高阶非线性有理差分方程的全局吸引性
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收稿 日期 ：２ ０－１０ ０ ９１—５ 作者 简介 ： 唐国梅 （９ ９）女 ， １７ －， 甘肃临夏人 ， 讲师
ｑ－ －ｐ
， ： Βιβλιοθήκη 由引理 １ 有 以下结 果． ，
定理 ｌ １ ）如果 户 ＜ ｑ则 Ｙ＝ｏ是局 部渐 近 ＋１ ， 稳定 的． ２ ）若 ｑ ｐ ｌ ｋ是 奇数 ， 方程 （） ＜ ＜ 且 则 １ 的正 平 衡点 至一ｇ １ 是局 部渐 近稳定 的当 ｑ ｐ－１ ＋ 一 ＞３ － ．
靠一 Ｏ １ … ，， （） １
（） ４
７一 ０ １ ２ … ｚ ， ，，
在一 定条 件下 的解 的周 期性 ， 不变 区间 和 全局 吸引
性． 其中 Ｐ ｑ 且初始条件 — ， ，～ ∈［ ， ， ，＞Ｏ … ｚ Ｏ∞） 。 ∈（ ，ｏ ， ０ ｏ ）获得方 程 （） １的正平衡 点 在一定 条件 下 是全局吸引的． 其他相关的方程可参考文献［～７． １ ］
第３ ６卷 第 ４ 期
２１ ００年 ８月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖ０ ６ Ｎｏ ４ Ｌ３ ． Ａｕ ． ０ ０ ｇ ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒａ ｆＬ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｏ ｈ ｏｏ ｙ ｙ Ｔｅ
文 章 编 号 ： ６ ３５ ９ （０ ０ ０－ １９ ３ １ ７ －１６ ２ １ ）４０ ４ － ０
（） ４有唯一的正平衡点 歹 并且方程的每一个解都 收 ，
敛到 ｙ ．
１ 相关引理
弓理 １ ｌ ｃ 设 口ｂ ，ＥＲ， ＥＮ十， 么 ｋ
２ 主要结果及证明
（） ２
方程（ ） １ 的平衡点是 Ｙ ＝ｏ并且 当 ｇ ＞ｐ时 ＋ｌ 方程 （） 唯一 的正平 衡点 ｚ—ｑ 一户 １有 ＋１ ． 方程 （ ） １ 关于 Ｙ ＝Ｏ的线性 化方 程是
井 ｌ一
ｌｌ ＩＩ １ ＋ ＜ ａ ｂ
是 差分方 程
１一 衄 ＋ －０
一 ０ １ … ，，
（） ３
渐近稳 定 的充分条 件．
假设 下 面的两条 成立 ：
等， 一 ３ ｎ ＋ 。
一
方程 （） 于 一ｑ １ １关 ＋ 一户的线性 化方程 是
一
１ｋ ） 是奇数 ， ｂ ． 且 ＜Ｏ ２ ｋ是偶数 ， ａ＜Ｏ ） 且 ｂ ． 那 么式 （） ２ 也是方 程 （） ３渐近稳定 的必 要 条件． 弓理 ２幻 考 虑差分方 程 Ｉ ［
高阶非线性有理差分方程 的全局吸 弓性 ｌ
唐 国梅 ，肖艳 萍
（ 西北 民族大学 数学与计算机科学学院 ， 甘肃 兰州 ７０ ３ ） ３０ ０
摘要 ：研究非线性差分方程 ＋ 一（ 一 一 ） （一 一 ）（ ＝Ｏ １２ …） Ａ ／ 口 ｔ ， ， ， 解的全局行为 ， 明方 程唯一的正平衡 证 点在 一定条件下 的全局吸引性．
