SVM的方法是，将输入向量 映射到一个高维特征向量空间，如果选用的映射函数 适当且特征空间的维数足够高，则大多数非线性可分 模式在特征空间中可以转化为线性可分模式，因此可 以在该特征空间构造最优超平面进行模式分类，这个 构造与内积核相关。 8.2.1 基于内积核的最优超平面 设X为N维输入空间的向量，令Φ(X)=[φ1(X)， φ2(X) ，…， φM(X)]T表示从输入空间到M维特征空间 的非线性变换，称为输入向量X在特征空间诱导出的 “像”。照前思路，可在该特征空间构建一个分类超 平面
8.1.2 线性可分数据最优超平面的构建 建立最优分类面问题可表示成如下的约束优化问题， 即对给定的训练样本{(X1，d1)，(X2，d2)，…，(Xp， dp)，…(XP，dP)} ，找到权值向量W和阈值B的最优值， 使其在式(8.6)的约束下，有最小化代价函数 该约束优化问题的代价函数是W的凸函数，且关于W 的约束条件是线性的，因此可用Lagrange系数方法解 决约束最优问题。引入Lagrange函数如下
WT XP+b<0
dp =-1
超平面与最近的样本点之间的间隔称为分离边缘，用ρ表示。 支持向量机的目标是找到一个分离边缘最大的超平面，即最优 超平面。也就是要确定使ρ最大时的W和b。 图8.1给出二维平面中最优超平面的示意图。可以看出，最优 超平面能提供两类之间最大可能的分离，因此确定最优超平面 的权值W0和偏置b0应是唯一的。在式(8.1)定义的一簇超平面中， 最优超平面的方程应为: WT X0+b0=0（应该是W0 X + b0 = 0吧？ ） 直接求W0和b0基本上不太可能，除了训练集无别的信息可用， 如何办？ 一种方法：使求得的预测函数 y = f(x) = sgn(W· + b)对原有 X 样本的分类错误率最小。 如何使分类错误率最小？下面慢慢分 析。
式中的wj为将特征空间连接到输出空间的权值，b为偏 置或负阈值。令 φ0(x) =1，w0=b，上式可简化为
或 (8.26) 将适合线性可分模式输入空间的式(8.12)用于特征空 间中线性可分的“像”，只需用Φ (X)替换X，得到
将上式代入式(8.26)可得特征空间的分类超平面为
(8.28)
式中ΦT (XP) Φ (X) 表示第p个输入模式XP在特征空间 的像Φ (XP)与输入向量X在特征空间的像Φ (X)的内积， 因此在特征空间构造最优超平面时，仅使用特征空间 中的内积。若能找到一个函数K()，使得
dp(WT XP+b)≥1 （8.6） 其中，W0用W代替。 由式(8.3)可导出从支持向量到最优超平面的代数距离 为
因此，两类之间的间隔可用分离边缘表示为
r
上式表明，分离边缘最大化等价于使权值向量的范数 || W||最小化。因此，满足式(8.6)的条件且使||W||最小 的分类超平面就是最优超平面。
关于α的目标函数为Q(α) ＝L(W,b,α)，则有
（8.14）
最小化L(W,b,α)问题，转化为一个最大化函数Q(α)的 对偶问题， 即给定{(X1，d1)，(X2，d2)，…，(Xp， dp)，…(XP，dP)} ，使（8.14）为最大值的Lagrange 系数{α1, α2,......, αp}，并满足约束条件
进一步理解支持向量机：
支持向量机（Support Vector Machine，SVM）中的 “机（machine，机器）”： 实际上是一个算法。在机器学习领域，常把一些 算法看作是一个机器（又叫学习机器，或预测函数， 或学习函数）。 “支持向量”：则是指训练集中的某些训练点,这些点 最靠近分类决策面，是最难分类的数据点 。 SVM:它是一种有监督（有导师）学习方法，即已知 训练点的类别，求训练点和类别之间的对应关系，以 便将训练集按照类别分开，或者是预测新的训练点所 对应的类别。
(8.19)
式中引入了松弛变量ξp≥0，用于度量一个数据点对线 性可分理想条件的偏离程度。当0≤ ξp ≤1时，数据点 落入分离区域的内部，且在分类超平面的正确一侧； 当ξp >1时，数据点进入分类超平面的错误一侧；当ξp =0时，相应的数据点即为精确满足式(8.6)的支持向量 Xs。 T P
dp(W X +b)≥1
8.1 支持向量机的基本思想 线性可分数据的二值分类机理：系统随机产生一个 超平面并移动它，直到训练集中属于不同类别的样本 点正好位于该超平面的两侧。显然，这种机理能够解 决线性分类问题，但不能够保证产生的超平面是最优 的。支持向量机建立的分类超平面能够在保证分类精 度的同时，使超平面两侧的空白区域最大化，从而实 现对线性可分问题的最优分类。 什么叫线性可分？就是可以用一条或几条直线把属 于不同类别的样本点分开。实际上，求解分类问题， 就是要求出这条或这几条直线！问题是：怎么求？
