分形理论在材料中的应用

论文得分：

题目分形理论在材料中的应用

班级无材 0802

学号200802128045

姓名李国卿

指导教师李远兵余俊

分形理论在材料中的应用

李国卿

（武汉科技大学材料与冶金学院，武汉，430081）

摘要：介绍了分形的概念以及分形维数的计算方法，重点讨论了分形理论在材料科学，如材料表面分析、断裂表面分析、无机材料的烧结与氧化过程等方面的应用。

关键字：分形；分形维数；材料科学；应用

Fractal Theory and Its Application in Materials Science

Liguoqing

（College of Science and Metallurgical Engineering,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan ，

430081,）

Abstract：In this paper, the concept of fractal and the caculation fractal dimension are introduced . The applications of fractal theries in materials science, such as wear surface analysis, fractured surface analysis, analysis of sintering and oxi-dizing of inorganic materials, etc. are also discussed.

Keywords：Fractal；Fractal dimension[1]；Materals science；Application

引言：近20年来，分形理论已经得到广泛的应用，在包括物理、化学、生物、天文学、材料学、计算机图形学、经济学、哲学等相对独立的领域内获得了大量成果。事实上不同学科领域现象之间存在惊人的相似性，因此分形理论有可能称为联结现代各学科的纬线。文中就分形的相关内容及其在材料科学中的应用作简单介绍。

一、分形的由来

分形（Fractal）是由IBM（International Business Machine）公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学系教授美籍法国数学家Benoit B Mandelbrot[2]于1975年首先提出的，它与耗散理论以及混沌被称为70年代科学上的三大发现，是非线形科学研究中的重要成果。它为人们从局部人是整体，从有限认识无限提供新的方法论；为不同学科发现的规律性提供崭新的语言和定量的描述；为现代科学技术提供新思想新方法。

二、分形的概念及分形维数的计算

2.1分形的概念

长期以来数学家们把一种曲线称为“妖魔曲线”，这种曲线的共同特征是极不规则、极不光滑，在其越来越小的范围内会发现同等程度的不规则性，同等程度的复杂性。随着人类对客观世界的深入认识以及科学技术的不断发展，人们发现他们具有一个重要的性质——自相似性。Mandelbrot在1986年对分形是这样描述的：分形就是指由各个部分组成的形态，每个部分以某种方式与整体相似[3]。它具有自相似性和标度不变性。所谓自相似性是指某种结构和过程的特征从不同的空间尺度和时间尺度来看都是相似的。所谓标度不变性是指在分形上任选一局域，对它进行放大，这时得到的放大图又会显示出原图的形态特征。分形有以下几个含义：分形既可以是几何实体也可以是由“功能”或“信息”等架起的数理模型；分形可以同时具有形态、功能和信息3方面的自相似性，也可以只具有其中某一方面的自相似性，这样就使分形理论研究的领域大大拓宽；分形中的自相似性可以是绝对的相同，也可以是统计意义上的相似，自然界中前者凤毛麟角，后者不计其数；分形的相似性有层次上的差异。数学上的分形具有无限嵌套的层次结构，

自然界中的分形只有有限的层次嵌套，且要进入一定的层次后才可以有分形的规律；分形的相似性有级别上的差异，级别即使用生成元的次数或放大的倍数。级别最高的是整体，级别最低的是零级生成元，级别越接近，则越相似，级别相差越大，相似性越差，又是甚至根本不相似，这就涉及到标度区间或标度不变性范围。一旦逾越标度区间，自相似性就不复存在，因此就谈不上分形了。

2.2分形维数

分形维数，又叫分维，是定量刻画分形特征的参数，在一般情况下是一个分数（可是整数，也可以是非整数），它表征了分形体的复杂程度，分形维数越大，其客体就越复杂，反之亦然。经典维数是我们所熟悉的，即为确定物体或几何图形中任意一点为止所需要的独立坐标数，它必须是整数。分形维数的定义对有些对象适用，但对另一些就可能完全不适用，因而往往笼统地把取非整数值的维数统称为分形维数。欧氏几何中的维数D可以用以下公式表示：D=lnK/lnL ，其中，K为规则图形的长度、面积或体积增大（缩小）的倍数，L是指规则图形的每个独立方向皆扩大（缩小）的倍数。例如若将直线段的长度增至原来的两倍（L=2），所得到的线段长度为原线段的两倍（K=2），所以直线是一维的；若将正方形每边长增至原来的2倍（L=2），所得到的正方形的面积将增至原来的4倍（K=4)，所以正方形是二维的，若将正方体的每边长增至原来的2倍（L=2），所得到的立方体的体积将增至原来的8倍（K=8），所以立方体是三维的。相反的若把一个图形划分为N个大小和形状完全相同的小图形，则每个小图形的限度是原来的r倍，此时分形维数D为：D=lnN=ln（1/r），我们以Sierpinski垫为例来讨论有规分形维数的计算。

首先将一个等边三角形4等分，得到4个小等边三角形，去掉中间一个，保留它的三条边。将剩下的3个小等边三角形再分别4等分，并分别去掉中间的一个，保留它们的边。重复操作直至无穷就得到图1所示的图形。在这里当r=1/2时，N=3，其分形维数为：D=ln3/ln2=1.5850对于无规分形，其自相似性是通过大量的统计抽象出来的，且它们的自相似性只存在于所谓的“无标度区间”之内。因此其分形维数的计算要比有规分形维数的计算复杂得多。目前还没有适合计算各类无规分形的分形维数的方法。实际测定分形维数的方法有以下5类：

1.改变观察尺度求维数就是用圆和球、线段和正方形以及正方体等具有特

征长度的基本图形去近似分形图形

2.根据测度关系求维数这种方法是利用分形具有非整体维数的测度来定义

维数的

3.根据相关函数求维数因为相关函数是最基本的统计量之一，所以从这一

函数型也可以求得分形维数

4.根据分布函数求维数对于大小、分布都没有特征长度的图形或物体，在

考虑它们的大小、分布时，从其分布函数的类型即

可求得分形维数

5.根据频谱求维数从频率的观点来看，所谓改变观察的尺度就是改变