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔｈ ｌｂ ｌ ｅ ａ ｉｒ ｆ ｈ ｏｕｉｎ ｆ ｏ ｌ ｅｒｄｆ ｒｎ ｅｅ ｕ ｔ ｎ ＋ 一 （ ｅ ｏ ａ ｂ ｈ ｖｏ ｅｓ ｌｔ ｓ ｎｉ ａ ｉｅｅ ｃ ｑ ａｉ １ ｇ ｏｔ ｏ ｏ ｎ ｎ ｆ ｏ
ｆ ｒｇ ｉｇ ｅ ｕ ｔ ｎ ｗａ ｒ ｖ ｄ ｕ ｄ ｒｃ ｒａｎ ｃ ｎ ｉｉｎ ． ｏ ｅ ｏｎ ｑ ａ ｉ ｓｐ ｏ ｅ ｎ ｅ ｅｔ ｉ ｏ ｄｔｏ ｓ ｏ
其 中， ＥＮ ，ｎ６ 为一个正实数 区间， ： ，］ ｋ ＋ ［ ，］ 厂 ６ ｘ ６一 ， ］ 胡为一连续 函数且满足下述条件： １ ｆ ｕ 对每一个变量都是非增的． ） （ ，） ２ 如果 （ Ｍ） ｎ ６ ×［ ，］ ） ｍ， ∈［ ， ］ 口 ６ 是系统 ｍ—
，
ｆ Ｍ ， 与 Ｍ ＝ｆ ｍ， 的僻 ， 么 Ｍ ＝ｍ， （ （ 优） 那 则方 程
Ｋｅ ｒ ｓ：ｄｆｅ ｅ ｃ ｑ ａｉｎ；ａｔａ ｔ ｒ ｓ ｍｐ ｏ ｉ ｔｂ ｌ ｙ ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｒ ｎ ｅｅ ｕ ｔ ｆ ｏ ｔｒ ｃｏ ；ａ ｙ ｔ ｔ ｓａ ｉ ｔ ｃ ｉ
本文研究非线性差分方程
＝
．
计１ 。 ’ — ） ＝ （ ｎ
丝 卫 二 巫 二兰
ｑ— ， 一
ＴＡＮＧ ｏ ｍｅ ，ＸＩ Ｇｕ － ｉ ＡＯ ｎ ｐ ｎ Ｙａ － ｉｇ
（ ｃ ｏ ｆＭ ａ ｈ ｍ ａｉｓａ ｄ Ｃ ｍ ｐ ｔ ｒＳ ｉｎｃ ，Ｎｏ ｔ ｗｅｔＵ ｎｖ ｏ ｔｏ ａｉｉｓ ａｎ ｈ ｕ ７ ０ ３ ，Ｃｈｉａ Ｓ ｈ ｏｌ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｏ ｕ ｅ ｃｅ ｅ ｏ ｒｈ ｓ ｉ．ｆ ｒＮａ ｉｎ ｌ ｅ ，Ｌ ｚ ｏ ３ ０ ０ ｔ ｎ）
关键词 ：差分方程 ； 全局 吸引子 ；渐近稳定性 中图分类号 ： ７ ． Ｏ１ ５ １ 文献标 识码 ： Ａ
Ｇｌ ｂ ｌａ ｔａ ｔｖ ｔ ｆａ ｈｉｈｅ ｒ ｒ ｎ ｎ ｉ ａ ａ ｉｎａ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｅ ａ ｉｎ ｏ ａ ｔｒ ｃ ｉ ｉｙ ｏ ｇ ｒｏ ｄｅ ｏ ｌｎｅ ｒ ｒ ｔｏ ｌｄ ｆｅ ｅ ｃ ｑｕ ｔｏ
一ｚ一 ） （ — ／ ｑ
ｚ 一 ）（ ＝Ｏ １ ２ … ）ｗａ ｔ ｄ ｅ ．Ｔｈ ｌｂ ｌａｔａ ｔｖｔ ｆｔ ｅｕ ｉｕ ｏ ｉ ｖ ｑ ｉ ｂ ｉ ｍ ｏｎ ｆｔ ｅ ，，， ｓｓｕ ｉｄ ｅｇ ｏ ａ ｔｒ ｃｉｉ ｏ ｈ ｎｑ ｅｐ ｓｔ ｅ ｅ ｕ ｌ ｒｕ ｐ ｉｔｏ ｈ ｙ ｉ ｉ
兰 州 理 工 大 学 学 报
第 ３ 卷 ６
３ 若 ｑ Ｐ且 ｋ是 偶数 ， ） ＞ 则方程 （） １ 的正平 衡 点 一ｑ １ ＋ 一ｐ是局 部渐 近稳定 的 当 ｇ ｌ ． ＜ —ｐ 定理 ２ １ ）如果 ｋ是 奇数 ， 那么方 程 （） １有素周