(8.11)
利用式(8.10)和式(8.11)，可导出最优化条件1
(8.12)
利用式(8.10)和式(8.11)可导出最优化条件2
(8.13)
为使第二项最大化，将式(8.10)展开如下
根据式(8.13)，上式中的第三项为零。根据式(8.12)， 可将上式表示为
(8.12)
根据式(8.12) 可得
(8.21)
对式(8.21)采用与前类似推导，得到非线性可分数据 的对偶问题的表示为：给定训练样本，求解使以下目 标函数
为最大值的Lagrange系数{α1, α2,......, αp}，并满足以 下约束条件
可以看出在上述目标函数中，松弛变量 ξp和它们的 Lagrange系数都未出现，因此线性可分的目标函数与 非线性可分的目标函数表达式完全相同。不同的只是 线性可分情况下的约束条件αp ≥0,在非线性可分情况 下被替换为约束更强的 0≤ αp ≤C，因此线性可分情况 下的约束条件αp ≥0可以看作非线性可分情况下的一种 特例。 此外，W和b的最优解必须满足的Kuhn Tucker最优 化条件改变为 最终推导得到的W和b的最优解计算式以及最优分类判 别函数与式(8.16)、(8.17)和(8.18)完全相同。
设x=( x1,x2,…,xn)T x的范数:||x||=|x1|+|x2|+…+|xn| 如何构造这个最优分类面呢？方法：平分最近点法和最大 间隔法。两个方法殊途同归，它们求解得到同一个超平面。 这两个方法与一个最优化问题求解方法等价。 分类机是将最大间隔法求解最优分类面的最优化问题转 化为其对偶问题，从而通过求解相对简单的对偶问题来求 解原分类问题的算法。随后引入松弛变量和惩罚因子来解 决非线性分类问题，并且允许一定的分类错误（软间隔）， 最终得到非线性软间隔的标准的 C-支持向量机(C-SVC)。 把一个复杂的最优化问题的求解简化为对原有样本数据的 内积运算。只需选择适当的核函数及其参数、惩罚因子。
αp>0 以上为不等式约束的二次函数极值问题(Quadratic Programming，QP)。由Kuhn Tucker定理知，式 (8.14)的最优解必须满足以下最优化条件(KKT条件)
Fra Baidu bibliotek
上式等号成立的两种情况：一是αp为零；另一种是 (WT XP+b) dp=1 。第二种情况仅对应于样本为支持向量。 设Q(α)的最优解为{α01, α02,......, α0p} ，可通过式(8.12) 计算最优权值向量，其中多数样本的Lagrange系数为零， 因此
SVM主要针对小样本数据进行学习、分类和预测 （有时也叫回归）的一种方法，能解决神经网络不能 解决的过学习问题。类似的根据样本进行学习的方法 还有基于案例的推理（Case-Based Reasoning）， 决策树归纳算法等。 过学习问题：训练误差过小导致推广能力下降，即真 实风险的增加。 推广能力：generalization ability，也可以说是泛化能 力，就是对未知样本进行预测时的精确度。 下面讨论线性可分情况下支持向量机的分类原理。
由解析几何知识可得样本空间任一点X到最优超平面 的距离为 (8.3)
从而有判别函数 g(X)=r ||W0||=W0T X+b0 g(X)给出从X到最优超平面的距离的一种代数度量。 将判别函数进行归一化，使所有样本都满足
(8.5)
则对于离最优超平面最近的特殊样本Xs满足：I g(Xs) I=1，称为支持向量。由于支持向量最靠近分类决策面， 是最难分类的数据点，因此这些向量在支持向量机的 运行中起着主导作用。 式(8.5)中的两行也可以组合起来用下式表示
8.1.1 最优超平面的概念 考虑P个线性可分样本{(X1，d1)，(X2，d2)，…，(Xp， dp)，…(XP，dP)}，对于任一输入样本Xp ，期望输出 为dp =±1（代表两类类别标识）。用于分类 的超平面方程为 WT X+b=0 (8.1) 式中，X为输入向量，W为权值向量，b为偏置（相当 于前述负阈值），则有 WT XP+b>0 dp =+1
(8.18)
在上式中的P个输入向量中，只有若干个支持向量的 Lagrange系数不为零，因此计算复杂度取决于支持向 量的个数。 对于线性可分数据，该判别函数对训练样本的分类 误差为零，而对非训练样本具有最佳泛化性能。
8.1.3 非线性可分数据最优超平面的构建
若将上述思想用于非线性可分模式的分类时，会有一 些样本不能满足dp(WT XP+b)≥1的约束，而出现分类 误差。因此需要适当放宽该式的约束，将其变为