０詈 １ ＜
期为 ２ 的正周期解的充分必要条件是 ｑ ． ＞３ 一１ 并
ｑ－ －ｐ
， ： Βιβλιοθήκη 由引理 １ 有 以下结 果． ，
定理 ｌ １ ）如果 户 ＜ ｑ则 Ｙ＝ｏ是局 部渐 近 ＋１ ， 稳定 的． ２ ）若 ｑ ｐ ｌ ｋ是 奇数 ， 方程 （） ＜ ＜ 且 则 １ 的正 平 衡点 至一ｇ １ 是局 部渐 近稳定 的当 ｑ ｐ－１ ＋ 一 ＞３ － ．
靠一 Ｏ １ … ，， （） １
（） ４
７一 ０ １ ２ … ｚ ， ，，
在一 定条 件下 的解 的周 期性 ， 不变 区间 和 全局 吸引
性． 其中 Ｐ ｑ 且初始条件 — ， ，～ ∈［ ， ， ，＞Ｏ … ｚ Ｏ∞） 。 ∈（ ，ｏ ， ０ ｏ ）获得方 程 （） １的正平衡 点 在一定 条件 下 是全局吸引的． 其他相关的方程可参考文献［～７． １ ］
第３ ６卷 第 ４ 期
２１ ００年 ８月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖ０ ６ Ｎｏ ４ Ｌ３ ． Ａｕ ． ０ ０ ｇ ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒａ ｆＬ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｏ ｈ ｏｏ ｙ ｙ Ｔｅ
文 章 编 号 ： ６ ３５ ９ （０ ０ ０－ １９ ３ １ ７ －１６ ２ １ ）４０ ４ － ０
（） ４有唯一的正平衡点 歹 并且方程的每一个解都 收 ，
敛到 ｙ ．
１ 相关引理
弓理 １ ｌ ｃ 设 口ｂ ，ＥＲ， ＥＮ十， 么 ｋ
２ 主要结果及证明
（） ２
方程（ ） １ 的平衡点是 Ｙ ＝ｏ并且 当 ｇ ＞ｐ时 ＋ｌ 方程 （） 唯一 的正平 衡点 ｚ—ｑ 一户 １有 ＋１ ． 方程 （ ） １ 关于 Ｙ ＝Ｏ的线性 化方 程是
井 ｌ一
ｌｌ ＩＩ １ ＋ ＜ ａ ｂ
是 差分方 程
１一 衄 ＋ －０
一 ０ １ … ，，
（） ３
渐近稳 定 的充分条 件．
假设 下 面的两条 成立 ：
等， 一 ３ ｎ ＋ 。
一
方程 （） 于 一ｑ １ １关 ＋ 一户的线性 化方程 是
一
１ｋ ） 是奇数 ， ｂ ． 且 ＜Ｏ ２ ｋ是偶数 ， ａ＜Ｏ ） 且 ｂ ． 那 么式 （） ２ 也是方 程 （） ３渐近稳定 的必 要 条件． 弓理 ２幻 考 虑差分方 程 Ｉ ［
高阶非线性有理差分方程 的全局吸 弓性 ｌ
唐 国梅 ，肖艳 萍
（ 西北 民族大学 数学与计算机科学学院 ， 甘肃 兰州 ７０ ３ ） ３０ ０
摘要 ：研究非线性差分方程 ＋ 一（ 一 一 ） （一 一 ）（ ＝Ｏ １２ …） Ａ ／ 口 ｔ ， ， ， 解的全局行为 ， 明方 程唯一的正平衡 证 点在 一定条件下 的全局吸引性．
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔｈ ｌｂ ｌ ｅ ａ ｉｒ ｆ ｈ ｏｕｉｎ ｆ ｏ ｌ ｅｒｄｆ ｒｎ ｅｅ ｕ ｔ ｎ ＋ 一 （ ｅ ｏ ａ ｂ ｈ ｖｏ ｅｓ ｌｔ ｓ ｎｉ ａ ｉｅｅ ｃ ｑ ａｉ １ ｇ ｏｔ ｏ ｏ ｎ ｎ ｆ ｏ
ｆ ｒｇ ｉｇ ｅ ｕ ｔ ｎ ｗａ ｒ ｖ ｄ ｕ ｄ ｒｃ ｒａｎ ｃ ｎ ｉｉｎ ． ｏ ｅ ｏｎ ｑ ａ ｉ ｓｐ ｏ ｅ ｎ ｅ ｅｔ ｉ ｏ ｄｔｏ ｓ ｏ
其 中， ＥＮ ，ｎ６ 为一个正实数 区间， ： ，］ ｋ ＋ ［ ，］ 厂 ６ ｘ ６一 ， ］ 胡为一连续 函数且满足下述条件： １ ｆ ｕ 对每一个变量都是非增的． ） （ ，） ２ 如果 （ Ｍ） ｎ ６ ×［ ，］ ） ｍ， ∈［ ， ］ 口 ６ 是系统 ｍ—
，
ｆ Ｍ ， 与 Ｍ ＝ｆ ｍ， 的僻 ， 么 Ｍ ＝ｍ， （ （ 优） 那 则方 程
Ｋｅ ｒ ｓ：ｄｆｅ ｅ ｃ ｑ ａｉｎ；ａｔａ ｔ ｒ ｓ ｍｐ ｏ ｉ ｔｂ ｌ ｙ ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｒ ｎ ｅｅ ｕ ｔ ｆ ｏ ｔｒ ｃｏ ；ａ ｙ ｔ ｔ ｓａ ｉ ｔ ｃ ｉ
本文研究非线性差分方程
＝
．
计１ 。 ’ — ） ＝ （ ｎ
丝 卫 二 巫 二兰
ｑ— ， 一
ＴＡＮＧ ｏ ｍｅ ，ＸＩ Ｇｕ － ｉ ＡＯ ｎ ｐ ｎ Ｙａ － ｉｇ
（ ｃ ｏ ｆＭ ａ ｈ ｍ ａｉｓａ ｄ Ｃ ｍ ｐ ｔ ｒＳ ｉｎｃ ，Ｎｏ ｔ ｗｅｔＵ ｎｖ ｏ ｔｏ ａｉｉｓ ａｎ ｈ ｕ ７ ０ ３ ，Ｃｈｉａ Ｓ ｈ ｏｌ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｏ ｕ ｅ ｃｅ ｅ ｏ ｒｈ ｓ ｉ．ｆ ｒＮａ ｉｎ ｌ ｅ ，Ｌ ｚ ｏ ３ ０ ０ ｔ ｎ）
关键词 ：差分方程 ； 全局 吸引子 ；渐近稳定性 中图分类号 ： ７ ． Ｏ１ ５ １ 文献标 识码 ： Ａ
Ｇｌ ｂ ｌａ ｔａ ｔｖ ｔ ｆａ ｈｉｈｅ ｒ ｒ ｎ ｎ ｉ ａ ａ ｉｎａ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｅ ａ ｉｎ ｏ ａ ｔｒ ｃ ｉ ｉｙ ｏ ｇ ｒｏ ｄｅ ｏ ｌｎｅ ｒ ｒ ｔｏ ｌｄ ｆｅ ｅ ｃ ｑｕ ｔｏ
一ｚ一 ） （ — ／ ｑ
ｚ 一 ）（ ＝Ｏ １ ２ … ）ｗａ ｔ ｄ ｅ ．Ｔｈ ｌｂ ｌａｔａ ｔｖｔ ｆｔ ｅｕ ｉｕ ｏ ｉ ｖ ｑ ｉ ｂ ｉ ｍ ｏｎ ｆｔ ｅ ，，， ｓｓｕ ｉｄ ｅｇ ｏ ａ ｔｒ ｃｉｉ ｏ ｈ ｎｑ ｅｐ ｓｔ ｅ ｅ ｕ ｌ ｒｕ ｐ ｉｔｏ ｈ ｙ ｉ ｉ
兰 州 理 工 大 学 学 报
第 ３ 卷 ６
３ 若 ｑ Ｐ且 ｋ是 偶数 ， ） ＞ 则方程 （） １ 的正平 衡 点 一ｑ １ ＋ 一ｐ是局 部渐 近稳定 的 当 ｇ ｌ ． ＜ —ｐ 定理 ２ １ ）如果 ｋ是 奇数 ， 那么方 程 （） １有素周
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期为 ２ 的正周期解的充分必要条件是 ｑ ． ＞３ 一１ 并